Ultrafilter - Ultrafilter

Das Powerset-Gitter der Menge {1,2,3,4}, wobei die obere Menge ↑{1,4} dunkelgrün gefärbt ist. Es ist ein Hauptfilter , aber kein Ultrafilter , da es auf den größeren nichttrivialen Filter ↑{1} erweitert werden kann, indem auch die hellgrünen Elemente einbezogen werden. Da ↑{1} nicht weiter erweitert werden kann, handelt es sich um einen Ultrafilter.

Auf dem mathematischen Gebiet der Ordnungstheorie ist ein Ultrafilter auf einer gegebenen teilgeordneten Menge (oder "Poset") eine bestimmte Teilmenge von , nämlich ein maximaler Filter auf , dh ein echter Filter auf , der nicht zu einem größeren echten Filter erweitert werden kann auf . ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Wenn ein beliebiger Satz, dessen Potenzmenge durch geordnete Inklusion , ist immer eine Boolesche Algebra und damit eine poset und Ultrafilter auf in der Regel eine namens Ultrafilter auf dem Set . Ein Ultrafilter auf einem Satz kann als endlich additives Maß auf betrachtet werden . In dieser Sicht wird jede Teilmenge von entweder als " fast alles " (hat Maß 1) oder als "fast nichts" (hat Maß 0) angesehen, je nachdem, ob sie zum jeweiligen Ultrafilter gehört oder nicht. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp(X),}$${\displaystyle \wp(X)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Ultrafilter haben viele Anwendungen in der Mengenlehre, Modelltheorie und Topologie .

Ultrafilter auf Teilbestellungen

In der Ordnungstheorie ist ein Ultrafilter eine Teilmenge einer teilweise geordneten Menge , die unter allen richtigen Filtern maximal ist . Dies impliziert, dass jeder Filter, der richtig einen Ultrafilter enthält, dem gesamten Poset gleich sein muss.

Formell, wenn eine Menge ist, die teilweise durch geordnete dann ${\displaystyle P}$${\displaystyle\,\leq\,}$

• eine Untergruppe ist ein sogenannter Filter auf , wenn ${\displaystyle F\subseteq P}$${\displaystyle P}$
  • ${\displaystyle F}$ ist nicht leer,
  • für jeden gibt es ein Element , so dass und und${\displaystyle x,y\in F,}$${\displaystyle z\in F}$${\displaystyle z\leqx}$${\displaystyle z\leq y,}$
  • für alle und impliziert, dass das auch drin ist ;${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y\in P,}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$
• eine echte Teilmenge von heißt Ultrafilter auf if ${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$
  • ${\displaystyle U}$ist ein Filter an und${\displaystyle P,}$
  • es gibt keine richtigen Filter auf , dass sie richtig (das derart ist, dass eine echte Teilmenge von ist ).${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$

Typen und Existenz von Ultrafiltern

Jeder Ultrafilter fällt in genau eine von zwei Kategorien: prinzipiell und kostenlos. Ein prinzipieller (oder fester oder trivialer ) Ultrafilter ist ein Filter, der das kleinste Element enthält . Folglich sind prinzipielle Ultrafilter von der Form für einige (aber nicht alle) Elemente des gegebenen Poset. In diesem Fall wird das Hauptelement des Ultrafilters genannt. Jeder Ultrafilter, der kein Hauptfilter ist, wird als freier (oder nicht Haupt- ) Ultrafilter bezeichnet. ${\displaystyle F_{a}=\{x:a\leq x\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Bei Ultrafiltern auf einem Powerset besteht ein Haupt-Ultrafilter aus allen Teilmengen , die ein bestimmtes Element enthalten. Jeder Ultrafilter , der auch ein Hauptfilter ist, hat diese Form. Daher ist ein Ultrafilter on genau dann prinzipiell, wenn er eine endliche Menge enthält. Wenn unendlich ist, ist ein Ultrafilter on also genau dann nicht-prinzipal, wenn es den Fréchet-Filter der kofiniten Teilmengen von If endlich enthält, jeder Ultrafilter ist prinzipiell. ${\displaystyle \wp(S),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle \wp(S)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \wp(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \wp(S)}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$

Jeder Filter einer Booleschen Algebra (oder allgemeiner jede Teilmenge mit der endlichen Schnittmenge ) ist in einem Ultrafilter enthalten (siehe Ultrafilter-Lemma ) und dass daher freie Ultrafilter existieren, aber die Beweise beinhalten das Auswahlaxiom ( AC ) in der Form des Lemma von Zorn . Andererseits impliziert die Aussage, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist, nicht AC . Tatsächlich entspricht es dem Booleschen Primidealsatz ( BPIT ), einem bekannten Zwischenpunkt zwischen den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ( ZF ) und der durch das Auswahlaxiom ( ZFC ) erweiterten ZF- Theorie . Im Allgemeinen liefern Beweise, die das Auswahlaxiom beinhalten, keine expliziten Beispiele für freie Ultrafilter, obwohl es möglich ist, explizite Beispiele in einigen Modellen von ZFC zu finden ; Gödel zeigte beispielsweise, dass dies im konstruierbaren Universum möglich ist, wo man eine explizite globale Auswahlfunktion aufschreiben kann. Bei ZF ohne das Axiom der Wahl ist es möglich, dass jeder Ultrafilter Prinzipal ist.

Ultrafilter auf einer Booleschen Algebra

Ein wichtiger Sonderfall des Konzepts tritt auf, wenn das betrachtete Poset eine Boolesche Algebra ist . In diesem Fall sind Ultrafilter dadurch gekennzeichnet, dass sie für jedes Element der Booleschen Algebra genau eines der Elemente und ¬ enthalten (letzteres ist das Boolesche Komplement von ): ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Wenn eine Boolesche Algebra und ein geeigneter Filter ist, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: ${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P,}$

1. ${\displaystyle F}$ ist ein Ultrafilter an ${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$ist ein Hauptfilter an${\displaystyle P,}$
3. für jedes entweder oder (¬ )${\displaystyle a\in P,}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle a}$${\displaystyle\in F.}$

Ein Beweis von 1. ⇔ 2. findet sich auch in (Burris, Sankappanavar, 2012, Korollar 3.13, S.133).

Darüber hinaus können Ultrafilter auf einer Booleschen Algebra auf maximale Ideale und Homomorphismen auf die 2-Element Boolesche Algebra {wahr, falsch} (auch bekannt als 2-wertige Morphismen ) wie folgt in Beziehung gesetzt werden:

• Bei einem Homomorphismus einer Booleschen Algebra auf {true, false} ist das inverse Bild von "true" ein Ultrafilter und das inverse Bild von "false" ein maximales Ideal.
• Gegeben ein maximales Ideal einer Booleschen Algebra, ist ihr Komplement ein Ultrafilter, und es gibt einen eindeutigen Homomorphismus auf {wahr, falsch}, der das maximale Ideal auf "falsch" setzt.
• Bei einem Ultrafilter auf einer Booleschen Algebra ist sein Komplement ein maximales Ideal, und es gibt einen eindeutigen Homomorphismus auf {wahr, falsch}, der den Ultrafilter auf "wahr" setzt.

Ultrafilter am Powerset eines Sets

Bei einer gegebenen willkürlichen Menge ist ihre Potenzmenge, geordnet nach Mengeninklusion , immer eine Boolesche Algebra; daher die Ergebnisse des obigen Abschnitts Spezialfall: Boolesche Algebra . Ein (Ultra)Filter an wird oft nur als "(Ultra)Filter an " bezeichnet. Die obigen formalen Definitionen lassen sich wie folgt auf den Powerset-Fall spezifizieren: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp(X),}$${\displaystyle \wp(X)}$${\displaystyle X}$

Gegeben eine beliebige Menge, ein Ultrafilter on ist eine Menge, die aus Teilmengen von solchen besteht, dass: ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \wp(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

1. Die leere Menge ist kein Element von ${\displaystyle U.}$
2. Wenn und Teilmengen der Menge sind ist eine Teilmenge von und ist ein Element von dann ist auch ein Element von${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U.}$
3. Wenn und Elemente von sind, dann ist auch der Schnitt von und${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$
4. Wenn ist eine Teilmenge von dann entweder oder ihr relatives Komplement ist ein Element von${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle U.}$

Eine andere Betrachtungsweise von Ultrafiltern in einem Leistungssatz ist wie folgt: Definieren Sie für einen gegebenen Ultrafilter eine Funktion an, indem Sie if ist ein Element von und andernfalls setzen. Eine solche Funktion wird als 2-wertiger Morphismus bezeichnet . Dann ist endlich additive und damit ein Inhalt auf und jede Eigenschaft von Elementen ist entweder wahr fast überall oder falsch fast überall. Ist jedoch in der Regel nicht abzählbar additiv und definiert somit kein Maß im üblichen Sinne. ${\displaystyle \wp(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \wp(X)}$${\displaystyle m(A)=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m(A)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \wp(X),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$

Für einen Filter , der nicht ein Ultrafilter ist, würde man sagen , wenn und wenn Belassen anderswo nicht definiert. ${\displaystyle F}$${\displaystyle m(A)=1}$${\displaystyle A\in F}$${\displaystyle m(A)=0}$${\displaystyle X\setminus A\in F,}$${\displaystyle m}$

Anwendungen

Ultrafilter auf Powersets sind in der Topologie nützlich , insbesondere in Bezug auf kompakte Hausdorff- Räume, und in der Modelltheorie bei der Konstruktion von Ultraprodukten und Ultrapowers . Jeder Ultrafilter auf einem kompakten Hausdorff-Raum konvergiert genau in einem Punkt. Ebenso spielen Ultrafilter auf Booleschen Algebren eine zentrale Rolle in Stones Darstellungstheorem .

Die Menge aller Ultrafilter eines Poset lässt sich auf natürliche Weise topologisieren, also eng mit dem oben erwähnten Darstellungssatz verwandt. Für jedes Element von sei Dies ist am nützlichsten, wenn wieder eine Boolesche Algebra ist, da in dieser Situation die Menge aller eine Basis für eine kompakte Hausdorff-Topologie auf ist . Insbesondere bei Betrachtung der Ultrafilter auf einem Powerset ist der resultierende topologische Raum die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines diskreten Kardinalitätsraums${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D_{a}=\left\{U\in G:a\in U\right\}.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D_{a}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \wp(S),}$${\displaystyle |S|.}$

Die Ultraproduktkonstruktion in der Modelltheorie verwendet Ultrafilter, um elementare Erweiterungen von Strukturen zu erzeugen . Zum Beispiel bei der Konstruktion von hyperrealen Zahlen als Ultraprodukt der reellen Zahlen , die Domäne des Diskurses ist aus reellen Zahlen auf Sequenzen von reellen Zahlen erweitert. Dieser Folgenraum wird als Obermenge der reellen Zahlen betrachtet, indem jede reelle Zahl mit der entsprechenden konstanten Folge identifiziert wird. Um die bekannten Funktionen und Beziehungen (zB + und <) von den reellen auf die hyperrealen zu erweitern, besteht die natürliche Idee darin, sie punktweise zu definieren. Damit würden aber wichtige logische Eigenschaften der Realen verloren gehen; Pointwise < ist beispielsweise keine vollständige Ordnung. Stattdessen werden die Funktionen und Beziehungen " pointwise modulo " definiert , wobei ein Ultrafilter auf der Indexmenge der Sequenzen liegt; nach dem Satz von Łoś bleiben alle Eigenschaften der reellen Zahlen erhalten, die in der Logik erster Ordnung angegeben werden können . Wenn nicht prinzipiell ist, dann ist die dadurch erhaltene Erweiterung nicht trivial. ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

In der geometrischen Gruppentheorie werden nicht-hauptsächliche Ultrafilter verwendet, um den asymptotischen Kegel einer Gruppe zu definieren . Diese Konstruktion ergibt einen strengen Weg, um die Betrachtung der Gruppe von Unendlich zu betrachten , d. h. die Geometrie der Gruppe im großen Maßstab. Asymptotische Zapfen sind besondere Beispiele für ultralimits von metrischen Räumen .

Gödels ontologischer Gottesbeweis verwendet als Axiom, dass die Menge aller "positiven Eigenschaften" ein Ultrafilter ist.

In der Social-Choice-Theorie werden nicht-hauptsächliche Ultrafilter verwendet, um eine Regel (sogenannte soziale Wohlfahrtsfunktion ) zu definieren, um die Präferenzen von unendlich vielen Individuen zu aggregieren . Im Gegensatz zu Arrows Unmöglichkeitssatz für endlich viele Individuen erfüllt eine solche Regel die Bedingungen (Eigenschaften), die Arrow vorschlägt (zB Kirman und Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) zeigt jedoch, dass solche Regeln für Sozialwissenschaftler praktisch von begrenztem Interesse sind, da sie nicht algorithmisch oder nicht berechenbar sind.

Siehe auch

• Filter (Mathematik)  – In der Mathematik eine spezielle Teilmenge einer teilweise geordneten Menge
• Filter in der Topologie  – Verwendung von Filtern zur Beschreibung und Charakterisierung aller grundlegenden topologischen Begriffe und Ergebnisse.
• Universalnetz

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

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Weiterlesen

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• Komfort, WW; Negrepontis, S. (1974), Die Theorie der Ultrafilter , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafilter in nLab