Vereinheitlichung (Mengenlehre) - Uniformization (set theory)

In der Mengenlehre , einem Zweig der Mathematik , ist das Axiom der Uniformisierung eine schwache Form des Axioms der Wahl . Darin heißt es , dass , wenn eine ist Teilmenge von , wo und sind polnische Räume , dann gibt es eine Teilmenge von , dass eine Teilfunktion aus zu , und deren Domäne (der Satz alles solche , die existieren) gleich ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ {x \ in X \ mid \ existiert y \ in Y: (x, y) \ in R \} \,}$

Eine solche Funktion wird als Vereinheitlichungsfunktion für oder als Vereinheitlichung von bezeichnet . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Vereinheitlichung der Beziehung R (hellblau) durch Funktion f (rot).

Um die Beziehung zum Axiom der Wahl zu sehen, beobachten Sie, dass man sich vorstellen kann, jedem Element eine Teilmenge von zuzuordnen . Eine Vereinheitlichung von wählt dann genau ein Element aus jeder solchen Teilmenge aus, wenn die Teilmenge nicht leer ist . Wenn also beliebige Mengen X und Y (und nicht nur polnische Räume) zugelassen werden, würde das Axiom der Vereinheitlichung dem Axiom der Wahl entsprechen. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle R}$

Eine Punktklasse soll die Vereinheitlichungseigenschaft haben, wenn jede Beziehung in durch eine Teilfunktion in vereinheitlicht werden kann . Die Vereinheitlichungseigenschaft wird durch die Skaleneigenschaft impliziert , zumindest für adäquate Punktklassen einer bestimmten Form. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

Es folgt allein aus ZFC , dass und haben die Vereinheitlichungseigenschaft. Aus der Existenz ausreichend großer Kardinäle folgt, dass ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$und haben die Vereinheitlichungseigenschaft für jede natürliche Zahl .${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle n}$
• Daher hat die Sammlung projektiver Mengen die Eigenschaft der Vereinheitlichung.
• Jede Beziehung in L (R) kann vereinheitlicht werden, aber nicht unbedingt durch eine Funktion in L (R). Tatsächlich hat L (R) nicht die Uniformisierungseigenschaft (äquivalent erfüllt L (R) nicht das Axiom der Uniformisierung).
  • (Anmerkung: Es ist trivial, dass jede Beziehung in L (R) in V vereinheitlicht werden kann , vorausgesetzt, V erfüllt das Axiom der Wahl. Der Punkt ist, dass jede solche Beziehung in einem transitiven inneren Modell von V, in dem das Axiom der Bestimmtheit vereinheitlicht werden kann gilt.)

Verweise

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Beschreibende Mengenlehre . Nordholland. ISBN 0-444-70199-0.