Triacontagon - Triacontagon

Regelmäßiges Triacontagon
Normales Polygon 30.svg
Ein normales Triacontagon
Art Regelmäßiges Vieleck
Kanten und Eckpunkte 30
Schläfli-Symbol {30}, t {15}
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel-Knoten 1.pngCDel 15.pngCDel-Knoten 1.png
Symmetriegruppe Dieder (D 30 ), Ordnung 2 × 30
Innenwinkel ( Grad ) 168 °
Duales Polygon Selbst
Eigenschaften Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal

In der Geometrie ist ein Triacontagon oder 30-Gon ein dreißigseitiges Polygon . Die Summe der Innenwinkel eines Triacontagons beträgt 5040 Grad.

Regelmäßiges Triacontagon

Die regelmäßige triacontagon ist ein konstruierbar Polygon durch eine kanten- bisection eines regelmäßigen Fünfzehneck , und kann auch als konstruiert werden abgeschnitten Fünfzehneck , t {15}. Ein abgeschnittenes Triacontagon t {30} ist ein Hexacontagon {60}.

Ein Innenwinkel in einem regulären Triacontagon beträgt 168 Grad, was bedeutet, dass ein Außenwinkel 12 ° betragen würde. Das Triacontagon ist das größte reguläre Polygon, dessen Innenwinkel die Summe der Innenwinkel kleinerer Polygone ist : 168 ° ist die Summe der Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks (60 °) und des regulären Fünfecks (108 °).

Die Fläche eines regulären Triacontagons ist (mit t = Kantenlänge )

Der Inradius eines regulären Triacontagons ist

Der Zirkumradius eines regulären Triacontagons ist

Konstruktion

Regelmäßiges Triacontagon mit vorgegebenem Kreis

Als 30 = 2 × 3 × 5 ist ein reguläres Triacontagon unter Verwendung eines Kompasses und eines Lineals konstruierbar .

Symmetrie

Die Symmetrien eines regulären Triacontagons, wie mit Farben an Kanten und Eckpunkten gezeigt. Reflexionslinien sind durch die Eckpunkte blau und durch die Kanten lila. Kreisel sind als Zahlen in der Mitte angegeben. Scheitelpunkte werden durch ihre Symmetriepositionen gefärbt. Untergruppensymmetrien sind durch farbige Linien, Index 2, 3 und 5, verbunden.

Das reguläre Triacontagon hat eine Dieder 30- Dieder-Symmetrie , Ordnung 60, dargestellt durch 30 Reflexionslinien. Dih 30 hat 7 Diederuntergruppen: Dih 15 , (Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 6 , Dih 3 ) und (Dih 2 , Dih 1 ). Es hat auch acht weitere zyklische Symmetrien als Untergruppen: (Z 30 , Z 15 ), (Z 10 , Z 5 ), (Z 6 , Z 3 ) und (Z 2 , Z 1 ), wobei Z n π / n darstellt Rotationssymmetrie des Bogenmaßes.

John Conway beschriftet diese unteren Symmetrien mit einem Buchstaben und die Reihenfolge der Symmetrie folgt dem Buchstaben. Er gibt d (Diagonale) mit Spiegellinien durch Eckpunkte, p mit Spiegellinien durch Kanten (senkrecht), i mit Spiegellinien durch Eckpunkte und Kanten und g für Rotationssymmetrie. a1 kennzeichnet keine Symmetrie.

Diese niedrigeren Symmetrien ermöglichen Freiheitsgrade bei der Definition unregelmäßiger Triacontagone. Nur die Untergruppe g30 hat keine Freiheitsgrade, kann aber als gerichtete Kanten angesehen werden .

Präparation

30 g mit 420 Rauten

Coxeter gibt an, dass jedes Zonogon (ein 2 m- Gon, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind) in m ( m -1) / 2 Parallelogramme zerlegt werden kann . Dies gilt insbesondere für reguläre Polygone mit gleichmäßig vielen Seiten. In diesem Fall sind die Parallelogramme alle Rauten. Für das reguläre Triacontagon , m = 15, kann es in 105: 7 Sätze von 15 Rauten unterteilt werden. Diese Zerlegung basiert auf einer Petrie-Polygonprojektion eines 15-Würfels .

Beispiele
Rhombische Dissektion mit 30 Gon.svg 30-Gon-Dissektionsstern.svg 30-gon rhombische Dissektion2.svg 30-g-rhombische Dissektionx.svg 30-gon-dissection-random.svg

Triacontagram

Ein Triacontagramm ist ein 30-seitiges Sternpolygon . Es gibt 3 reguläre Formen, die durch Schläfli-Symbole {30/7}, {30/11} und {30/13} gegeben sind, und 11 zusammengesetzte Sternfiguren mit derselben Scheitelpunktkonfiguration .

Es gibt auch isogonale Triacontagramme, die als tiefere Kürzungen des regulären Pentadecagons {15} und Pentadecagram {15/7} konstruiert sind , sowie invertierte Pentadecagramme {15/11} und {15/13}. Andere Kürzungen bilden doppelte Bedeckungen: t {15/14} = {30/14} = 2 {15/7}, t {15/8} = {30/8} = 2 {15/4}, t {15 / 4} = {30/4} = 2 {15/4} und t {15/2} = {30/2} = 2 {15}.

Petrie-Polygone

Das reguläre Triacontagon ist das Petrie-Polygon für drei 8-dimensionale Polytope mit E 8 -Symmetrie, dargestellt in orthogonalen Projektionen in der E 8 Coxeter-Ebene . Es ist auch das Petrie-Polygon für zwei 4-dimensionale Polytope, dargestellt in der H 4 Coxeter-Ebene .

E 8 H 4
E8Petrie.svg
4 21
2 41 bis E8.svg
2 41
Gosset 1 42 Polytop petrie.svg
1 42
120-Zellen-Graph H4.svg
120 Zellen
600-Zellen-Graph H4.svg
600 Zellen

Das reguläre Triacontagramm {30/7} ist auch das Petrie-Polygon für die 120-Zellen- und 600-Zellen- Urzellen .

Verweise

  • Weisstein, Eric W. "Triacontagon" . MathWorld .
  • Polygone und Polyeder benennen
  • Triacontagon