Einheitszelle - Unit cell

In der Geometrie , Biologie , Mineralogie und Festkörperphysik ist eine Elementarzelle eine sich wiederholende Einheit, die durch die Vektoren gebildet wird, die die Punkte eines Gitters überspannen. Trotz ihres suggestiven Namens hat die Elementarzelle (anders als beispielsweise ein Einheitsvektor) nicht unbedingt eine Einheitsgröße oder überhaupt eine bestimmte Größe. Vielmehr ist die primitive Zelle die nächste Analogie zu einem Einheitsvektor, da sie eine bestimmte Größe für ein gegebenes Gitter hat und der Grundbaustein ist, aus dem größere Zellen konstruiert werden.

Das Konzept wird insbesondere bei der Beschreibung der Kristallstruktur in zwei und drei Dimensionen verwendet, obwohl es in allen Dimensionen sinnvoll ist. Ein Gitter kann durch die Geometrie seiner Elementarzelle charakterisiert werden. Die Elementarzelle ist ein Abschnitt der Kachelung (ein Parallelogramm oder Parallelepiped ), der die gesamte Kachelung nur unter Verwendung von Übersetzungen generiert.

Es gibt zwei Spezialfälle der Elementarzelle: die primitive Zelle und die konventionelle Zelle . Die primitive Zelle ist eine Elementarzelle, die einem einzelnen Gitterpunkt entspricht , sie ist die kleinstmögliche Elementarzelle. In einigen Fällen ist die volle Symmetrie einer Kristallstruktur aus der primitiven Zelle nicht ersichtlich, in welchen Fällen eine konventionelle Zelle verwendet werden kann. Eine herkömmliche Zelle (die primitiv sein kann oder nicht) ist eine Elementarzelle mit der vollen Symmetrie des Gitters und kann mehr als einen Gitterpunkt umfassen. Die herkömmlichen Elementarzellen sind in n Dimensionen parallelotopen .

Primitive Zelle

Eine primitive Zelle ist eine Elementarzelle, die genau einen Gitterpunkt enthält. Für Elementarzellen im Allgemeinen werden Gitterpunkte, die von n Zellen geteilt werden, gezählt als1/nder in jeder dieser Zellen enthaltenen Gitterpunkte; so wird zum Beispiel angenommen, dass eine primitive Elementarzelle in drei Dimensionen, die Gitterpunkte nur an ihren acht Ecken hat, enthält1/8von jedem von ihnen. Eine alternative Konzeptualisierung besteht darin, konsequent nur einen der n Gitterpunkte auszuwählen , der zu der gegebenen Elementarzelle gehört (so dass die anderen 1-n Gitterpunkte zu benachbarten Elementarzellen gehören).

Die primitiven Translationsvektoren a 1 , a 2 , a 3 überspannen eine Gitterzelle des kleinsten Volumens für ein bestimmtes dreidimensionales Gitter und werden verwendet, um einen Kristalltranslationsvektor zu definieren

wobei u 1 , u 2 , u 3 ganze Zahlen sind, wobei die Translation das Gitter invariant lässt. Das heißt, für einen Punkt im Gitter r erscheint die Anordnung der Punkte von r′ = r + T wie von r aus gleich .

Da die primitive Zelle durch die primitiven Achsen (Vektoren) a 1 , a 2 , a 3 definiert ist , ist das Volumen V p der primitiven Zelle durch das Parallelepiped aus den obigen Achsen gegeben als

Normalerweise werden primitive Zellen in zwei und drei Dimensionen ausgewählt, um die Form von Parallelogrammen und Parallelepipeden mit einem Atom an jeder Ecke der Zelle anzunehmen. Diese Wahl der primitiven Zelle ist nicht eindeutig, aber das Volumen der primitiven Zellen wird immer durch den obigen Ausdruck gegeben.

Wigner–Seitzzelle

Zusätzlich zu den parallelepipedischen primitiven Zellen gibt es für jedes Bravais-Gitter eine andere Art von primitiven Zellen, die Wigner-Seitz-Zelle genannt wird. In der Wigner-Seitz-Zelle befindet sich der Gitterpunkt in der Mitte der Zelle, und bei den meisten Bravais-Gittern ist die Form kein Parallelogramm oder Parallelepiped. Dies ist eine Art Voronoi-Zelle . Die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters im Impulsraum wird Brillouin-Zone genannt .

Konventionelle Zelle

Für jedes spezielle Gitter wurde eine herkömmliche Zelle von Fall zu Fall von Kristallographen aufgrund der Einfachheit der Berechnung ausgewählt. Diese herkömmlichen Zellen können zusätzliche Gitterpunkte aufweisen, die sich in der Mitte der Flächen oder des Körpers der Elementarzelle befinden. Die Anzahl der Gitterpunkte sowie das Volumen der herkömmlichen Zelle ist ein ganzzahliges Vielfaches (1, 2, 3 oder 4) der primitiven Zelle.

Zwei Dimensionen

Das Parallelogramm ist die allgemeine primitive Zelle für die Ebene.

Für jedes 2-dimensionale Gitter sind die Elementarzellen Parallelogramme , die in speziellen Fällen orthogonale Winkel oder gleiche Längen oder beides haben können. Vier der fünf zweidimensionalen Bravais-Gitter werden unter Verwendung konventioneller primitiver Zellen dargestellt, wie unten gezeigt.

Konventionelle primitive Zelle 2d mp.svg 2d op rechteckig.svg 2d tp.svg 2d hp.svg
Formname Parallelogramm Rechteck Quadrat Rhombus
Bravais-Gitter Primitive Schräge Primitive Rechteckig Primitives Quadrat Primitive Hexagonal

Das zentrierte rechteckige Gitter hat ebenfalls eine primitive Zelle in Form einer Raute, aber um eine einfache Unterscheidung auf der Grundlage der Symmetrie zu ermöglichen, wird es durch eine herkömmliche Zelle dargestellt, die zwei Gitterpunkte enthält.

Primitive Zelle 2d oc rhombisch.svg
Formname Rhombus
Konventionelle Zelle 2d oc rechteckig.svg
Bravais-Gitter Zentriertes Rechteck

Drei Dimensionen

Ein Parallelepiped ist eine allgemeine primitive Zelle für den dreidimensionalen Raum.

Für jedes dreidimensionale Gitter sind die herkömmlichen Elementarzellen Parallelepipeds , die in speziellen Fällen orthogonale Winkel oder gleiche Längen oder beides haben können. Sieben der vierzehn dreidimensionalen Bravais-Gitter werden unter Verwendung herkömmlicher primitiver Zellen dargestellt, wie unten gezeigt.

Konventionelle primitive Zelle Triclinic.svg Monoklinik.svg Orthorhombic.svg Tetragonal.svg Rhomboeder.svg Kubik.svg Sechseckig
Formname Parallelepiped Schräges rechteckiges Prisma Rechteckiger Quader Quadratischer Quader Trigonale Trapezoeder Würfel
Bravais-Gitter Primitive Triklinik Primitive Monoklinik Primitive Orthorhombisch Primitive Tetragonal Primitive Rhomboeder Primitive Kubik Primitive Hexagonal

Die anderen sieben Bravais-Gitter (bekannt als zentrierte Gitter) haben ebenfalls primitive Zellen in Form eines Parallelepipeds, aber um eine einfache Unterscheidung aufgrund der Symmetrie zu ermöglichen, werden sie durch konventionelle Zellen repräsentiert, die mehr als einen Gitterpunkt enthalten.

Primitive Zelle Clinorhombisches prism.svg Rhombisches prism.svg
Formname Oblique rhombisches Prisma Recht rhombisches Prisma
Konventionelle Zelle Monoclinic-base-centered.svg Orthorhombic-base-centered.svg Orthorhombic-body-centered.svg Orthorhombic-face-centered.svg Tetragonal-body-centered.svg Cubic-body-centered.svg Cubic-face-centered.svg
Bravais-Gitter Basenzentrierte Monoklinik Basenzentrierte Orthorhombic Körperzentrierte Orthorhombic Gesichtszentrierte Orthorhombic Körperzentriertes Tetragonal Körperzentrierte Kubik Flächenzentrierte Kubik

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise