Tukeys Additivitätstest - Tukey's test of additivity

In der Statistik ist Tukeys Additivitätstest , benannt nach John Tukey , ein Ansatz, der in der Zweiwege-ANOVA ( Regressionsanalyse mit zwei qualitativen Faktoren) verwendet wird, um zu beurteilen, ob die Faktorvariablen ( kategoriale Variablen ) additiv mit dem erwarteten Wert der Antwort in Beziehung stehen Variable. Es kann angewendet werden, wenn der Datensatz keine replizierten Werte enthält, eine Situation, in der es unmöglich ist, eine vollständig allgemeine nicht-additive Regressionsstruktur direkt zu schätzen und noch Informationen zur Schätzung der Fehlervarianz übrig sind. Die von Tukey vorgeschlagene Teststatistik hat einen Freiheitsgrad unter der Nullhypothese, daher wird dies oft als "Tukey-Test mit einem Freiheitsgrad" bezeichnet.

Einführung

Die gebräuchlichste Einstellung für den Additivitätstest nach Tukey ist eine bidirektionale faktorielle Varianzanalyse (ANOVA) mit einer Beobachtung pro Zelle. Die Antwortvariable Y ij wird in einer Zellentabelle beobachtet, wobei die Zeilen mit i  = 1,...,  m indiziert sind und die Spalten mit j  = 1,...,  n indiziert sind . Die Zeilen und Spalten entsprechen typischerweise verschiedenen Behandlungsarten und -niveaus, die in Kombination angewendet werden.

Das additive Modell besagt, dass die erwartete Antwort ausgedrückt werden kann EY ij  =  μ  +  α i  +  β j , wobei α i und β j unbekannte konstante Werte sind. Die unbekannten Modellparameter werden üblicherweise geschätzt als

wobei Y i der Mittelwert der ist i - ten Reihe der Datentabelle, Yj ist der Mittelwert der j - ten Spalte der Datentabelle, und Y •• ist der Gesamtmittelwert der Datentabelle.

Das additive Modell kann verallgemeinert werden, um beliebige Wechselwirkungseffekte zu berücksichtigen, indem man EY ij  =  μ  +  α i  +  β j  +  γ ij setzt . Nachdem jedoch der natürliche Schätzer von γ ij angepasst wurde ,

die angepassten Werte

passen die Daten genau. Somit bleiben keine Freiheitsgrade übrig, um die Varianz 2 zu schätzen , und es können keine Hypothesentests über γ ij durchgeführt werden.

Tukey schlug daher ein eingeschränkteres Interaktionsmodell der Form

Durch Testen der Nullhypothese, dass λ = 0 ist, können wir einige Abweichungen von der Additivität nur basierend auf dem einzelnen Parameter λ erkennen.

Methode

Um den Tukey-Test durchzuführen, stellen Sie

Dann verwenden Sie die folgende Teststatistik

Unter der Nullhypothese hat die Teststatistik eine F- Verteilung mit 1,  q Freiheitsgraden, wobei q  =  mn  − ( m  +  n ) die Freiheitsgrade zur Schätzung der Fehlervarianz sind.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Tukey, John (1949). "Ein Freiheitsgrad für Nicht-Additivität". Biometrie . 5 (3): 232–242. doi : 10.2307/3001938 . JSTOR  3001938 .
  2. ^ Alin, A. und Kurt, S. (2006). „Testen der Nicht-Additivität (Interaktion) in Zwei-Wege-ANOVA-Tabellen ohne Replikation“. Statistische Methoden in der medizinischen Forschung 15 , 63–85.