Trichotomie (Mathematik) - Trichotomy (mathematics)

In der Mathematik besagt das Gesetz der Trichotomie , dass jede reelle Zahl entweder positiv, negativ oder null ist.

Allgemeiner gesagt , ein binäres Verhältnis R auf einem Satz X ist trichotomous wenn für alle x und y in X , genau eine von xRy , yRx und x  =  y gilt. Wenn Sie R als < schreiben , wird dies in der formalen Logik wie folgt angegeben:

${\ displaystyle \ forall x \ in X \, \ forall y \ in X \, ([x <y \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, \ lnot (x = y) ] \, \ lor \, [\ lnot (x <y) \, \ land \, y <x \, \ land \, \ lnot (x = y)] \, \ lor \, [\ lnot (x <) y) \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, x = y]) \ ,.}$

Eigenschaften

• Eine Beziehung ist genau dann trichotom, wenn sie asymmetrisch und verbunden ist .
• Wenn eine trichotome Beziehung auch transitiv ist, dann ist es eine strenge Gesamtordnung ; Dies ist ein Sonderfall einer streng schwachen Ordnung .

Beispiele

• Auf der Menge X = { a , b , c } ist die Beziehung R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} transitiv und trichotom und daher eine strenge Gesamtordnung .
• Auf derselben Menge ist die zyklische Beziehung R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} trichotom, aber nicht transitiv; es ist sogar antitransitiv .

Trichotomie auf Zahlen

Ein Gesetz der Trichotomie auf einer Menge X von Zahlen drückt normalerweise aus, dass eine stillschweigend gegebene Ordnungsbeziehung auf X eine trichotome ist. Ein Beispiel ist das Gesetz "Für beliebige reelle Zahlen x und y gilt genau eine von x < y , y < x oder x  =  y "; Einige Autoren setzen y sogar auf Null und verlassen sich dabei auf die additiv linear geordnete Gruppenstruktur der reellen Zahl . Letzteres ist eine Gruppe, die mit einer trichotomen Ordnung ausgestattet ist.

In der klassischen Logik gilt dieses Axiom der Trichotomie für den gewöhnlichen Vergleich zwischen reellen Zahlen und damit auch für Vergleiche zwischen ganzen Zahlen und zwischen rationalen Zahlen . Das Gesetz gilt im Allgemeinen nicht für die intuitionistische Logik .

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und der Bernays-Mengenlehre gilt das Gesetz der Trichotomie auch ohne das Axiom der Wahl zwischen den Kardinalzahlen gut geordneter Mengen . Wenn das Axiom der Wahl gilt, gilt die Trichotomie zwischen beliebigen Kardinalzahlen (weil sie in diesem Fall alle gut geordnet sind).

Siehe auch

• Die Begriffsschrift enthält eine frühe Formulierung des Gesetzes der Trichotomie
• Dichotomie
• Gesetz des Widerspruchs
• Gesetz der ausgeschlossenen Mitte
• Drei-Wege-Vergleich

Verweise