System von Differentialgleichungen - System of differential equations

In der Mathematik ist ein Differentialgleichungssystem eine endliche Menge von Differentialgleichungen . Ein solches System kann entweder linear oder nichtlinear sein . Auch kann ein solches System entweder ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen oder ein System partieller Differentialgleichungen sein .

Lineares System von Differentialgleichungen

Wie jedes Gleichungssystem wird ein lineares Differentialgleichungssystem als überbestimmt bezeichnet, wenn es mehr Gleichungen als die Unbekannten gibt.

Damit ein überbestimmtes System eine Lösung hat, muss es die Kompatibilitätsbedingungen erfüllen . Betrachten Sie zum Beispiel das System:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

Dann sind die notwendigen Bedingungen, damit das System eine Lösung hat:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

Siehe auch: Cauchy-Problem und Ehrenpreis-Grundprinzip .

Nichtlineares System von Differentialgleichungen

Das vielleicht bekannteste Beispiel für ein nichtlineares System von Differentialgleichungen sind die Navier-Stokes-Gleichungen . Anders als im linearen Fall ist die Existenz einer Lösung eines nichtlinearen Systems ein schwieriges Problem (vgl. Navier-Stokes-Existenz und Glätte .)

Siehe auch: h-Prinzip .

Differenzialsystem

Ein Differentialsystem ist ein Mittel zum Studium eines Systems partieller Differentialgleichungen unter Verwendung geometrischer Ideen wie Differentialformen und Vektorfelder.

Zum Beispiel können die Kompatibilitätsbedingungen eines überbestimmten Systems von Differentialgleichungen in Form von Differentialformen (dh einer Form, um genau zu sein, sie muss abgeschlossen werden) kurz und bündig ausgedrückt werden. Weitere Informationen finden Sie unter Integrierbarkeitsbedingungen für Differentialsysteme .

Siehe auch: Kategorie:Differentialsysteme .

Anmerkungen

Siehe auch

• integrale Geometrie
• Cartan-Kuranishi-Verlängerungssatz

Verweise

• L. Ehrenpreis, The Universality of the Radon Transform , Oxford Univ. Presse, 2003.
• Gromov, M. (1986), Partielle Differentialbeziehungen, Springer, ISBN  3-540-12177-3
• M. Kuranishi, "Vorträge über involutive Systeme partieller Differentialgleichungen", Publ. Soz. Matte. São Paulo (1967)
• Pierre Schapira, Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985.

Weiterlesen

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold