Triacontagon - Triacontagon
Regelmäßiges Triacontagon | |
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Ein normales Triacontagon
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Art | Regelmäßiges Vieleck |
Kanten und Eckpunkte | 30 |
Schläfli-Symbol | {30}, t {15} |
Coxeter-Diagramm |
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Symmetriegruppe | Dieder (D 30 ), Ordnung 2 × 30 |
Innenwinkel ( Grad ) | 168 ° |
Duales Polygon | Selbst |
Eigenschaften | Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal |
In der Geometrie ist ein Triacontagon oder 30-Gon ein dreißigseitiges Polygon . Die Summe der Innenwinkel eines Triacontagons beträgt 5040 Grad.
Regelmäßiges Triacontagon
Die regelmäßige triacontagon ist ein konstruierbar Polygon durch eine kanten- bisection eines regelmäßigen Fünfzehneck , und kann auch als konstruiert werden abgeschnitten Fünfzehneck , t {15}. Ein abgeschnittenes Triacontagon t {30} ist ein Hexacontagon {60}.
Ein Innenwinkel in einem regulären Triacontagon beträgt 168 Grad, was bedeutet, dass ein Außenwinkel 12 ° betragen würde. Das Triacontagon ist das größte reguläre Polygon, dessen Innenwinkel die Summe der Innenwinkel kleinerer Polygone ist : 168 ° ist die Summe der Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks (60 °) und des regulären Fünfecks (108 °).
Die Fläche eines regulären Triacontagons ist (mit t = Kantenlänge )
Der Inradius eines regulären Triacontagons ist
Der Zirkumradius eines regulären Triacontagons ist
Konstruktion
Als 30 = 2 × 3 × 5 ist ein reguläres Triacontagon unter Verwendung eines Kompasses und eines Lineals konstruierbar .
Symmetrie
Das reguläre Triacontagon hat eine Dieder 30- Dieder-Symmetrie , Ordnung 60, dargestellt durch 30 Reflexionslinien. Dih 30 hat 7 Diederuntergruppen: Dih 15 , (Dih 10 , Dih 5 ), (Dih 6 , Dih 3 ) und (Dih 2 , Dih 1 ). Es hat auch acht weitere zyklische Symmetrien als Untergruppen: (Z 30 , Z 15 ), (Z 10 , Z 5 ), (Z 6 , Z 3 ) und (Z 2 , Z 1 ), wobei Z n π / n darstellt Rotationssymmetrie des Bogenmaßes.
John Conway beschriftet diese unteren Symmetrien mit einem Buchstaben und die Reihenfolge der Symmetrie folgt dem Buchstaben. Er gibt d (Diagonale) mit Spiegellinien durch Eckpunkte, p mit Spiegellinien durch Kanten (senkrecht), i mit Spiegellinien durch Eckpunkte und Kanten und g für Rotationssymmetrie. a1 kennzeichnet keine Symmetrie.
Diese niedrigeren Symmetrien ermöglichen Freiheitsgrade bei der Definition unregelmäßiger Triacontagone. Nur die Untergruppe g30 hat keine Freiheitsgrade, kann aber als gerichtete Kanten angesehen werden .
Präparation
Coxeter gibt an, dass jedes Zonogon (ein 2 m- Gon, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind) in m ( m -1) / 2 Parallelogramme zerlegt werden kann . Dies gilt insbesondere für reguläre Polygone mit gleichmäßig vielen Seiten. In diesem Fall sind die Parallelogramme alle Rauten. Für das reguläre Triacontagon , m = 15, kann es in 105: 7 Sätze von 15 Rauten unterteilt werden. Diese Zerlegung basiert auf einer Petrie-Polygonprojektion eines 15-Würfels .
Triacontagram
Ein Triacontagramm ist ein 30-seitiges Sternpolygon . Es gibt 3 reguläre Formen, die durch Schläfli-Symbole {30/7}, {30/11} und {30/13} gegeben sind, und 11 zusammengesetzte Sternfiguren mit derselben Scheitelpunktkonfiguration .
Verbindungen und Sterne | |||||||
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Bilden | Verbindungen | Sternpolygon | Verbindung | ||||
Bild |
{30/2} = 2 {15} |
{30/3} = 3 {10} |
{30/4} = 2 {15/2} |
{30/5} = 5 {6} |
{30/6} = 6 {5} |
{30/7} |
{30/8} = 2 {15/4} |
Innenwinkel | 156 ° | 144 ° | 132 ° | 120 ° | 108 ° | 96 ° | 84 ° |
Bilden | Verbindungen | Sternpolygon | Verbindung | Sternpolygon | Verbindungen | ||
Bild |
{30/9} = 3 {10/3} |
{30/10} = 10 {3} |
{30/11} |
{30/12} = 6 {5/2} |
{30/13} |
{30/14} = 2 {15/7} |
{30/15} = 15 {2} |
Innenwinkel | 72 ° | 60 ° | 48 ° | 36 ° | 24 ° | 12 ° | 0 ° |
Es gibt auch isogonale Triacontagramme, die als tiefere Kürzungen des regulären Pentadecagons {15} und Pentadecagram {15/7} konstruiert sind , sowie invertierte Pentadecagramme {15/11} und {15/13}. Andere Kürzungen bilden doppelte Bedeckungen: t {15/14} = {30/14} = 2 {15/7}, t {15/8} = {30/8} = 2 {15/4}, t {15 / 4} = {30/4} = 2 {15/4} und t {15/2} = {30/2} = 2 {15}.
Petrie-Polygone
Das reguläre Triacontagon ist das Petrie-Polygon für drei 8-dimensionale Polytope mit E 8 -Symmetrie, dargestellt in orthogonalen Projektionen in der E 8 Coxeter-Ebene . Es ist auch das Petrie-Polygon für zwei 4-dimensionale Polytope, dargestellt in der H 4 Coxeter-Ebene .
E 8 | H 4 | |||
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4 21 |
2 41 |
1 42 |
120 Zellen |
600 Zellen |
Das reguläre Triacontagramm {30/7} ist auch das Petrie-Polygon für die 120-Zellen- und 600-Zellen- Urzellen .