Unkorrelation (Wahrscheinlichkeitstheorie) - Uncorrelatedness (probability theory)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik , zwei reellwertigen Zufallsvariablen , , wird gesagt werden unkorreliert , wenn ihre Kovarianz , , Null ist. Wenn zwei Variablen nicht korreliert sind, besteht keine lineare Beziehung zwischen ihnen. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [XY] - \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y]}$

Nicht korrelierte Zufallsvariablen haben einen Pearson-Korrelationskoeffizienten von Null, außer im trivialen Fall, wenn eine der Variablen eine Varianz von Null hat (eine Konstante ist). In diesem Fall ist die Korrelation undefiniert.

Im Allgemeinen ist Unkorreliertheit nicht dasselbe wie Orthogonalität , außer in dem speziellen Fall, in dem mindestens eine der beiden Zufallsvariablen einen erwarteten Wert von 0 hat. In diesem Fall ist die Kovarianz die Erwartung des Produkts und ist unkorreliert, wenn und nur wenn . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [XY] = 0}$

Wenn und sind unabhängig , mit endlichen zweiten Momente , dann sind sie unkorreliert. Es sind jedoch nicht alle nicht korrelierten Variablen unabhängig. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Definition

Definition für zwei reelle Zufallsvariablen

Zwei Zufallsvariablen werden als unkorreliert bezeichnet, wenn ihre Kovarianz Null ist. Formal: ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Cov} [X, Y] = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} [X]) (Y- \ operatorname {E} [Y])]}$

Definition für zwei komplexe Zufallsvariablen

Zwei komplexe Zufallsvariablen werden als unkorreliert bezeichnet, wenn ihre Kovarianz und ihre Pseudokovarianz Null sind, d. H. ${\ displaystyle Z, W}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) {\ overline {(W- \ operatorname {E} [W])}}] }}$${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {ZW} = \ operatorname {E} [(Z- \ operatorname {E} [Z]) (W- \ operatorname {E} [W])]}$

${\ displaystyle Z, W {\ text {unkorreliert}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {E} [Z {\ overline {W}}] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [{\ overline {W}}] {\ text {und}} \ operatorname {E} [ZW] = \ operatorname {E} [Z] \ cdot \ operatorname {E} [W]}$

Definition für mehr als zwei Zufallsvariablen

Ein Satz von zwei oder mehr Zufallsvariablen wird als unkorreliert bezeichnet, wenn jedes Paar von ihnen nicht korreliert ist. Dies entspricht der Anforderung, dass die nicht diagonalen Elemente der Autokovarianzmatrix des Zufallsvektors alle Null sind. Die Autokovarianzmatrix ist definiert als: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}} = \ operatorname {cov} [\ mathbf {X}, \ mathbf {X}] = \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) (\ mathbf {X} - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}]) ^ {\ rm {T}}] = \ operatorname { E} [\ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {T}] - \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] ^ {T}}$

Beispiele für Abhängigkeit ohne Korrelation

Beispiel 1

• Sei eine Zufallsvariable, die den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 annimmt. ${\ displaystyle X}$
• Lassen Sie wird eine Zufallsvariable, unabhängig von , die den Wert nimmt -1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 und nimmt den Wert 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2. ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$
• Sei eine Zufallsvariable konstruiert als . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U = XY}$

Die Behauptung ist, dass und keine Kovarianz haben (und daher nicht korreliert sind), aber nicht unabhängig sind. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Beweis:

Berücksichtigt man das

${\ displaystyle \ operatorname {E} [U] = \ operatorname {E} [XY] = \ operatorname {E} [X] \ operatorname {E} [Y] = \ operatorname {E} [X] \ cdot 0 = 0,}$

wo die zweite Gleichheit gilt, weil und unabhängig sind, bekommt man ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cov} [U, X] & = \ operatorname {E} [(U- \ operatorname {E} [U]) (X- \ operatorname {E} [X] )] = \ operatorname {E} [U (X - {\ tfrac {1} {2}})] \\ & = \ operatorname {E} [X ^ {2} Y - {\ tfrac {1} {2 }} XY] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} X) Y] = \ operatorname {E} [(X ^ {2} - {\ tfrac { 1} {2}} X)] \ operatorname {E} [Y] = 0 \ end {align}}}$

Daher und sind nicht korreliert. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Unabhängigkeit von und bedeutet, dass für alle und , . Dies gilt insbesondere nicht für und . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ Pr (U = a \ mid X = b) = \ Pr (U = a)}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = 0}$

• ${\ displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) = \ Pr (XY = 1 \ mid X = 0) = 0}$
• ${\ displaystyle \ Pr (U = 1) = \ Pr (XY = 1) = 1/4}$

Also so und sind nicht unabhängig. ${\ displaystyle \ Pr (U = 1 \ mid X = 0) \ neq \ Pr (U = 1)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

QED

Beispiel 2

Wenn eine kontinuierliche Zufallsvariable gleichmäßig auf und verteilt ist , dann und und nicht korreliert sind, obwohl bestimmt und ein bestimmter Wert von nur durch einen oder zwei Werte von erzeugt werden kann  : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle [-1,1]}$${\ displaystyle Y = X ^ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (t) = {1 \ über 2} I _ {[- 1,1]}; f_ {Y} (t) = {1 \ über {2 {\ sqrt {t}}}} I _ {] 0,1]}}$

Auf der anderen Seite ist 0 in dem Dreieck, das durch definiert ist, obwohl es in dieser Domäne nicht null ist. Daher sind die Variablen nicht unabhängig. ${\ displaystyle f_ {X, Y}}$${\ displaystyle 0 <X <Y <1}$${\ displaystyle f_ {X} \ times f_ {Y}}$${\ displaystyle f_ {X, Y} (X, Y) \ neq f_ {X} (X) \ times f_ {Y} (Y)}$

${\ displaystyle E [X] = {{1-1} \ over 2} = 0; E [Y] = {{1 ^ {3} - (- 1) ^ {3}} \ over {3 \ times 2 }} = {1 \ over 3}}$

${\ displaystyle Cov [X, Y] = E \ left [(XE [X]) (YE [Y]) \ right] = E \ left [X ^ {3} - {X \ over 3} \ right] = {{1 ^ {4} - (- 1) ^ {4}} \ über {4 \ mal 2}} = 0}$

Daher sind die Variablen nicht korreliert.

Wenn Unkorreliertheit Unabhängigkeit impliziert

Es gibt Fälle, in denen Unkorreliertheit Unabhängigkeit impliziert. Einer dieser Fälle ist der, in dem beide Zufallsvariablen zweiwertig sind (so dass jede linear transformiert werden kann, um eine Bernoulli-Verteilung zu haben ). Ferner sind zwei gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen unabhängig, wenn sie nicht korreliert sind, obwohl dies nicht für Variablen gilt, deren Randverteilungen normal und unkorreliert sind, deren gemeinsame Verteilung jedoch nicht normal normal ist (siehe Normal verteilt und nicht korreliert bedeutet nicht unabhängig ).

Verallgemeinerungen

Nicht korrelierte Zufallsvektoren

Zwei Zufallsvektoren und werden als unkorreliert bezeichnet, wenn ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {m}) ^ {T}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {T}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ mathbf {X} \ mathbf {Y} ^ {T}] = \ operatorname {E} [\ mathbf {X}] \ operatorname {E} [\ mathbf {Y}] ^ {T}}$ .

Sie sind genau dann unkorreliert, wenn ihre Kreuzkovarianzmatrix Null ist. ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}}}$

Zwei komplexe Zufallsvektoren und werden als unkorreliert , wenn ihre Kreuzkovarianzmatrix und ihre pseudo-Kreuzkovarianzmatrix Null ist, das heißt , wenn ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {W}}$

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = 0}$

wo

${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {W}])} ^ {\ mathrm {H}}]}$

und

${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {Z} \ mathbf {W}} = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}]) {( \ mathbf {W} - \ operatorname {E} [\ mathbf {W}])} ^ {\ mathrm {T}}]}$ .

Unkorrelierte stochastische Prozesse

Zwei stochastische Prozesse und werden als unkorreliert , wenn ihre Kreuzkovarianz Null für alle Zeiten ist. Formal: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1}) ) - \ mu _ {X} (t_ {1}) \ rechts) \ links (Y (t_ {2}) - \ mu _ {Y} (t_ {2}) \ rechts) \ rechts]}$

${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}, \ left \ {Y_ {t} \ right \} {\ text {uncorrelated}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}.}$

Siehe auch

• Korrelation und Abhängigkeit
• Binomialverteilung: Kovarianz zwischen zwei Binomialzahlen
• Nicht korreliertes Volumenelement

Verweise

Weiterführende Literatur

• Wahrscheinlichkeit für Statistiker , Galen R. Shorack, Springer (c2000) ISBN   0-387-98953-6