Teichmüller-Tukey-Deckspelze - Teichmüller–Tukey lemma

In der Mathematik ist das Teichmüller-Tukey-Lemma (manchmal nur Tukey-Lemma genannt ), benannt nach John Tukey und Oswald Teichmüller , ein Lemma , das besagt, dass jede nicht leere Sammlung endlicher Zeichen ein maximales Element in Bezug auf Inklusion hat . Über die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre entspricht das Teichmüller-Tukey-Lemma dem Axiom der Wahl und damit dem gut geordneten Theorem , dem Zorn-Lemma und dem Hausdorff-Maximalprinzip .

Definitionen

Eine Menge von Mengen hat einen endlichen Charakter, vorausgesetzt, sie hat die folgenden Eigenschaften: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. Für jeden , jede endliche Teilmenge von gehört . ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$
2. Wenn jede endliche Teilmenge einer gegebenen Menge zu gehört , dann gehört zu . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Erklärung des Lemmas

Sei ein Set und lass . Wenn es einen endlichen Charakter hat und , dann gibt es ein Maximum (gemäß der Einschlussrelation), so dass . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (Z)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle Y \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ subseteq Y}$

Anwendungen

In der linearen Algebra kann das Lemma verwendet werden, um die Existenz einer Basis zu zeigen . Sei V ein Vektorraum . Betrachten wir die Sammlung von linear unabhängigen Sätze von Vektoren. Dies ist eine Sammlung von endlichem Charakter . Somit existiert eine maximale Menge, die dann V überspannen und eine Basis für V sein muss . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Anmerkungen

Verweise

• Brillinger, David R. "John Wilder Tukey" [1]