Titius-Bode-Gesetz - Titius–Bode law

Das Titius-Bode-Gesetz (manchmal auch nur Bodes-Gesetz genannt ) ist eine formelhafte Vorhersage des Abstands zwischen Planeten in einem bestimmten Sonnensystem . Die Formel besagt, dass jeder Planet nach außen ungefähr doppelt so weit von der Sonne entfernt sein sollte wie der vorherige. Die Hypothese nahm die Umlaufbahnen von Ceres (im Asteroidengürtel ) und Uranus richtig vorweg , scheiterte jedoch als Prädiktor für die Umlaufbahn von Neptun . Es ist nach Johann Daniel Titius und Johann Elert Bode benannt .

Spätere Arbeiten von Blagg und Richardson korrigierten die ursprüngliche Formel erheblich und machten Vorhersagen, die anschließend durch neue Entdeckungen und Beobachtungen bestätigt wurden. Es sind diese Neuformulierungen, die "die besten phänomenologischen Darstellungen von Entfernungen bieten, mit denen die theoretische Bedeutung der Gesetze vom Titius-Bode-Typ untersucht werden kann".

Formulierung

Das Gesetz bezieht dich die große Halbachse jeden Planeten nach außen von der Sonne in Einheiten , so dass die Erde große Halbachse gleich 10 ist:

wobei mit Ausnahme des ersten Schritts jeder Wert doppelt so groß ist wie der vorherige Wert. Es gibt eine andere Darstellung der Formel:

wobei Die resultierenden Werte können durch 10 geteilt werden, um sie in astronomische Einheiten ( AU ) umzuwandeln , was zu folgendem Ausdruck führt:

Für die fernen äußeren Planeten, jenseits von Saturn , wird vorhergesagt, dass jeder Planet ungefähr doppelt so weit von der Sonne entfernt ist wie das vorherige Objekt. Während das Titius-Bode-Gesetz Saturn , Uranus , Neptun und Pluto bei etwa 10, 20, 39 und 77  AE vorhersagt , liegen die tatsächlichen Werte jedoch näher bei 10, 19, 30, 40  AE .

Diese Form des Gesetzes bot eine gute erste Vermutung; die Neuformulierungen von Blagg und Richardson sollten als kanonisch betrachtet werden.

Herkunft und Geschichte

Johann Daniel Titius (1729–1796)
Johann Elert Bode (1747–1826)

Die erste Erwähnung einer Reihe, die sich dem Bode'schen Gesetz annähert, findet sich in einem Lehrbuch von D. Gregory (1715):

"... angenommen, die Entfernung der Erde von der Sonne würde in zehn gleiche Teile geteilt, von diesen beträgt die Entfernung von Merkur ungefähr vier, von Venus sieben, von Mars fünfzehn, von Jupiter zweiundfünfzig und die von Saturn neunundneunzig fünf."

Ein ähnlicher Satz, wahrscheinlich von Gregory (1715) paraphrasiert, erscheint in einem Werk, das 1724 von C. Wolff veröffentlicht wurde.

1764 schrieb C. Bonnet :

„Wir kennen siebzehn Planeten [d. h. große Planeten und ihre Satelliten], die in die Zusammensetzung unseres Sonnensystems eingehen; aber wir sind uns nicht sicher, ob es keine mehr gibt.“

In seiner Übersetzung von Bonnets Werk von 1766 fügte JD Titius der obigen Aussage zwei seiner eigenen Absätze hinzu. Die Einfügungen wurden auf Seite 7 unten und Seite 8 oben platziert. Der neue Absatz ist weder in Bonnets französischem Originaltext noch in Übersetzungen des Werks ins Italienische und Englische enthalten.

Der eingefügte Text von Titius besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil erklärt die Abfolge der planetaren Entfernungen von der Sonne:

Beachten Sie die Abstände der Planeten voneinander und erkennen Sie, dass fast alle in einem Verhältnis voneinander getrennt sind, das ihren Körpergrößen entspricht. Teilen Sie die Entfernung von der Sonne zum Saturn in 100 Teile; dann ist Merkur durch vier solcher Teile von der Sonne getrennt, Venus durch 4+3=7 solche Teile, die Erde durch 4+6=10, Mars durch 4+12=16. Beachten Sie jedoch, dass es vom Mars zum Jupiter eine Abweichung von diesem so genauen Verlauf gibt. Vom Mars folgt ein Raum von 4+24=28 solcher Teile, aber bisher wurde dort kein Planet gesichtet. Aber hätte der Lord Architect diesen Raum leer lassen sollen? Gar nicht. Nehmen wir also an, dass dieser Raum zweifelsfrei zu den noch unentdeckten Satelliten des Mars gehört, fügen wir noch hinzu, dass Jupiter vielleicht noch einige kleinere um sich herum hat, die noch von keinem Teleskop gesichtet wurden. Neben diesem für uns noch unerforschten Raum erhebt sich der Einflussbereich des Jupiter bei 4+48=52 Teilen; und das von Saturn bei 4+96=100 Teilen.

1772 veröffentlichte JE Bode , damals 25 Jahre alt, ein astronomisches Kompendium, in das er die folgende Fußnote unter Berufung auf Titius (in späteren Ausgaben) einfügte:

Dieser letztere Punkt scheint insbesondere aus der erstaunlichen Beziehung zu folgen, die die bekannten sechs Planeten in ihren Entfernungen von der Sonne beobachten. Nehmen wir den Abstand von der Sonne zum Saturn als 100 an, dann ist Merkur durch 4 solcher Teile von der Sonne getrennt. Venus ist 4+3=7. Die Erde 4+6=10. Mars 4+12=16. Jetzt kommt eine Lücke in diesem so geordneten Verlauf. Nach dem Mars folgt ein Raum von 4+24=28 Teilen, in dem noch kein Planet gesehen wurde. Kann man glauben, dass der Gründer des Universums diesen Raum leer gelassen hat? Sicherlich nicht. Von hier aus erreichen wir den Abstand von Jupiter um 4+48=52 Teile und schließlich den von Saturn um 4+96=100 Teile.

Diese beiden Aussagen scheinen trotz ihres eigentümlichen Ausdrucks und der für die Bahnen verwendeten Radien aus einem antiken Algorithmus eines Kossisten zu stammen .

Es wurden viele Präzedenzfälle gefunden, die vor dem 17. Jahrhundert liegen. Titius war ein Schüler des deutschen Philosophen CF von Wolf (1679–1754), und der zweite Teil des Textes, den Titius in Bonnets Werk eingefügt hat, ist in einem Buch von Wolf (1723), was darauf hindeutet, dass Titius die Beziehung von ihm gelernt hat. Die Literatur des 20. Jahrhunderts über das Titius-Bode-Recht schreibt von Wolf die Autorschaft zu. Eine frühere Version wurde von D. Gregory (1702) geschrieben, in der die Abfolge der Planetenabstände 4, 7, 10, 16, 52 und 100 zu einer geometrischen Progression mit dem Verhältnis 2 wurde. Dies ist die nächste Newtonsche Formel, die zitiert wurde von Benjamin Martin und Tomàs Cerdà Jahre vor der deutschen Veröffentlichung von Bonnets Buch. In den nächsten zwei Jahrhunderten präsentierten nachfolgende Autoren weiterhin ihre eigenen modifizierten Versionen, anscheinend ohne Kenntnis von früheren Arbeiten.

Titius und Bode hofften, dass das Gesetz zur Entdeckung neuer Planeten führen würde, und tatsächlich trug die Entdeckung von Uranus und Ceres – deren Entfernungen gut zum Gesetz passen – zum Ruhm des Gesetzes bei. Die Entfernung von Neptun war jedoch sehr unterschiedlich, und tatsächlich ist Pluto – nicht mehr als Planet betrachtet – in einer mittleren Entfernung, die ungefähr derjenigen entspricht, die das Titius-Bode-Gesetz für den nächsten Planeten außerhalb von Uranus vorhersagte.

Bei seiner ursprünglichen Veröffentlichung wurde das Gesetz ungefähr von allen damals bekannten Planeten – dh Merkur bis Saturn – mit einer Lücke zwischen dem vierten und fünften Planeten erfüllt . Vikarius (Johann Friedrich) Wurm (1787) schlug eine modifizierte Version des Titius-Bode-Gesetzes vor, das die damals bekannten Satelliten Jupiter und Saturn berücksichtigte und die Entfernung für Merkur besser vorhersagte.

Das Titius-Bode-Gesetz galt als interessant, aber ohne große Bedeutung bis zur Entdeckung des Uranus im Jahr 1781, der zufällig in die Reihe passt. Aufgrund dieser Entdeckung forderte Bode seine Zeitgenossen auf, nach einem fünften Planeten zu suchen. Ceres , das größte Objekt im Asteroidengürtel , wurde 1801 an Bodes vorhergesagter Position gefunden.

Bodes Gesetz wurde zu diesem Zeitpunkt weithin akzeptiert, bis 1846 Neptun an einem Ort entdeckt wurde, der nicht dem Gesetz entspricht. Gleichzeitig war Ceres aufgrund der großen Anzahl von Asteroiden, die im Gürtel entdeckt wurden , kein großer Planet mehr. Im Jahr 1898 verwendete der Astronom und Logiker CS Peirce das Bodessche Gesetz als Beispiel für eine irrige Argumentation.

Die Entdeckung des Pluto im Jahr 1930 verwirrte die Frage noch weiter: Obwohl er nach dem Bodesschen Gesetz bei weitem nicht an seiner vorhergesagten Position lag, war er doch fast an der Position, die das Gesetz für Neptun vorgesehen hatte. Die spätere Entdeckung des Kuiper-Gürtels – und insbesondere des Objekts Eris , das massiver als Pluto ist, aber nicht zu Bodes Gesetz passt – hat die Formel weiter diskreditiert.

Eine mögliche frühere Version

1760 leitete Tomàs Cerdà einen renommierten Astronomiekurs, der zu einem Lehrbuch Tratado de Astronomía führte .

In Tratado de Astronomía erhält Cerdà die Planetenabstände aus den Umlaufperioden durch Anwendung des dritten Keplerschen Gesetzes mit einer Genauigkeit von 10 −3  . Skaliert man den durchschnittlichen Abstand der Erde von der Sonne mit 10 und rundet man auf ganze Zahlen, kann man den geometrischen Verlauf ausdrücken als

Unter Verwendung der gleichmäßigen Kreisbewegung der fiktiven mittleren Anomalie von Kepler können Werte entsprechend den Verhältnissen jedes Planeten erhalten werden als

was 1,82, 1,84, 1,86, 1,88 und 1,90 ergibt, wobei

das Verhältnis zwischen der Keplerschen Nachfolge und dem Titius-Bode-Gesetz, wäre ein numerischer Zufall. Das Verhältnis liegt nahe 2, steigt aber von 1,82 harmonisch an.

Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Planeten nimmt von zu ab , wenn er sich von der Sonne wegbewegt, und unterscheidet sich von einem gleichmäßigen Abstieg , um sich davon zu erholen (Orbitalresonanz).

Daten

Das Titius-Bode-Gesetz sagt voraus, dass Planeten in bestimmten Abständen in astronomischen Einheiten vorhanden sein werden , was mit den beobachteten Daten für die Planeten und zwei Zwergplaneten im Sonnensystem verglichen werden kann:

Grafische Darstellung der acht Planeten Pluto und Ceres gegenüber den ersten zehn vorhergesagten Entfernungen.
m k T-B-Regelabstand (AU) Planet Große Halbachse (AU) Abweichung von Vorhersage 1
0 0,4 Quecksilber 0,39 −3,23%
0 1 0,7 Venus 0,72 +3,33%
1 2 1.0 Erde 1.00 0,00%
2 4 1,6 Mars 1,52 −4,77%
3 8 2,8 Ceres 2 2,77 −1,16 %
4 16 5.2 Jupiter 5.20 +0,05%
5 32 10,0 Saturn 9,58 −4,42%
6 64 19,6 Uranus 19.22 −1,95%
Neptun 30.07
7 128 38,8 Pluto 2 39.48 +1,02 %

1 Für große k ist jeder Titius-Bode-Regelabstand ungefähr doppelt so groß wie der vorhergehende Wert. Daher kann ein beliebiger Planet innerhalb von -25% bis +50% einer der vorhergesagten Positionen gefunden werden. Für kleine k verdoppeln sich die vorhergesagten Abstände nicht vollständig, so dass der Bereich der potentiellen Abweichung kleiner ist. Beachten Sie, dass die große Halbachse proportional zur 2/3-Potenz der Umlaufperiode ist . Zum Beispiel werden Planeten in einer 2:3- Orbitalresonanz (wie Plutinos relativ zu Neptun ) in der Entfernung um (2/3) 2/3 = -23,69% und +31,04% relativ zueinander variieren .

2 Ceres und Pluto sind eher Zwergplaneten als große Planeten .

Blagg-Formulierung

Im Jahr 1913 besuchte Mary Blagg , eine Astronomin aus Oxford, das Gesetz erneut. Sie analysierte die Bahnen des Planetensystems und die der Satellitensysteme der äußeren Gasriesen Jupiter, Saturn und Uranus. Sie untersuchte das Protokoll der Entfernungen und versuchte, den besten „durchschnittlichen“ Unterschied zu finden.

Funktion f der Blagg-Formulierung des Titius-Bode-Gesetzes der Planetenabstände

Ihre Analyse ergab eine andere Formel:

wo:

Beachten Sie, dass in ihrer Formulierung das Gesetz für das Sonnensystem am besten durch eine Progression in 1,7275 repräsentiert wurde , nicht in 2.

Blagg untersuchte die Satellitensysteme von Jupiter, Saturn und Uranus und entdeckte in jedem das gleiche Progressionsverhältnis (1,7275).

Konstanten der Blagg-Formulierung des Titius-Bode-Gesetzes
System EIN B
Planeten 0,4162 2.025 112,4° 56,6°
Jupiter 0.4523 1.852 113,0° 36,0°
Saturn 3.074 0,0071 118,0° 10,0°
Uranus 2.98 0,0805 125,7° 12,5°

Ihr Artikel erschien 1913 in den Monthly Notices of the Royal Astronomical Society und wurde bis 1953 vergessen, als AE Roy vom Glasgow University Observatory darauf stieß , als er ein anderes Problem erforschte. Er bemerkte, dass Blagg selbst vorgeschlagen hatte, dass ihre Formel ungefähre mittlere Entfernungen anderer Körper angeben könnte, die 1913 noch unentdeckt waren. Seitdem wurden sechs Körper in drei von Blagg untersuchten Systemen entdeckt: Pluto, Jupiter IX Sinope, X Lysithea, XI Carme, XII Ananke und Uranus V. Miranda.

Roy fand, dass alle sechs sehr gut passten. Darüber hinaus wurde eine weitere von Blaggs Vorhersagen bestätigt: dass einige Körper in bestimmten Entfernungen gruppiert waren.

Ihre Formel sagte auch voraus, dass ein transplutonischer Planet etwa 68 AE von der Sonne entfernt liegen würde.

Vergleich der Blagg-Formulierung mit Beobachtung

Körper in Klammern waren 1913 nicht bekannt, als Blagg ihre Arbeit schrieb. Einige der berechneten Entfernungen in den Systemen Saturn und Uranus sind nicht sehr genau. Dies liegt daran, dass die niedrigen Werte der Konstanten B in der obigen Tabelle sie sehr empfindlich für die genaue Form der Funktion f machen.

Planeten
Planet n Distanz Blagg Gesetz
Quecksilber -2 0,387 0,387
Venus -1 0,723 0,723
Erde 0 1.000 1.000
Mars 1 1,524 1,524
Vesta 2 2.362 2.67
Juno 2 2.670 2.67
Pallas 2 2.774 2.67
Ceres 2 2.769 2.67
Jupiter 3 5.204 5.200
Saturn 4 9.583 9.550
Uranus 5 19.22 19.23
Neptun 6 30.07 30.13
(Pluto) 7 (39.48) 41,8
Jupiter-System
Jupiter-System n Distanz Blagg Gesetz
Amalthea -2 0,429 0,429
-1 0,708
Io 0 1.000 1.000
Europa 1 1.592 1.592
Ganymed 2 2.539 2.541
Kallisto 3 4.467 4.467
4 9,26
5 15,4
Himalia 6 27,25 27.54
Elara 6 27,85 27.54
(Lysithea) 6 (27.85) 27.54
(Ananke) 7 (49,8) 55,46
(Carme) 7 (53.3) 55,46
Pasiphae 7 55,7 55,46
(Sinope) 7 (56.2) 55,46
Saturn-System
Saturn-System n Distanz Blagg Gesetz
(Janus) -3 (0.538) 0,54
Mimas -2 0,630 0,629
Enceladus -1 0.808 0,807
Tethys 0 1.000 1.000
Dion 1 1.281 1.279
Rhea 2 1.789 1.786
3 2.97
Titan 4 4.149 4.140
Hyperion 5 5.034 5.023
6 6.3
7 6.65
8 7.00
Iapetus 9 12.09 12.11
Phoebe 10 43,92 43,85
Uranus-System
Uranus-System n Distanz Blagg Gesetz
(Miranda) -2 (0.678) 0,64
-1 0,77
Ariel 0 1.000 1.000
Umbriel 1 1.394 1.393
Titania 2 2.293 2.286
Oberon 3 3.058 3.055

Richardson-Formulierung

1945 kam DE Richardson unabhängig von Blagg zu dem gleichen Schluss, dass das Progressionsverhältnis nicht 2, sondern 1,728 betrug :

wobei eine oszillatorische Funktion von ist , dargestellt durch Abstände von einem außermittigen Ursprung zu winkelmäßig variierenden Punkten auf einer "Verteilungsellipse".

Historische Trägheit

Nieto, der die erste moderne umfassende Überprüfung des Titius-Bode-Gesetzes durchführte, stellte fest: "Die psychologische Wirkung des Gesetzes über die Astronomie war so groß, dass die Menschen immer dazu neigten, seine ursprüngliche Form als diejenige zu betrachten, auf die sich Theorien stützen." Er betonte, dass "zukünftige Theorien sich von der Voreingenommenheit befreien müssen, ein Progressionsverhältnis von 2 zu erklären":

Hervorzuheben ist, dass die historische Tendenz zu einem Progressionsverhältnis von 2 aufgegeben werden muss. Es sollte klar sein, dass die erste Formulierung von Titius (mit ihrem asymmetrischen ersten Term) als eine gute erste Vermutung angesehen werden sollte. Sicherlich sollte dies nicht unbedingt als die beste Vermutung angesehen werden , auf die sich Theorien beziehen. Aber in der Astronomie ist das Gewicht der Geschichte schwer... Trotz der Tatsache, dass die Zahl 1,73 viel besser ist, klammern sich Astronomen an die ursprüngliche Zahl 2.

Theoretische Erklärungen

Dem Titius-Bode-Gesetz liegt keine solide theoretische Erklärung zugrunde – aber es ist möglich, dass bei einer Kombination aus Bahnresonanz und Mangel an Freiheitsgraden jedes stabile Planetensystem mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Titius-Bode-artige Beziehung erfüllt. Da es sich eher um einen mathematischen Zufall als um ein "Naturgesetz" handelt, wird es manchmal als Regel anstelle von "Gesetz" bezeichnet. Auf der einen Seite, Astrophysiker Alan Boss heißt es, dass es nur ein Zufall ist, und die Planeten Wissenschaft Zeitschrift Icarus nicht mehr akzeptiert verbesserte Versionen des bereitzustellen Papiere versuchen „Gesetz“ . Andererseits deutet eine wachsende Datenmenge von exoplanetaren Systemen auf eine verallgemeinerte Erfüllung dieser Regel in anderen Planetensystemen hin.

Bahnresonanz von großen umlaufenden Körpern erzeugt Regionen um die Sonne , die frei von langzeitstabilen Bahnen sind. Ergebnisse aus Simulationen der Planetenentstehung unterstützen die Idee, dass ein zufällig ausgewähltes, stabiles Planetensystem wahrscheinlich ein Titius-Bode-Gesetz erfüllen wird.

Dubrulle und Graner zeigten, dass die Potenzgesetz-Abstandsregeln eine Folge von kollabierenden Wolkenmodellen von Planetensystemen sein können, die zwei Symmetrien besitzen: Rotationsinvarianz (dh die Wolke und ihr Inhalt sind axialsymmetrisch) und Skaleninvarianz (dh die Wolke und ihre Inhalt sieht auf allen Skalen gleich aus). Letzteres ist ein Merkmal vieler Phänomene, von denen angenommen wird, dass sie eine Rolle bei der Planetenentstehung spielen, wie beispielsweise Turbulenzen.

Natürliche Satellitensysteme und exoplanetare Systeme

Es steht derzeit nur eine begrenzte Anzahl von Systemen zur Verfügung, an denen das Bodesche Gesetz getestet werden kann. Zwei Sonnenplaneten haben genügend große Monde, die wahrscheinlich in einem ähnlichen Prozess entstanden sind wie die Planeten. Die vier großen Satelliten von Jupiter und der größte innere Satellit (dh Amalthea ) klammern sich an einen regelmäßigen, aber nicht Titius-Bode-Abstand, wobei die vier innersten Satelliten in Umlaufperioden eingeschlossen sind, die jeweils doppelt so groß sind wie die des nächsten inneren Satelliten. In ähnlicher Weise haben die großen Monde von Uranus einen regelmäßigen, nicht Titius-Bode-Abstand. Laut Martin Harwit

"Eine leichte Neuformulierung dieses Gesetzes erlaubt es uns, nicht nur die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, sondern auch die Umlaufbahnen der Monde um ihre Mutterplaneten einzubeziehen."

Die neue Formulierung ist als „ Dermottsches Gesetz “ bekannt.

Von den jüngsten Entdeckungen extrasolarer Planetensysteme haben nur wenige genügend bekannte Planeten, um zu testen, ob ähnliche Regeln gelten. Ein Versuch mit 55 Cancri schlug die Gleichung vor und prognostiziert kontrovers einen unentdeckten Planeten oder ein Asteroidenfeld bei 2  AE . Darüber hinaus wurden die Umlaufperiode und die große Halbachse des innersten Planeten im 55-Cancri- System seit der Veröffentlichung dieser Studien stark überarbeitet (von 2,817 Tagen auf 0,737 Tage bzw. von 0,038  AE auf 0,016  AE ).

Jüngste astronomische Forschungen legen nahe, dass Planetensysteme um einige andere Sterne Titius-Bode-ähnlichen Gesetzen folgen könnten. Bovaird und Lineweaver wendeten eine verallgemeinerte Titius-Bode-Beziehung auf 68 Exoplanetensysteme an, die vier oder mehr Planeten enthalten. Sie zeigten, dass 96% dieser Exoplanetensysteme in ähnlichem oder größerem Maße an einer verallgemeinerten Titius-Bode-Beziehung festhalten als das Sonnensystem. Die Standorte potenziell unentdeckter Exoplaneten werden in jedem System vorhergesagt.

Nachfolgende Forschungen entdeckten fünf Planetenkandidaten von den 97 Planeten, die für die 68 Planetensysteme vorhergesagt wurden. Die Studie zeigte, dass die tatsächliche Anzahl der Planeten größer sein könnte. Die Häufigkeiten von Mars- und Merkur-großen Planeten sind derzeit unbekannt, so dass viele Planeten aufgrund ihrer geringen Größe übersehen werden könnten. Andere mögliche Gründe, die für scheinbare Diskrepanzen verantwortlich sein können, sind Planeten, die den Stern nicht passieren, oder Umstände, unter denen der vorhergesagte Raum von zirkumstellaren Scheiben besetzt ist . Trotz dieser Art von Zulassungen war die Anzahl der Planeten, die mit den Vorhersagen des Titius-Bode-Gesetzes gefunden wurden, geringer als erwartet.

In einem Papier aus dem Jahr 2018 wurde die Idee eines hypothetischen achten Planeten um TRAPPIST-1 namens "TRAPPIST-1i" unter Verwendung des Titius-Bode-Gesetzes vorgeschlagen. TRAPPIST-1i hatte eine ausschließlich auf dem Titius-Bode-Gesetz basierende Vorhersage mit einer Umlaufzeit von 27,53 ± 0,83 Tagen .

Schließlich weisen Rohstatistiken von exoplanetaren Umlaufbahnen stark auf eine allgemeine Erfüllung der Titius-Bode-ähnlichen Gesetze (mit exponentiellem Anstieg der großen Halbachsen als Funktion des Planetenindex) in allen exoplanetaren Systemen hin; wenn man ein blindes Histogramm der Orbitalhalbachsen für alle bekannten Exoplaneten, für die diese Größe bekannt ist, erstellt und es mit dem vergleicht, was zu erwarten ist, wenn Planeten sich nach Titius-Bode-ähnlichen Gesetzen verteilen, ein signifikanter Grad an Übereinstimmung (dh , 78%) erhalten.

Siehe auch

Fußnoten

Verweise

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