Tychonoff-Raum - Tychonoff space

Trennungsaxiome
in topologischen Räumen
Kolmogorov- Klassifizierung
T 0  (Kolmogorov)
T 1  (Fréchet)
T 2  (Hausdorff)
T 2 ½ (Urysohn)
komplett T 2  (komplett Hausdorff)
T 3  (regulärer Hausdorff)
T (Tychonoff)
T 4  (normales Hausdorff)
T 5  (ganz normales
 Hausdorff)
T 6  (ganz normal
 Hausdorff)

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind Tychonoff-Räume und vollständig reguläre Räume Arten von topologischen Räumen . Diese Bedingungen sind Beispiele für Trennungsaxiome .

Tychonoff-Räume sind nach Andrey Nikolayevich Tychonoff benannt , dessen russischer Name (Тихонов) unterschiedlich als "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov" usw. wiedergegeben wird, der sie 1930 einführte, um die pathologische Situation von Hausdorff . zu vermeiden Räume, deren einzige stetige reellwertige Funktionen konstante Abbildungen sind.

Definitionen

Trennung eines Punktes aus einer geschlossenen Menge über eine stetige Funktion.

Ein topologischer Raum heißt vollständig regulär, wenn Punkte durch (beschränkte) stetige reellwertige Funktionen von abgeschlossenen Mengen getrennt werden können. In technischer Hinsicht bedeutet dies: für jede abgeschlossene Menge und jeden Punkt gibt es eine reelle stetige Funktion , so dass und (Gleichwertig kann man wählen , zwei beliebige Werte statt und sogar verlangen , dass eine beschränkte Funktion sein.)

Ein topologischer Raum ist ein sogenannter Tychonoff Raum (alternativ: T Raum oder T π Raum oder vollständig T 3 Raum ) , wenn es sich um eine vollständig regelmßig ist Hausdorff - Raum .

Anmerkung. Völlig reguläre Räume und Tychonoff-Räume sind durch den Begriff der Kolmogorov-Äquivalenz verbunden . Ein topologischer Raum ist genau dann Tychonoff, wenn er sowohl vollständig regulär als auch T 0 ist . Andererseits ist ein Raum genau dann vollständig regulär, wenn sein Kolmogorov-Quotient Tychonoff ist.

Regeln der Namensgebung

In der mathematischen Literatur werden unterschiedliche Konventionen bezüglich des Begriffs "vollständig regulär" und der "T"-Axiome verwendet. Die Definitionen in diesem Abschnitt entsprechen dem typischen modernen Sprachgebrauch. Einige Autoren vertauschen jedoch die Bedeutungen der beiden Arten von Begriffen oder verwenden alle Begriffe austauschbar. In Wikipedia werden die Begriffe "vollständig regulär" und "Tychonoff" frei verwendet und die "T"-Notation generell vermieden. In der Standardliteratur ist daher Vorsicht geboten, um herauszufinden, welche Definitionen der Autor verwendet. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Geschichte der Trennungsaxiome .

Beispiele und Gegenbeispiele

Fast jeder topologische Raum, der in der mathematischen Analysis untersucht wird, ist Tychonoff oder zumindest vollständig regulär. Zum Beispiel ist die reale Linie Tychonoff unter der Standard- Euklidischen Topologie . Andere Beispiele sind:

Eigenschaften

Erhaltung

Vollständige Regularität und die Tychonoff-Eigenschaft verhalten sich in Bezug auf anfängliche Topologien gut . Insbesondere wird die vollständige Regularität durch das Verwenden beliebiger Anfangstopologien bewahrt, und die Tychonoff-Eigenschaft wird durch das Verwenden punkttrennender Anfangstopologien bewahrt. Es folgt dem:

  • Jeder Unterraum eines vollständig regulären oder Tychonoff-Raums hat die gleiche Eigenschaft.
  • Ein nichtleerer Produktraum ist genau dann vollständig regulär (bzw. Tychonoff), wenn jeder Faktorraum vollständig regulär (bzw. Tychonoff) ist.

Wie bei allen Trennungsaxiomen wird die vollständige Regularität nicht durch die Annahme endgültiger Topologien bewahrt . Insbesondere müssen Quotienten von vollständig regulären Räumen nicht regulär sein . Quotienten von Tychonoff-Räumen müssen nicht einmal Hausdorff sein . Es gibt geschlossene Quotienten der Moore-Ebene , die Gegenbeispiele liefern.

Reellwertige stetige Funktionen

Für jeden topologischen Raum X bezeichne C ( X ) die Familie der reellwertigen stetigen Funktionen auf X und sei C b ( X ) die Teilmenge der beschränkten reellwertigen stetigen Funktionen.

Vollständig reguläre Räume lassen sich dadurch charakterisieren, dass ihre Topologie vollständig durch C ( X ) oder C b ( X ) bestimmt ist. Bestimmtes:

  • Ein Raum X ist genau dann vollständig regulär, wenn er die durch C ( X ) oder C b ( X ) induzierte Anfangstopologie besitzt .
  • Ein Raum X ist genau dann vollständig regulär, wenn jede abgeschlossene Menge als Durchschnitt einer Familie von Nullmengen in X geschrieben werden kann (dh die Nullmengen bilden eine Basis für die abgeschlossenen Mengen von X ).
  • Ein Raum X ist genau dann vollständig regulär, wenn die Cozero-Mengen von X eine Basis für die Topologie von X bilden .

Für einen beliebigen topologischen Raum ( X , ) gibt es eine universelle Möglichkeit, einen vollständig regulären Raum mit ( X , τ) zu assoziieren . Lassen ρ die anfängliche Topologie auf seine X induzierte durch C τ ( X ) oder, äquivalent, die Topologie der Grundlage cozero Sätze in (erzeugt X , τ). Dann ist ρ die feinste vollständig reguläre Topologie auf X , die gröber als τ ist. Diese Konstruktion ist universell in dem Sinne, dass jede stetige Funktion

zu einem vollständig regulären Raum ist Y auf ( X , ρ) stetig . In der Sprache der Kategorientheorie wird der Funktor , der ( X , τ) an ( X , ρ) sendet , adjungiert zum Inklusionsfunktor CRegTop gelassen . Somit ist die Kategorie der vollständig regulären Räume CReg eine reflektierende Unterkategorie von Top , der Kategorie der topologischen Räume . Wenn man Kolmogorov-Quotienten nimmt , sieht man, dass auch die Unterkategorie der Tychonoff-Räume reflektiv ist.

Man kann zeigen , daß C τ ( X ) = C ρ ( X ) in dem oben beschriebenen Aufbau , so dass die Ringe C ( X ) und C B ( X ) werden in der Regel nur für die vollständig regelmäßig untersucht Räume X .

Die Kategorie der realkompakten Tychonoff-Räume ist antiäquivalent zur Kategorie der Ringe C ( X ) (wobei X realkompakt ist) zusammen mit Ringhomomorphismen als Abbildungen. Zum Beispiel kann man X aus C ( X ) rekonstruieren, wenn X (reell) kompakt ist. Die algebraische Theorie dieser Ringe ist daher Gegenstand intensiver Studien. Eine weitreichende Verallgemeinerung dieser Klasse von Ringen, die noch vielen Eigenschaften von Tychonoff-Räumen ähnelt, aber auch in der reellen algebraischen Geometrie anwendbar ist, ist die Klasse der reellen geschlossenen Ringe .

Einbettungen

Tychonoff-Räume sind genau die Räume, die in kompakte Hausdorff-Räume eingebettet werden können . Genauer gesagt existiert für jeden Tychonoff-Raum X ein kompakter Hausdorff-Raum K, so dass X zu einem Unterraum von K homöomorph ist .

Tatsächlich kann man K immer als Tychonoff-Würfel wählen (dh ein möglicherweise unendliches Produkt von Einheitsintervallen ). Jeder Tychonoff-Würfel ist kompakt Hausdorff als Folge des Satzes von Tychonoff . Da jeder Unterraum eines kompakten Hausdorff-Raums Tychonoff ist, gilt:

Ein topologischer Raum ist genau dann Tychonoff, wenn er in einen Tychonoff-Würfel eingebettet werden kann .

Verdichtungen

Von besonderem Interesse sind die Einbettungen , wo das Bild von X ist dicht in K ; diese werden Hausdorff- Kompaktifikationen von X genannt . Bei einer beliebigen Einbettung eines Tychonoff-Raums X in einen kompakten Hausdorff-Raum K ist die Abgeschlossenheit des Bildes von X in K eine Kompaktifizierung von X . In demselben Artikel von 1930, in dem Tychonoff vollständig reguläre Räume definierte, bewies er auch, dass jeder Tychonoff-Raum eine Hausdorff-Kompaktifikation besitzt.

Unter diesen Hausdorff-Kompaktifikationen gibt es eine einzigartige "allgemeinste", die Stone-Čech-Kompaktifikation β X . Es ist durch die universelle Eigenschaft gekennzeichnet, dass es bei einer gegebenen stetigen Abbildung f von X zu einem anderen kompakten Hausdorff-Raum Y eine eindeutige stetige Abbildung g von β X nach Y gibt , die f in dem Sinne verlängert, dass f die Zusammensetzung von g und ist j .

Einheitliche Strukturen

Vollständige Regularität ist genau die notwendige Bedingung für die Existenz gleichförmiger Strukturen auf einem topologischen Raum. Mit anderen Worten, jeder gleichmäßige Raum hat eine vollständig reguläre Topologie und jeder vollständig reguläre Raum X ist uniformisierbar . Ein topologischer Raum lässt eine getrennte einheitliche Struktur genau dann zu, wenn es sich um Tychonoff handelt.

Bei einem vollständig regulären Raum X gibt es normalerweise mehr als eine Uniformität auf X , die mit der Topologie von X kompatibel ist . Es wird jedoch immer eine feinste kompatible Gleichförmigkeit geben, die als feine Gleichförmigkeit auf X bezeichnet wird . Wenn X Tychonoff ist, dann kann die einheitliche Struktur so gewählt werden, dass β X die Vervollständigung des einheitlichen Raums X wird .

Zitate

Literaturverzeichnis

  • Gillmann, Leonard ; Jerison, Meyer (1960). Ringe stetiger Funktionen . Graduate Texts in Mathematics, Nr. 43 (Dover reprint ed.). NY: Springer-Verlag. s. xiii. ISBN 978-048681688-3.
  • Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Willard, Stephen (1970). Allgemeine Topologie (Dover Nachdruck Hrsg.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.