Auf Ordinalzahlen basierende logische Systeme -Systems of Logic Based on Ordinals

Systems of Logic Based on Ordinals war die Dissertation des Mathematikers Alan Turing .

Turings These handelt weder von einer neuen Form der formalen Logik, noch interessierte er sich für sogenannte „Rang-Logik“-Systeme, die aus ordinaler oder relativer Numerierung abgeleitet sind und in denen Vergleiche zwischen Wahrheitszuständen auf der Grundlage relativer Wahrhaftigkeit angestellt werden können. Stattdessen untersuchte Turing die Möglichkeit, die Godelsche Unvollständigkeitsbedingung mit Cantors Methode der Infinites aufzulösen . Diese Bedingung kann so formuliert werden – in allen Systemen mit endlichen Mengen von Axiomen gilt eine Exklusiv-Oder-Bedingung für Ausdruckskraft und Beweisbarkeit; dh man kann Macht haben und keinen Beweis oder Beweis und keine Macht, aber nicht beides.

Die Dissertation ist eine Untersuchung formaler mathematischer Systeme nach dem Satz von Gödel . Gödel zeigte, dass es für jedes formale System S, das stark genug ist, um Arithmetik darzustellen, einen Satz G gibt, der zwar wahr ist, aber das System nicht beweisen kann. G könnte anstelle eines Beweises als zusätzliches Axiom zum System hinzugefügt werden. Dies würde jedoch ein neues System S' mit seinem eigenen unbeweisbaren wahren Satz G' erzeugen, und so weiter. Turings These untersucht, was passiert, wenn man diesen Prozess einfach wiederholt wiederholt, eine unendliche Menge neuer Axiome erzeugt, um sie der ursprünglichen Theorie hinzuzufügen, und geht sogar noch einen Schritt weiter, indem sie die transfinite Rekursion verwendet , um "über Unendlich" zu gehen, was eine Menge neuer Theorien G n , eine für jede Ordnungszahl n.

Die Dissertation wurde in Princeton unter Alonzo Church abgeschlossen und war ein klassisches Werk der Mathematik, das das Konzept der Ordinallogik einführte .

Martin Davis stellt fest, dass Turings Verwendung eines Rechenorakels zwar kein Hauptthema der Dissertation ist, sich jedoch in der theoretischen Informatik , zB in der polynomialen Zeithierarchie , als sehr einflussreich erwiesen hat .

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