Union (Mengentheorie) - Union (set theory)
In der Mengenlehre ist die Vereinigung (bezeichnet mit ∪) einer Menge von Mengen die Menge aller Elemente in der Sammlung. Es ist eine der grundlegenden Operationen, durch die Mengen kombiniert und miteinander in Beziehung gesetzt werden können. EIN nullary union bezieht sich auf eine Vereinigung vonnull () -Mengen und ist per Definition gleich derleeren Menge.
Eine Erläuterung der in diesem Artikel verwendeten Symbole finden Sie in der Tabelle der mathematischen Symbole .
Vereinigung von zwei Sätzen
Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sich in A , in B oder in A und B befinden . Bei Symbolen,
- .
Wenn beispielsweise A = {1, 3, 5, 7} und B = {1, 2, 4, 6, 7} ist, dann ist A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ein ausführlicheres Beispiel (mit zwei unendlichen Mengen) ist:
- A = { x ist eine gerade ganze Zahl größer als 1}
- B = { x ist eine ungerade ganze Zahl größer als 1}
Als weiteres Beispiel ist die Zahl 9 nicht in der Vereinigung der Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, ...} und der Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, 8, 10 . enthalten , ...}, denn 9 ist weder prim noch gerade.
Mengen können keine doppelten Elemente haben, daher ist die Vereinigung der Mengen {1, 2, 3} und {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}. Mehrfaches Vorkommen identischer Elemente hat keinen Einfluss auf die Kardinalität einer Menge oder ihres Inhalts.
Algebraische Eigenschaften
Binäre Vereinigung ist eine assoziative Operation; das heißt für alle Mengen A , B und C ,
Somit können die Klammern ohne Mehrdeutigkeit weggelassen werden: Beides kann als A B ∪ C geschrieben werden . Außerdem ist union kommutativ , sodass die Mengen in beliebiger Reihenfolge geschrieben werden können. Die leere Menge ist ein Identitätselement für die Operation von union. Das heißt, A ∪ ∅ = A , für jede Menge A. Außerdem ist die Vereinigungsoperation idempotent: A ∪ A = A . Alle diese Eigenschaften ergeben sich aus analogen Tatsachen über die logische Disjunktion .
Kreuzung verteilt sich über Vereinigung
und union verteilt über den Schnittpunkt
Die Potenzmenge einer Menge U ist zusammen mit den durch Vereinigung, Schnitt und Komplementation gegebenen Operationen eine Boolesche Algebra . In dieser Booleschen Algebra kann die Vereinigung durch Schnitt und Komplementierung durch die Formel ausgedrückt werden
wobei der hochgestellte Index das Komplement in der universellen Menge U bezeichnet .
Endliche Vereinigungen
Man kann die Vereinigung mehrerer Mengen gleichzeitig vornehmen. Zum Beispiel enthält die Vereinigung der drei Mengen A , B und C alle Elemente von A , alle Elemente von B und alle Elemente von C und sonst nichts. Somit ist x ein Element von A ∪ B ∪ C genau dann, wenn x in mindestens einem von A , B und C vorkommt .
Eine endliche Vereinigung ist die Vereinigung einer endlichen Anzahl von Mengen; der Ausdruck impliziert nicht, dass die Vereinigungsmenge eine endliche Menge ist .
Willkürliche Gewerkschaften
Der allgemeinste Begriff ist die Vereinigung einer beliebigen Menge von Mengen, die manchmal als unendliche Vereinigung bezeichnet wird . Wenn M eine Menge oder Klasse ist, deren Elemente Mengen sind, dann ist x ein Element der Vereinigung von M genau dann, wenn es mindestens ein Element A von M gibt, so dass x ein Element von A ist . In Symbolen:
Diese Idee subsumiert die vorangehenden Abschnitte, zum Beispiel A ∪ B ∪ C ist die Vereinigung der Sammlung { A , B , C }. Auch wenn M die leere Sammlung ist, dann ist die Vereinigung von M die leere Menge.
Notationen
Die Notation für das allgemeine Konzept kann erheblich variieren. Für eine endliche Vereinigung von Mengen schreibt man oft oder . Verschiedene gebräuchliche Notationen für beliebige Vereinigungen sind , , und . Die letzte dieser Notationen bezieht sich auf die Vereinigung der Sammlung , wobei I eine Indexmenge und eine Menge für alle ist . Für den Fall, dass die Indexmenge I die Menge der natürlichen Zahlen ist , verwendet man die Notation , die analog zu der der unendlichen Summen in Reihen ist.
Wenn das Symbol "∪" vor anderen Symbolen (statt zwischen ihnen) platziert wird, wird es normalerweise größer gerendert.
Notationskodierung
In Unicode wird union durch das Zeichen U+222A ∪ UNION dargestellt . In TeX , wird aus \ Tasse gerendert.
Siehe auch
- Algebra der Mengen
- Alternation (formale Sprachtheorie) , die Vereinigung von Strings sets
- Axiom der Vereinigung
- Disjunkte Vereinigung
- Schnittmenge (Mengentheorie)
- Iterierte binäre Operation
- Liste der gesetzten Identitäten und Beziehungen
- Naive Mengenlehre
- Symmetrischer Unterschied
Anmerkungen
Externe Links
- "Union of Sets" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Unendliche Vereinigung und Schnittmenge bei ProvenMath De Morgans Gesetze, formal bewiesen aus den Axiomen der Mengenlehre.