Dreiecksungleichung - Triangle inequality

Drei Beispiele für die Dreiecksungleichung für Dreiecke mit Seitenlängen x , y , z . Das obere Beispiel zeigt einen Fall, bei dem z viel kleiner ist als die Summe x + y der anderen beiden Seiten, und das untere Beispiel zeigt einen Fall, bei dem die Seite z nur geringfügig kleiner als x + y ist .

In der Mathematik besagt die Dreiecksungleichung , dass für jedes Dreieck die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten größer oder gleich der Länge der verbleibenden Seite sein muss. Diese Aussage erlaubt die Einbeziehung entarteter Dreiecke , aber einige Autoren, insbesondere diejenigen, die über elementare Geometrie schreiben, werden diese Möglichkeit ausschließen und damit die Möglichkeit der Gleichheit auslassen. Wenn x , y und z die Längen der Seiten des Dreiecks sind, wobei keine Seite größer als z ist , dann besagt die Dreiecksungleichung, dass

mit Gleichheit nur im entarteten Fall eines Dreiecks mit Nullfläche. In der euklidischen Geometrie und einigen anderen Geometrien ist die Dreiecksungleichung ein Satz über Entfernungen und wird mit Vektoren und Vektorlängen ( Normen ) geschrieben:

wobei die Länge z der dritten Seite durch die Vektorsumme x + y ersetzt wurde . Wenn x und y sind reelle Zahlen sind , können sie als Vektoren betrachtet werden , in R 1 und die Dreiecksungleichung drückt eine Beziehung zwischen der absoluten Werte .

In der euklidischen Geometrie ist die Dreiecksungleichung für rechtwinklige Dreiecke eine Folge des Satzes des Pythagoras und für allgemeine Dreiecke eine Folge des Kosinussatzes , obwohl sie ohne diese Sätze bewiesen werden kann. Die Ungleichung kann intuitiv entweder in R 2 oder R 3 betrachtet werden . Die Abbildung rechts zeigt drei Beispiele, die mit deutlicher Ungleichheit (oben) beginnen und sich der Gleichheit nähern (unten). Im euklidischen Fall tritt Gleichheit nur auf, wenn das Dreieck einen 180° -Winkel und zwei -Winkel hat, wodurch die drei Scheitelpunkte kollinear werden , wie im unteren Beispiel gezeigt. Somit ist in der euklidischen Geometrie der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine gerade Linie.

In der sphärischen Geometrie ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ein Großkreisbogen , aber die Dreiecksungleichung gilt, sofern die Einschränkung gemacht wird, dass der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kugel die Länge eines kleinen sphärischen Liniensegments (d. h. einer mit Zentralwinkel in [0, π ] ) mit diesen Endpunkten.

Die Dreiecksungleichung ist eine definierende Eigenschaft von Normen und Abstandsmaßen . Diese Eigenschaft muss für jede Funktion als Theorem festgelegt wird für jeden speziellen Raum für solche Zwecke vorgeschlagen: zum Beispiel Räume wie die reellen Zahlen , die euklidischen Räume , die L p Räume ( p ≥ 1 ) und Prähilbertraum .

Euklidische Geometrie

Euklids Konstruktion zum Beweis der Dreiecksungleichung für ebene Geometrie.

Euklid bewies die Dreiecksungleichung für Abstände in der ebenen Geometrie mit der Konstruktion in der Abbildung. Beginnend mit dem Dreieck ABC wird ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, wobei eine Seite als BC genommen wird und der andere gleiche Schenkel BD entlang der Verlängerung der Seite AB genommen wird . Es wird dann argumentiert, dass der Winkel β > α ist , also die Seite AD > AC . Aber AD = AB + BD = AB + BC also die Summe der Seiten AB + BC > AC . Dieser Beweis erscheint in Euklids Elements , Buch 1, Proposition 20.

Mathematischer Ausdruck der Nebenbedingung an den Seiten eines Dreiecks

Für ein echtes Dreieck übersetzt sich die Dreiecksungleichung, wie in Worten ausgedrückt, wörtlich in drei Ungleichungen (vorausgesetzt, ein echtes Dreieck hat Seitenlängen a , b , c , die alle positiv sind und den entarteten Fall der Nullfläche ausschließt):

Eine prägnantere Form dieses Ungleichungssystems kann gezeigt werden als

Eine andere Möglichkeit, es zu sagen, ist

implizieren

und somit ist die längste Seitenlänge kleiner als der Semiperimeter .

Eine mathematisch äquivalente Formulierung ist, dass die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten a , b , c eine reelle Zahl größer Null sein muss. Die Formel von Reiher für das Gebiet lautet

In Bezug auf jeden Flächenausdruck entspricht die auf allen Seiten auferlegte Dreiecksungleichung der Bedingung, dass der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen reell und größer als Null ist (also der Flächenausdruck reell und größer als Null ist).

Die Dreiecksungleichung liefert zwei weitere interessante Randbedingungen für Dreiecke, deren Seiten a, b, c sind , wobei abc und der Goldene Schnitt ist , da

Rechtwinkliges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Seiten AB = AC geteilt in zwei rechtwinklige Dreiecke durch eine Höhe von einem der beiden Basiswinkel.

Bei rechtwinkligen Dreiecken spezialisiert sich die Dreiecksungleichung auf die Aussage, dass die Hypotenuse größer als eine der beiden Seiten und kleiner als ihre Summe ist.

Der zweite Teil dieses Satzes ist bereits oben für jede beliebige Seite eines Dreiecks aufgestellt. Der erste Teil wird anhand der unteren Abbildung festgelegt. Betrachten Sie in der Abbildung das rechtwinklige Dreieck ADC . Ein gleichschenkliges Dreieck ABC wird mit gleichen Seiten AB = AC konstruiert . Aus dem Dreieckspostulat erfüllen die Winkel im rechtwinkligen Dreieck ADC :

Ebenso erfüllen im gleichschenkligen Dreieck ABC die Winkel:

Deswegen,

und damit insbesondere

Das heißt, die Seite AD gegenüber dem Winkel α ist kürzer als die Seite AB gegenüber dem größeren Winkel β . Aber AB = AC . Somit:

Eine ähnliche Konstruktion zeigt AC > DC , was den Satz begründet.

Ein alternativer Beweis (ebenfalls basierend auf dem Dreieckspostulat) geht von der Betrachtung von drei Positionen für Punkt B aus : (i) wie abgebildet (was zu beweisen ist) oder (ii) B fällt mit D zusammen (was bedeuten würde, dass das gleichschenklige Dreieck zwei rechte Winkel als Basiswinkel plus dem Scheitelwinkel γ , was das Dreieckspostulat verletzen würde ), oder schließlich (iii) B innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks zwischen den Punkten A und D (in diesem Fall ist der Winkel ABC ein Außenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks BDC und damit größer als π / 2 , die anderen Basiswinkel des Dreiecks auch gleichschenklig Sinn größer als π / 2 und ihre Summe überschreitet π in Verletzung des Dreiecks Postulats).

Dieser Satz, der Ungleichungen aufstellt, wird durch den Satz des Pythagoras auf die Gleichheit geschärft, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist.

Anwendungsbeispiele

Betrachten Sie ein Dreieck, dessen Seiten sich in einer arithmetischen Folge befinden und seien die Seiten a , a + d , a + 2 d . Dann verlangt die Dreiecksungleichung, dass

Um all diese Ungleichungen zu erfüllen, bedarf es

Wenn d so gewählt wird, dass d = a /3 , erzeugt es ein rechtwinkliges Dreieck, das immer ähnlich dem pythagoräischen Tripel mit den Seiten 3 , 4 , 5 ist .

Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Seiten sich in einer geometrischen Progression befinden und seien die Seiten a , ar , ar 2 . Dann verlangt die Dreiecksungleichung, dass

Die erste Ungleichung erfordert a > 0 ; folglich kann es geteilt und eliminiert werden. Bei a > 0 erfordert die mittlere Ungleichung nur r > 0 . Damit sind nun die erste und dritte Ungleichung zu erfüllen

Die erste dieser quadratischen Ungleichungen erfordert, dass r im Bereich jenseits des Wertes der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung r 2 + r − 1 = 0 liegt , dh r > φ − 1 wobei φ der Goldene Schnitt ist . Die zweite quadratische Ungleichung erfordert, dass r zwischen 0 und der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung r 2r − 1 = 0 liegt , dh 0 < r < φ . Die kombinierten Anforderungen führen dazu, dass r auf den Bereich

Wenn r das gemeinsame Verhältnis so gewählt wird, dass r = φ ist , erzeugt es ein rechtwinkliges Dreieck, das immer ähnlich dem Kepler-Dreieck ist .

Verallgemeinerung auf ein beliebiges Polygon

Die Dreiecksungleichung kann durch mathematische Induktion auf beliebige polygonale Pfade erweitert werden, was zeigt, dass die Gesamtlänge eines solchen Pfades nicht geringer ist als die Länge der Geraden zwischen seinen Endpunkten. Folglich ist die Länge einer Polygonseite immer kleiner als die Summe der anderen Polygonseitenlängen.

Beispiel für die verallgemeinerte Polygonungleichung für ein Viereck

Betrachten Sie ein Viereck, dessen Seiten sich in einer geometrischen Folge befinden und seien die Seiten a , ar , ar 2 , ar 3 . Dann verlangt die verallgemeinerte Polygonungleichung, dass

Diese Ungleichungen für a > 0 reduzieren sich auf:

Die Polynome auf der linken Seite dieser beiden Ungleichungen haben Wurzeln, die die Tribonacci-Konstante und ihr Kehrwert sind. Folglich ist r auf den Bereich 1/ t < r < t beschränkt, wobei t die Tribonacci-Konstante ist.

Beziehung mit kürzesten Wegen

Die Bogenlänge einer Kurve ist definiert als die kleinste obere Grenze der Längen polygonaler Näherungen.

Diese Verallgemeinerung kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten in der euklidischen Geometrie eine Gerade ist.

Kein polygonaler Pfad zwischen zwei Punkten ist kürzer als die Linie zwischen ihnen. Dies impliziert, dass keine Kurve eine Bogenlänge haben kann, die kleiner ist als der Abstand zwischen ihren Endpunkten. Per Definition ist die Bogenlänge einer Kurve die kleinste obere Grenze der Längen aller polygonalen Näherungen der Kurve. Das Ergebnis für polygonale Pfade zeigt, dass die Gerade zwischen den Endpunkten die kürzeste aller polygonalen Approximationen ist. Da die Bogenlänge der Kurve größer oder gleich der Länge jeder polygonalen Näherung ist, kann die Kurve selbst nicht kürzer als der gerade Linienpfad sein.

Umgekehrt

Auch die Umkehrung des Dreiecksungleichungssatzes gilt: Wenn drei reelle Zahlen so sind, dass jede kleiner ist als die Summe der anderen, dann existiert ein Dreieck mit diesen Zahlen als Seitenlängen und mit positiver Fläche; und wenn eine Zahl gleich der Summe der beiden anderen ist, existiert ein entartetes Dreieck (d. h. mit Nullfläche) mit diesen Zahlen als Seitenlängen.

In beiden Fällen können wir , wenn die Seitenlängen a, b, c sind, versuchen, ein Dreieck in der euklidischen Ebene zu platzieren, wie im Diagramm gezeigt. Wir müssen beweisen, dass es eine reelle Zahl h gibt, die mit den Werten a, b und c konsistent ist , in diesem Fall existiert dieses Dreieck.

Dreieck mit Höhe h schneidet Basis c in d + ( cd ) .

Durch den Satz des Pythagoras haben wir b 2 = h 2 + d 2 und a 2 = h 2 + ( c - d ) 2 gemäß der Figur an der rechten Seite . Subtrahiert ergibt a 2b 2 = c 2 − 2 cd . Mit dieser Gleichung können wir d durch die Seiten des Dreiecks ausdrücken :

Für die Höhe des Dreiecks gilt h 2 = b 2d 2 . Indem wir d durch die oben angegebene Formel ersetzen , haben wir

Damit eine reelle Zahl h dies erfüllt, muss sie nicht negativ sein:

was gilt, wenn die Dreiecksungleichung für alle Seiten erfüllt ist. Daher existiert eine reelle Zahl h, die mit den Seiten a, b, c konsistent ist , und das Dreieck existiert. Wenn jede Dreiecksungleichung strikt gilt , ist h > 0 und das Dreieck ist nicht entartet (hat eine positive Fläche); aber wenn eine der Ungleichungen mit Gleichheit gilt, also h = 0, ist das Dreieck entartet.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die Fläche einer Dreiecksfläche eines Tetraeders ist kleiner oder gleich der Summe der Flächen der anderen drei Dreiecksflächen. Allgemeiner ausgedrückt, im euklidischen Raum ist die Hyperfläche einer ( n − 1) - Facette eines n - Simplex (dh Dreieck ( n = 2 ), Tetraeder ( n = 3 ), Pentatop ( n = 4 ), etc.) kleiner oder gleich der Summe der Hyperflächen der anderen n Facetten. So wie sich die Dreiecksungleichung zu einer Polygonungleichung verallgemeinert – siehe oben – verallgemeinert sich die Ungleichung für ein Simplex beliebiger Dimension zu einem Polytop jeder Dimension: Die Hyperfläche jeder Facette eines Polytops ist kleiner oder gleich der Summe der Hyperflächen von die restlichen Facetten.

Beachten Sie, dass die Dreiecksungleichung nicht immer die tetraedrische Ungleichung im folgenden Sinne impliziert. Angenommen, es gibt vier Punkte und die paarweisen Abstände zwischen ihnen sind AB = BC = CA = 7 und AZ = BZ = CZ = 4 . Jedes Triplett dieser Punkte erfüllt die Dreiecksungleichung, aber es stellt sich heraus, dass die vier Punkte nicht die Eckpunkte eines Tetraeders sein können, in diesem Fall mit einem 7-7-7 gleichseitigen Dreieck und drei 7-4-4 gleichschenkligen Dreiecken als Flächen. Wir wissen dies, weil die tetraedrische Ungleichung nicht erfüllt ist: Die Fläche des Dreiecks ABC wäre nach der Heronschen Formel ungefähr 21,22 , und das ist nicht weniger als die Summe der Flächen der drei anderen Dreiecke, die nach der Heronschen Formel jeweils ungefähr 6,78 betragen .

Normierter Vektorraum

Dreiecksungleichung für Vektornormen.

In einem normierten Vektorraum V ist eine der definierenden Eigenschaften der Norm die Dreiecksungleichung:

dh die Norm der Summe zweier Vektoren ist höchstens so groß wie die Summe der Normen der beiden Vektoren. Dies wird auch als Subadditivität bezeichnet . Damit sich eine vorgeschlagene Funktion als Norm verhält, muss sie diese Anforderung erfüllen. Wenn der normierte Raum euklidisch oder allgemeiner streng konvex ist , dann genau dann, wenn das von x , y und x + y gebildete Dreieck entartet ist, d. h. x und y liegen auf demselben Strahl, d. x = 0 oder y = 0 oder x = α y für einige α > 0 . Diese Eigenschaft charakterisiert streng konvexe normierte Räume wie die p- Räume mit 1 < p < ∞ . Es gibt jedoch normierte Räume, in denen dies nicht der Fall ist. Betrachten Sie zum Beispiel die Ebene mit der 1- Norm (der Manhattan-Distanz ) und bezeichnen Sie x = (1, 0) und y = (0, 1) . Dann ist das aus x , y und x + y gebildete Dreieck nicht entartet, aber

Beispielnormen

  • Absolutwert als Norm für die reelle Linie . Um eine Norm zu sein, erfordert die Dreiecksungleichung, dass der Absolutwert für alle reellen Zahlen x und y erfüllt :
    was es tut.

Nachweisen:

Nach dem Hinzufügen,

Verwenden Sie die Tatsache, dass (wobei b durch x + y und a durch ersetzt wird ) gilt:

Die Dreiecksungleichung ist in der mathematischen Analyse nützlich, um die beste obere Schätzung der Größe der Summe zweier Zahlen in Bezug auf die Größen der einzelnen Zahlen zu bestimmen.

Es gibt auch eine niedrigere Schätzung, die mit der umgekehrten Dreiecksungleichung gefunden werden kann, die besagt, dass für alle reellen Zahlen x und y :

  • Inneres Produkt als Norm in einem inneren Produktraum . Entsteht die Norm aus einem inneren Produkt (wie bei euklidischen Räumen), dann folgt die Dreiecksungleichung aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wie folgt: Gegebene Vektoren und , und das innere Produkt bezeichnen mit :
(nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird genau dann zu einer Gleichheit, wenn x und y linear abhängig sind. Die Ungleichung wird zu einer Gleichheit für linear abhängig und genau dann, wenn einer der Vektoren x oder y ein nichtnegativer Skalar des anderen ist.

Das Ziehen der Quadratwurzel des Endergebnisses ergibt die Dreiecksungleichung.
  • p -norm: Eine häufig verwendete Norm ist diep-Norm:
    wobei die x i die Komponenten des Vektors x sind . Für p = 2 wird die p -Norm zur euklidischen Norm :
    das ist der Satz des Pythagoras in n -Dimensionen, ein sehr spezieller Fall, der einer inneren Produktnorm entspricht. Außer für den Fall p = 2 , die p ist -Norm nicht eine innere Produktnorm, weil sie nicht die nicht erfüllt Parallelogrammgesetz . Die Dreiecksungleichung für allgemeine Werte von p heißt Minkowski-Ungleichung . Es nimmt die Form an:

metrischer Raum

In einem metrischen Raum M mit Metrik d ist die Dreiecksungleichung eine Anforderung an den Abstand :

für alle x , y , z in M . Das heißt, der Abstand von x zu z ist höchstens so groß wie die Summe aus dem Abstand von x zu y und dem Abstand von y zu z .

Die Dreiecksungleichung ist für den größten Teil der interessanten Struktur auf einem metrischen Raum verantwortlich, nämlich für die Konvergenz. Dies liegt daran, dass die übrigen Anforderungen an eine Metrik im Vergleich eher vereinfacht sind. Zum Beispiel ist die Tatsache , dass jede konvergente Folge in einem metrischen Raum a Cauchy - Sequenz ist eine direkte Folge der Dreiecks Ungleichheit, weil , wenn wir eine wählen , x n und x m derart , daß d ( x n , x ) < ε / 2 und d ( x m , x ) < ε /2 , wobei ε > 0 gegeben und willkürlich ist (wie bei der Definition eines Grenzwertes im metrischen Raum), dann nach der Dreiecksungleichung d ( x n , x m ) ≤ d ( x n , x ) + d ( x m , x ) < ε /2 + ε /2 = ε , so dass die Folge { x n } per Definition eine Cauchy-Folge ist.

Diese Version der Dreiecksungleichung reduziert sich auf die oben genannte im Fall von normierten Vektorräumen, bei denen eine Metrik über d ( x , y ) ≔ ‖ xy induziert wird , wobei xy der Vektor ist, der von Punkt y nach x . zeigt .

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Die umgekehrte Dreiecksungleichung ist eine elementare Konsequenz der Dreiecksungleichung, die untere Schranken statt obere Schranken gibt. Für ebene Geometrie lautet die Aussage:

Jede Seite eines Dreiecks ist größer oder gleich der Differenz zwischen den anderen beiden Seiten .

Im Fall eines normierten Vektorraums lautet die Aussage:

oder für metrische Räume | d ( y , x ) − d ( x , z )| ≤ d ( y , z ) . Dies impliziert , dass die Norm als auch die Distanzfunktion ist Lipschitz Dauer mit Lipschitzkonstante 1 , und deshalb ist insbesondere gleichmäßig stetig .

Der Beweis für das umgekehrte Dreieck verwendet die reguläre Dreiecksungleichung und :

Die Kombination dieser beiden Aussagen ergibt:

Umkehrung im Minkowski-Raum

Die Metrik des Minkowski-Raums ist nicht positiv-definit, was bedeutet, dass sie entweder ein Vorzeichen haben oder verschwinden kann, selbst wenn der Vektor x nicht Null ist. Wenn x und y beide zeitähnliche Vektoren sind, die im zukünftigen Lichtkegel liegen, wird die Dreiecksungleichung umgekehrt:

Ein physikalisches Beispiel für diese Ungleichung ist das Zwillingsparadoxon in der speziellen Relativitätstheorie . Die gleiche umgekehrte Form der Ungleichung gilt, wenn beide Vektoren im vergangenen Lichtkegel liegen und wenn einer oder beide Nullvektoren sind. Das Ergebnis gilt in n + 1 Dimensionen für jedes n 1. Ist die durch x und y definierte Ebene raumartig (und damit ein euklidischer Unterraum), dann gilt die übliche Dreiecksungleichung.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links