Vektorraum - Vector space

Vektoraddition und Skalarmultiplikation: Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w (rot, obere Abbildung) addiert . Unten wird w um den Faktor 2 gestreckt, was die Summe v + 2 w ergibt .

In der Mathematik , die Physik und Technik , ein Vektorraum (auch genannt linearer Raum ) ist ein Satz von Objekten , genannt Vektoren , die sein kann hinzugefügt zusammen und multipliziert ( „skaliert“) durch Zahlen bezeichnet Skalare . Skalare sind oft reelle Zahlen , aber einige Vektorräume haben eine Skalarmultiplikation mit komplexen Zahlen oder allgemein mit einem Skalar aus einem beliebigen mathematischen Feld . Die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation müssen bestimmte Anforderungen erfüllen, die als Vektoraxiome bezeichnet werden (siehe unten in § Definition ). Um anzugeben, ob die Skalare in einem bestimmten Vektorraum reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sind, werden häufig die Begriffe reeller Vektorraum und komplexer Vektorraum verwendet.

Bestimmte Sätze von euklidischen Vektoren sind übliche Beispiele für einen Vektorraum. Sie stellen physikalische Größen wie Kräfte dar , wobei zwei beliebige Kräfte des gleichen Typs zu einer dritten addiert werden können, und die Multiplikation eines Kraftvektors mit einem reellen Multiplikator ist ein weiterer Kraftvektor. In gleicher Weise (aber im geometrischeren Sinne) bilden auch Vektoren, die Verschiebungen in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum darstellen , Vektorräume. Vektoren in Vektorräumen müssen nicht unbedingt pfeilartige Objekte sein, wie sie in den genannten Beispielen vorkommen: Vektoren gelten als abstrakte mathematische Objekte mit bestimmten Eigenschaften, die man sich teilweise als Pfeile vorstellen kann.

Vektorräume sind Gegenstand der linearen Algebra und zeichnen sich durch ihre Dimension aus , die grob gesagt die Anzahl der unabhängigen Richtungen im Raum angibt. Unendlichdimensionale Vektorräume entstehen in der mathematischen Analysis natürlich als Funktionsräume , deren Vektoren Funktionen sind . Diese Vektorräume sind im Allgemeinen mit einer zusätzlichen Struktur wie einer Topologie ausgestattet , die die Berücksichtigung von Nähe und Kontinuität ermöglicht . Unter diesen Topologien werden häufiger solche verwendet, die durch eine Norm oder ein inneres Produkt definiert sind (die mit einem Begriff des Abstands zwischen zwei Vektoren ausgestattet sind). Dies ist insbesondere bei Banach-Räumen und Hilbert-Räumen der Fall , die für die mathematische Analyse von grundlegender Bedeutung sind.

Historisch können die ersten Ideen, die zu Vektorräumen führten, bis in die analytische Geometrie des 17. Jahrhunderts , Matrizen , lineare Gleichungssysteme und euklidische Vektoren zurückverfolgt werden. Die moderne, abstraktere Behandlung, die erstmals 1888 von Giuseppe Peano formuliert wurde , umfasst allgemeinere Objekte als den euklidischen Raum , aber ein Großteil der Theorie kann als Erweiterung klassischer geometrischer Ideen wie Linien , Ebenen und ihre höherdimensionalen Analoga gesehen werden.

Heute werden Vektorräume in der gesamten Mathematik , Naturwissenschaften und Technik angewendet . Sie sind der geeignete linear-algebraische Begriff, um mit linearen Gleichungssystemen umzugehen . Sie bieten einen Rahmen für die Fourier-Expansion , die in Bildkompressionsroutinen verwendet wird , und sie bieten eine Umgebung, die für Lösungstechniken für partielle Differentialgleichungen verwendet werden kann . Darüber hinaus bieten Vektorräume einen abstrakten, koordinatenfreien Umgang mit geometrischen und physikalischen Objekten wie Tensoren . Dies ermöglicht wiederum die Untersuchung lokaler Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten durch Linearisierungstechniken. Vektorräume können auf verschiedene Weise verallgemeinert werden, was zu fortgeschritteneren Begriffen in Geometrie und abstrakter Algebra führt .

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit endlichdimensionalen Vektorräumen. Viele der Prinzipien gelten jedoch auch für unendlichdimensionale Vektorräume.

Einführung und Definition

Zuerst werden zwei typische Vektorraum-Beispiele beschrieben, dann wird die Definition von Vektorräumen eingeführt.

Erstes Beispiel: Pfeile in der Ebene

Das erste Beispiel für einen Vektorraum besteht aus Pfeilen in einer festen Ebene , die an einem festen Punkt beginnen. Dies wird in der Physik verwendet, um Kräfte oder Geschwindigkeiten zu beschreiben . Gegeben zwei beliebige solche Pfeile, v und w , das Parallelogramm durch diese beiden Pfeile überspannt enthält einen diagonalen Pfeil dass beginnt am Ursprung auch. Dieser neue Pfeil wird die Summe der beiden Pfeile genannt und mit v + w bezeichnet . Im Spezialfall zweier Pfeile auf derselben Linie ist ihre Summe der Pfeil auf dieser Linie, dessen Länge die Summe oder die Differenz der Längen ist, je nachdem, ob die Pfeile die gleiche Richtung haben. Eine andere Operation, die mit Pfeilen durchgeführt werden kann, ist die Skalierung: Bei einer gegebenen positiven reellen Zahl a wird der Pfeil, der die gleiche Richtung wie v hat , aber durch Multiplikation seiner Länge mit a erweitert oder geschrumpft wird , als Multiplikation von v mit a bezeichnet . Es wird als v bezeichnet . Wenn a negativ ist, wird a v stattdessen als der Pfeil definiert, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Nachfolgend einige Beispiele: Bei a = 2 hat der resultierende Vektor a w die gleiche Richtung wie w , wird aber auf die doppelte Länge von w gestreckt (rechtes Bild unten). Äquivalent ist 2 w die Summe w + w . Außerdem hat (−1) v = − v die entgegengesetzte Richtung und die gleiche Länge wie v (blauer Vektor nach unten im rechten Bild).

Vektoraddition: Es wird die Summe v + w (schwarz) der Vektoren v (blau) und w (rot) angezeigt. Skalarmultiplikation: Gezeigt werden die Vielfachen −v und 2w.

Zweites Beispiel: geordnete Zahlenpaare

Ein zweites wichtiges Beispiel für einen Vektorraum liefern Paare reeller Zahlen x und y . (Die Reihenfolge der Komponenten x und y ist signifikant, daher wird ein solches Paar auch als geordnetes Paar bezeichnet .) Ein solches Paar wird als ( x , y ) geschrieben . Die Summe zweier solcher Paare und die Multiplikation eines Paares mit einer Zahl ist wie folgt definiert:

und

Das erste obige Beispiel reduziert sich auf dieses Beispiel, wenn ein Pfeil durch ein Paar kartesischer Koordinaten seines Endpunkts dargestellt wird.

Definition

In diesem Artikel werden Vektoren in Fettdruck dargestellt, um sie von Skalaren zu unterscheiden.

Ein Vektorraum über einem Körper F ist eine Menge  V zusammen mit zwei Operationen, die die unten aufgeführten acht Axiome erfüllen. Im Folgenden bezeichnet V × V das kartesische Produkt von V mit sich selbst und eine Abbildung von einer Menge auf eine andere.

  • Die erste Operation, die Vektoraddition oder einfach Addition + : V × VV genannt wird , nimmt zwei beliebige Vektoren  v und w und weist ihnen einen dritten Vektor zu, der gewöhnlich als v + w geschrieben wird und die Summe dieser beiden Vektoren genannt wird. (Der resultierende Vektor ist auch ein Element der Menge V .)
  • Die zweite Operation, genannt Skalarmultiplikation · : F × VV, nimmt einen beliebigen Skalar  a und einen beliebigen Vektor  v und liefert einen anderen Vektor  a v . (Ähnlich ist der Vektor a v ein Element der Menge V . Die Skalarmultiplikation ist nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt , auch inneres Produkt oder Punktprodukt genannt , das eine zusätzliche Struktur ist, die auf einigen spezifischen, aber nicht allen Vektorräumen vorhanden ist Skalarmultiplikation ist eine Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, die andere ist eine Multiplikation zweier Vektoren , die einen Skalar ergeben.)

Elemente von V werden allgemein als Vektoren bezeichnet . Elemente von  F werden allgemein als Skalare bezeichnet . Übliche Symbole zum Bezeichnen von Vektorräumen umfassen U , V und W .

In den beiden obigen Beispielen ist der Körper der Körper der reellen Zahlen, und die Menge der Vektoren besteht aus den ebenen Pfeilen mit einem festen Startpunkt bzw. Paaren reeller Zahlen.

Um sich als Vektorraum zu qualifizieren, müssen die Menge  V und die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation eine Reihe von Anforderungen erfüllen, die als Axiome bezeichnet werden . Diese sind in der folgenden Tabelle aufgelistet, wobei u , v und w beliebige Vektoren in V bezeichnen und a und b Skalare in F bezeichnen .

Axiom Bedeutung
Assoziativität der Vektoraddition u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Kommutativität der Vektoraddition u + v = v + u
Identitätselement der Vektoraddition Es gibt ein Element 0V , den sogenannten Nullvektor , so dass v + 0 = v für alle vV gilt .
Inverse Elemente der Vektoraddition Für jedes vV existiert ein Element vV , die additive Inverse von v , so dass v + (− v ) = 0 ist .
Kompatibilität der Skalarmultiplikation mit der Feldmultiplikation a ( b v ) = ( ab ) v
Identitätselement der Skalarmultiplikation 1 v = v , wobei 1 die multiplikative Identität in F bezeichnet .
Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich der Vektoraddition   a ( u + v ) = a u + a v
Distributivität der Skalarmultiplikation bezüglich Feldaddition ( a + b ) v = a v + b v

Diese Axiome verallgemeinern Eigenschaften der in den obigen Beispielen eingeführten Vektoren. Tatsächlich hängt das Ergebnis der Addition zweier geordneter Paare (wie im zweiten Beispiel oben) nicht von der Reihenfolge der Summanden ab:

( X v , y v ) + ( x w , y w ) = ( x w , y w ) + ( x v , y v ) .

Ebenso gilt im geometrischen Beispiel von Vektoren als Pfeilen v + w = w + v, da das die Summe der Vektoren definierende Parallelogramm unabhängig von der Reihenfolge der Vektoren ist. Alle anderen Axiome lassen sich in beiden Beispielen auf ähnliche Weise verifizieren. Unter Vernachlässigung der konkreten Natur des bestimmten Vektortyps schließt die Definition diese zwei und viele weitere Beispiele in einen Begriff des Vektorraums ein.

Die Subtraktion von zwei Vektoren und die Division durch einen Skalar (nicht Null) kann definiert werden als

Wenn das Skalarfeld F die reellen Zahlen R ist , wird der Vektorraum als reeller Vektorraum bezeichnet . Wenn das Skalarfeld die komplexen Zahlen C ist , wird der Vektorraum als komplexer Vektorraum bezeichnet . Diese beiden Fälle werden in der Technik am häufigsten verwendet. Die allgemeine Definition eines Vektorraums erlaubt es Skalaren, Elemente eines beliebigen festen Körpers F zu sein . Der Begriff wird dann als bekannt F - Vektorraum oder einen Vektorraum über F . Ein Feld ist im Wesentlichen eine Menge von Zahlen mit Additions- , Subtraktions- , Multiplikations- und Divisionsoperationen . Zum Beispiel bilden rationale Zahlen ein Feld.

Im Gegensatz zur Intuition, die von Vektoren in der Ebene und höherdimensionalen Fällen herrührt, gibt es in allgemeinen Vektorräumen keine Vorstellung von Nähe , Winkeln oder Entfernungen . Um sich mit solchen Fragen zu befassen, werden bestimmte Typen von Vektorräumen eingeführt; siehe § Vektorräume mit zusätzlicher Struktur unten für mehr.

Alternative Formulierungen und elementare Konsequenzen

Vektoraddition und Skalarmultiplikation sind Operationen, erfüllt die Schließung Eigenschaft: u + v und a v sind in V für alle a in F , und u , v in V . Einige ältere Quellen erwähnen diese Eigenschaften als separate Axiome.

Im Sprachgebrauch der abstrakten Algebra sind die ersten vier Axiome äquivalent dazu, dass die Menge der Vektoren bei Addition eine abelsche Gruppe sein muss . Die übrigen Axiome geben dieser Gruppe , die eine F - Modul - Struktur. Mit anderen Worten, es gibt einen Ringhomomorphismus f aus dem Körper F in den Endomorphismusring der Gruppe von Vektoren. Dann ist die Skalarmultiplikation a v definiert als ( f ( a )) ( v ) .

Es gibt eine Reihe von direkten Konsequenzen aus den Vektorraum-Axiomen. Einige von ihnen leiten sich aus der elementaren Gruppentheorie ab , die auf die additive Gruppe von Vektoren angewendet wird: zum Beispiel sind der Nullvektor 0 von V und die additive Inverse v eines beliebigen Vektors v eindeutig. Weitere Eigenschaften folgen, indem auch das Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation verwendet wird, zB a v gleich 0 genau dann, wenn a gleich 0 oder v gleich 0 ist .

Geschichte

Vektorräume stammen aus der affinen Geometrie , über die Einführung von Koordinaten in die Ebene oder den dreidimensionalen Raum. Um 1636 gründeten die französischen Mathematiker René Descartes und Pierre de Fermat die analytische Geometrie, indem sie Lösungen für eine Gleichung zweier Variablen mit Punkten auf einer ebenen Kurve identifizierten . Um geometrische Lösungen ohne die Verwendung von Koordinaten zu erreichen, führte Bozen 1804 bestimmte Operationen an Punkten, Linien und Ebenen ein, die Vorläufer von Vektoren sind. Möbius (1827) führte den Begriff der baryzentrischen Koordinaten ein . Bellavitis (1833) führte den Begriff eines Bipoints ein, dh eines orientierten Segments, dessen eines Ende der Ursprung und das andere ein Ziel ist. Vektoren wurden mit der Darstellung komplexer Zahlen durch Argand und Hamilton und der Einführung von Quaternionen durch letztere überdacht . Sie sind Elemente in R 2 und R 4 ; ihre Behandlung mit Linearkombinationen geht auf Laguerre im Jahr 1867 zurück, der auch lineare Gleichungssysteme definierte .

1857 führte Cayley die Matrixnotation ein, die eine Harmonisierung und Vereinfachung linearer Karten ermöglicht . Etwa zur gleichen Zeit untersuchte Grassmann die von Möbius initiierte baryzentrische Berechnung. Er stellte sich Sätze von abstrakten Objekten vor, die mit Operationen ausgestattet sind. In seinen Arbeiten sind die Konzepte der linearen Unabhängigkeit und Dimension sowie Skalarprodukte präsent. Tatsächlich sprengt Grassmanns Arbeit von 1844 den Rahmen von Vektorräumen, denn auch seine Überlegungen zur Multiplikation führten ihn zu dem, was man heute Algebren nennt . Der italienische Mathematiker Peano gab 1888 als erster die moderne Definition von Vektorräumen und linearen Karten.

Eine wichtige Entwicklung der Vektorräume geht auf die Konstruktion von Funktionsräumen von Henri Lebesgue zurück . Dies wurde später um 1920 von Banach und Hilbert formalisiert . Zu dieser Zeit begannen die Algebra und das neue Gebiet der Funktionalanalyse zu interagieren, insbesondere mit Schlüsselkonzepten wie Räumen von p-integrierbaren Funktionen und Hilbert-Räumen . Zu dieser Zeit wurden auch die ersten Studien zu unendlichdimensionalen Vektorräumen durchgeführt.

Beispiele

Koordinatenraum

Das einfachste Beispiel für einen Vektorraum über einem Körper F ist der Körper F selbst (da es eine abelsche Gruppe für die Addition ist, ein Teil der Anforderungen, ein Körper zu sein .), ausgestattet mit seiner Addition (Es wird zu Vektoraddition.) und Multiplikation (Es wird skalare Multiplikation.). Allgemeiner gesagt , alle n- Tupel (Folgen der Länge n )

( a 1 , a 2 , ..., a n )

der Elemente a i von F bilden einen Vektorraum, der gewöhnlich mit F n bezeichnet und als Koordinatenraum bezeichnet wird . Der Fall n = 1 ist das oben genannte einfachste Beispiel, bei dem der Körper F auch als Vektorraum über sich selbst betrachtet wird. Der Fall F = R und n = 2 (also R 2 ) wurde in der obigen Einleitung diskutiert.

Komplexe Zahlen und andere Felderweiterungen

Die Menge der komplexen Zahlen C , also Zahlen, die sich für reelle Zahlen x und y in der Form x + iy schreiben lassen, wobei i die imaginäre Einheit ist , bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Vektorraum über den reellen Zahlen : ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) und c ⋅ ( x + iy ) = ( cx ) + i ( cy ) für reelle Zahlen x , y , a , b und c . Die verschiedenen Axiome eines Vektorraums ergeben sich daraus, dass für die komplexe Zahlenarithmetik die gleichen Regeln gelten.

Tatsächlich ist das Beispiel der komplexen Zahlen im Wesentlichen dasselbe (dh es ist isomorph zu) dem oben erwähnten Vektorraum geordneter Paare reeller Zahlen: Wenn wir uns die komplexe Zahl x + i y als Repräsentant des geordneten Paares vorstellen ( x , y ) in der komplexen Ebene dann sehen wir, dass die Regeln für die Addition und Skalarmultiplikation genau denen des vorherigen Beispiels entsprechen.

Allgemeines Feld Erweiterungen bieten, vor allem in der Algebra und eine andere Klasse von Beispielen für Vektorräume algebraische Zahlentheorie : ein Feld F eines enthält kleinere Feld E ist eine E -Vektorraum, durch die gegebenen Multiplikationen und Additionen von F . Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen ein Vektorraum über R und die Felderweiterung ist ein Vektorraum über Q .

Funktionsräume

Addition von Funktionen: Die Summe aus Sinus- und Exponentialfunktion ist mit

Funktionen aus einer beliebigen festen Menge Ω zu einem Körper F bilden ebenfalls Vektorräume, indem sie punktweise Addition und Skalarmultiplikation durchführen. Das heißt, die Summe zweier Funktionen f und g ist die Funktion ( f + g ) gegeben durch

( f + g ) ( w ) = f ( w ) + g ( w ) ,

und ähnlich für die Multiplikation. Solche Funktionsräume treten in vielen geometrischen Situationen auf, wenn Ω die reelle Gerade oder ein Intervall oder andere Teilmengen von R ist . Viele Begriffe in Topologie und Analysis, wie Stetigkeit , Integrierbarkeit oder Differenzierbarkeit, verhalten sich in Bezug auf Linearität gut: Summen und skalare Vielfache von Funktionen mit einer solchen Eigenschaft haben immer noch diese Eigenschaft. Daher sind die Menge solcher Funktionen Vektorräume. Sie werden mit den Methoden der Funktionsanalyse näher untersucht , siehe unten . Auch aus algebraischen Zwangsbedingungen ergeben sich Vektorräume: Der Vektorraum F [x] ist durch Polynomfunktionen gegeben :

f ( x ) = r 0 + r 1 x + ... + r n –1 x n –1 + r n x n , wobei die Koeffizienten r 0 , ..., r n in F sind .

Lineare Gleichungen

Systeme homogener linearer Gleichungen sind eng an Vektorräume gebunden. Zum Beispiel die Lösungen von

ein + 3 b + C = 0
4 a + 2 b + 2 c = 0

sind durch Tripel mit beliebigem a , b = a /2 und c = −5 a /2 gegeben . Sie bilden einen Vektorraum: Summen und skalare Vielfache solcher Tripel erfüllen immer noch die gleichen Verhältnisse der drei Variablen; somit sind sie auch Lösungen. Matrizen können verwendet werden, um mehrere lineare Gleichungen wie oben zu einer Vektorgleichung zu kondensieren, nämlich

A x = 0 ,

wobei die Matrix mit den Koeffizienten der gegebenen Gleichungen ist, x der Vektor ( a , b , c ) ist , A x das Matrixprodukt bezeichnet und 0 = (0, 0) der Nullvektor ist. In ähnlicher Weise bilden die Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen Vektorräume. Zum Beispiel,

f ′′( x ) + 2 f ′( x ) + f ( x ) = 0

ergibt f ( x ) = a e x + bx e x , wobei a und b beliebige Konstanten sind und e x die natürliche Exponentialfunktion ist .

Basis und Dimension

Ein Vektor v in R 2 (blau), ausgedrückt durch verschiedene Basen: unter Verwendung der Standardbasis von R 2 : v = x e 1 + y e 2 (schwarz) und unter Verwendung einer anderen, nicht orthogonalen Basis: v = f 1 + f 2 (rot).

Basen ermöglichen die Darstellung von Vektoren durch eine Folge von Skalaren, die als Koordinaten oder Komponenten bezeichnet werden . Eine Basis ist ein Satz B = { b i } iI von Vektoren B i ,Einfachheit halber durch eine häufig indiziert Index gesetzt ich , dass umspannt den gesamten Raum und ist linear unabhängig . "Den ganzen Raum überspannen" bedeutet, dass jeder Vektor v als endliche Summe (genannt Linearkombination ) der Basiselementeausgedrückt werden kann:

 

 

 

 

( 1 )

wobei die a k Skalare sind, die als Koordinaten (oder die Komponenten) des Vektors v bezüglich der Basis B bezeichnet werden , und b i k ( k = 1, ..., n ) Elemente von B sind . Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass die Koordinaten a k für jeden Vektor im Vektorraum eindeutig bestimmt sind.

Zum Beispiel die Koordinatenvektoren e 1 = (1, 0, …, 0) , e 2 = (0, 1, 0, …, 0) , bis e n = (0, 0, …, 0, 1) , bilden eine Basis von F n , die als Standardbasis bezeichnet wird , da jeder Vektor ( x 1 , x 2 , …, x n ) eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren ausgedrückt werden kann:

( x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 (1, 0, …, 0) + x 2 (0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + x n (0, …, 0, 1) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n .

Die entsprechenden Koordinaten x 1 , x 2 , , x n sind nur die kartesischen Koordinaten des Vektors.

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Dies folgt aus Zorns Lemma , einer äquivalenten Formulierung des Auswahlaxioms . Angesichts der anderen Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ist die Existenz von Basen äquivalent zum Auswahlaxiom. Das gegenüber dem Auswahlaxiom schwächere Ultrafilter-Lemma impliziert, dass alle Basen eines gegebenen Vektorraums die gleiche Anzahl von Elementen oder Kardinalitäten haben (vgl. Dimensionssatz für Vektorräume ). Sie wird die Dimension des Vektorraums genannt, die mit dim V bezeichnet wird . Wird der Raum von endlich vielen Vektoren aufgespannt, lassen sich die obigen Aussagen ohne einen solchen fundamentalen Input aus der Mengenlehre beweisen.

Die Dimension des Koordinatenraums F n ist n , nach der oben gezeigten Basis. Die Dimension des Polynomrings F [ x ] führte oben ist abzählbar , eine Basis ist gegeben durch 1 , x , x 2 , ... A fortiori , die Dimension der allgemeinere Funktion Räume, wie beispielsweise den Raum von Funktionen auf einig (begrenzt oder unbegrenzt) Intervall, ist unendlich. Unter geeigneten Regularitätsannahmen der beteiligten Koeffizienten entspricht die Dimension des Lösungsraums einer homogenen gewöhnlichen Differentialgleichung dem Grad der Gleichung. Der Lösungsraum für die obige Gleichung wird beispielsweise durch e x und xe x erzeugt . Diese beiden Funktionen sind über R linear unabhängig , daher ist die Dimension dieses Raums zwei, ebenso wie der Grad der Gleichung.

Eine Felderweiterung über die rationalen Zahlen Q kann man sich als Vektorraum über Q vorstellen (indem man die Vektoraddition als Feldaddition definiert, die Skalarmultiplikation als Feldmultiplikation mit Elementen von Q definiert und ansonsten die Feldmultiplikation ignoriert). Die Dimension (oder Grad ) der Felderweiterung Q ( α ) über Q hängt von α ab . Wenn α eine Polynomgleichung erfüllt

mit rationalen Koeffizienten q n , ..., q 0 (in anderen Worten, wenn α ist algebraischen ), ist die Dimension finite. Genauer gesagt entspricht es dem Grad des minimalen Polynoms mit α als Wurzel . Beispielsweise sind die komplexen Zahlen C ein zweidimensionaler reeller Vektorraum, erzeugt durch 1 und die imaginäre Einheit i . Letzteres erfüllt i 2 + 1 = 0, eine Gleichung zweiten Grades. Somit ist C ein zweidimensionaler R -Vektorraum (und, wie jeder Körper, eindimensional als Vektorraum über sich selbst, C ). Wenn α nicht algebraisch ist, ist die Dimension von Q ( α ) über Q unendlich. Für α = π gibt es zum Beispiel keine solche Gleichung. Das heißt, ist transzendent .

Lineare Karten und Matrizen

Die Beziehung zweier Vektorräume kann durch lineare Abbildung oder lineare Transformation ausgedrückt werden . Sie sind Funktionen , die die Vektorraumstruktur widerspiegeln, dh sie erhalten Summen und Skalarmultiplikation:

und f ( a · v ) = a · f ( v ) für alle v und w in V , die alle einen in F .

Ein Isomorphismus ist eine lineare Abbildung f  : VW , so dass es eine inverse Abbildung g  : WV gibt , die eine Abbildung ist, bei der die beiden möglichen Zusammensetzungen fg  : WW und gf  : VV sind Identitätskarten . Äquivalent ist f sowohl eins zu eins ( injektiv ) als auch auf ( surjektiv ). Existiert ein Isomorphismus zwischen V und W , so nennt man die beiden Räume isomorph ; sie sind dann als Vektorräume im Wesentlichen identisch, da alle Identitäten, die in V enthalten sind, über f zu ähnlichen in W transportiert werden und umgekehrt über g .

Die Beschreibung eines Pfeilvektors v durch seine Koordinaten x und y ergibt einen Isomorphismus von Vektorräumen.

Zum Beispiel sind die Vektorräume "Pfeile in der Ebene" und "geordnete Zahlenpaare" in der Einleitung isomorph: Ein ebener Pfeil v , der vom Ursprung eines (festen) Koordinatensystems weggeht, kann als geordnetes Paar ausgedrückt werden, indem man die x- und y- Komponente des Pfeils, wie im Bild rechts gezeigt. Umgekehrt dreht sich bei einem gegebenen Paar ( x , y ) der Pfeil um x nach rechts (oder nach links, wenn x negativ ist) und y nach oben (nach unten, wenn y negativ ist) den Pfeil v zurück .

Lineare Abbildungen VW zwischen zwei Vektorräumen bilden einen Vektorraum Hom F ( V , W ) , auch als L ( V , W ) oder 𝓛 ( V , W ) bezeichnet . Der Raum der linearen Abbildungen von V bis F wird der genannte Dual - Vektorraum , bezeichnet V * . Über die injektive natürliche Abbildung VV ∗∗ kann jeder Vektorraum in sein Bidual eingebettet werden ; die Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn der Raum endlichdimensional ist.

Sobald eine Basis von V gewählt ist, werden lineare Abbildungen f  : VW vollständig durch die Angabe der Bilder der Basisvektoren bestimmt, da jedes Element von V eindeutig als eine Linearkombination derselben ausgedrückt wird. Wenn dim V = dim W ist , führt eine 1-zu-1-Entsprechung zwischen festen Basen von V und W zu einer linearen Abbildung, die jedes Basiselement von V auf das entsprechende Basiselement von W abbildet . Es ist per Definition ein Isomorphismus. Daher sind zwei Vektorräume isomorph, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen und umgekehrt. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass jeder Vektorraum vollständig ( bis auf Isomorphie) durch seine Dimension, eine einzelne Zahl, klassifiziert wird . Insbesondere ist jeder n- dimensionale F- Vektorraum V isomorph zu F n . Es gibt jedoch keinen "kanonischen" oder bevorzugten Isomorphismus; eigentlich ist ein Isomorphismus φ  : F nV äquivalent zur Wahl einer Basis von V , indem die Standardbasis von F n über φ auf V abgebildet wird . Die Freiheit, eine geeignete Basis zu wählen, ist im unendlich-dimensionalen Kontext besonders nützlich; siehe unten .

Matrizen

Eine typische Matrix

Matrizen sind ein nützliches Konzept, um lineare Karten zu codieren. Sie werden wie im Bild rechts als rechteckige Skalaranordnung geschrieben. Jede m- mal- n- Matrix A führt zu einer linearen Abbildung von F n nach F m , durch folgendes

, wobei bezeichnet Summation ,

oder unter Verwendung der Matrixmultiplikation der Matrix A mit dem Koordinatenvektor x :

xA x .

Darüber hinaus wird nach der Wahl der Basen V und W , jede linearen Abbildung f  : VW über diese Zuordnung eindeutig dargestellt durch eine Matrix.

Das Volumen dieses Parallelepipeds ist der Absolutwert der Determinante der 3-mal-3-Matrix, die durch die Vektoren r 1 , r 2 und r 3 gebildet wird .

Die Determinante det ( A ) einer quadratischen Matrix A ist ein Skalar, der angibt, ob die zugehörige Abbildung ein Isomorphismus ist oder nicht: Um dies zu sein, ist es ausreichend und notwendig, dass die Determinante ungleich Null ist. Die lineare Transformation von R n entsprechend einer reellen n- mal- n- Matrix ist genau dann orientierungserhaltend, wenn ihre Determinante positiv ist.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Endomorphismen , lineare Abbildungen f  : VV , sind besonders wichtig , da in diesem Fall Vektoren v mit ihrem Bild unter f , f ( v ) verglichen werden können . Jeder Vektor v ungleich Null , der λ v = f ( v ) erfüllt , wobei λ ein Skalar ist, heißt Eigenvektor von f mit Eigenwert λ . Äquivalent ist v ein Element des Kerns der Differenz fλ · Id (wobei Id die Identitätsabbildung VV ist ) . Wenn V endlichdimensional ist, kann dies mit Determinanten umformuliert werden: f mit Eigenwert λ ist äquivalent zu

det( fλ · Id) = 0 .

Durch Buchstabieren der Definition der Determinante, kann der Ausdruck auf der linken Seite gesehen wird , eine Polynomfunktion in sein λ , das angerufene charakteristische Polynom von f . Wenn der Körper F groß genug ist, um eine Nullstelle dieses Polynoms zu enthalten (was automatisch für F algebraisch abgeschlossen geschieht , wie F = C ), hat jede lineare Abbildung mindestens einen Eigenvektor. Der Vektorraum V kann eine Eigenbasis besitzen oder auch nicht , eine Basis bestehend aus Eigenvektoren. Dieses Phänomen wird durch die kanonische Form der Karte in Jordanien geregelt . Die Menge aller Eigenvektoren, die einem bestimmten Eigenwert von f entsprechen, bildet einen Vektorraum, der als Eigenraum bekannt ist , der dem fraglichen Eigenwert (und f ) entspricht. Um den Spektralsatz , die entsprechende Aussage im unendlich-dimensionalen Fall, zu erreichen, wird die Maschinerie der Funktionsanalyse benötigt, siehe unten .

Grundkonstruktionen

Zusätzlich zu den obigen konkreten Beispielen gibt es eine Reihe von linearen algebraischen Standardkonstruktionen, die Vektorräume ergeben, die sich auf gegebene beziehen. Zusätzlich zu den unten angegebenen Definitionen zeichnen sie sich auch durch universelle Eigenschaften aus , die ein Objekt X bestimmen, indem sie die linearen Abbildungen von X in einen beliebigen anderen Vektorraum angeben.

Unterräume und Quotientenräume

Eine Linie, die durch den Ursprung (blau, dick) in R 3 geht, ist ein linearer Unterraum. Es ist der Schnittpunkt zweier Ebenen (grün und gelb).

Eine nichtleere Teilmenge W eines Vektorraums V , die durch Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist (und daher den 0- Vektor von V enthält ) heißt linearer Teilraum von V oder einfach Teilraum von V , wenn der Umgebungsraum eindeutig a . ist Vektorraum. Unterräume von V sind eigene Vektorräume (über dem gleichen Körper). Der Schnittpunkt aller Unterräume, die eine gegebene Menge S von Vektoren enthalten, wird als Spannweite bezeichnet und ist der kleinste Unterraum von V , der die Menge S enthält . In Elementen ausgedrückt ist die Spanne der Unterraum, der aus allen Linearkombinationen von Elementen von S besteht .

Ein linearer Unterraum der Dimension 1 ist eine Vektorlinie . Ein linearer Unterraum der Dimension 2 ist eine Vektorebene . Ein linearer Unterraum, der alle Elemente außer einem einer Basis des Umgebungsraums enthält, ist eine Vektorhyperebene . In einem Vektorraum endlicher Dimension n ist eine Vektorhyperebene also ein Unterraum der Dimension n – 1 .

Das Gegenstück zu Unterräumen sind Quotientenvektorräume . Für einen beliebigen Unterraum WV ist der Quotientenraum V / W (" V modulo W ") wie folgt definiert: Als Menge besteht er aus v + W = { v + w  : wW }, wobei v an beliebiger Vektor in V . Die Summe von zwei solchen Elementen v 1 + W und V 2 + W ist ( v 1 + v 2 ) + W , und Skalarmultiplikation ist gegeben durch eine · ( V + W ) = ( eine · v ) + W . Der Kernpunkt dieser Definition ist, dass v 1 + W = v 2 + W genau dann, wenn die Differenz von v 1 und v 2 in W liegt . Auf diese Weise "vergisst" der Quotientenraum Informationen, die im Unterraum W enthalten sind .

Der Kernel ker( f ) einer linearen Abbildung f  : VW besteht aus Vektoren v , die in W auf 0 abgebildet werden . Der Kern und das Bild im ( f ) = { f ( v ): vV } sind Unterräume von V und W ist. Die Existenz von Kernen und Bildern ist Teil der Aussage, dass die Kategorie der Vektorräume (über einem festen Körper F ) eine abelsche Kategorie ist , d. h. ein Korpus mathematischer Objekte und strukturerhaltender Abbildungen zwischen ihnen (eine Kategorie ), die sich verhält ähnlich wie die Kategorie der abelschen Gruppen . Aus diesem Grund sind viele Aussagen wie der erste Isomorphismussatz ( matrizenbezogen auch Rang-Nulligkeitssatz genannt )

V / ker( f ) im( f ).

und der zweite und dritte Isomorphismussatz können sehr ähnlich wie die entsprechenden Aussagen für Gruppen formuliert und bewiesen werden .

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern einer linearen Abbildung xA x für eine feste Matrix A , wie oben . Der Kern dieser Karte ist der Unterraum der Vektoren x , so dass A x = 0 , was genau der Satz von Lösungen für das System von homogenen linearen Gleichungen gehören , A . Dieses Konzept erstreckt sich auch auf lineare Differentialgleichungen

, wobei die Koeffizienten a i auch Funktionen in x sind.

In der entsprechenden Karte

,

die Ableitungen der Funktion f erscheinen linear (im Gegensatz beispielsweise zu f ′′( x ) 2 ). Da die Differentiation ein lineares Verfahren ist (d. h. ( f + g )′ = f ′ + g und ( c · f )′ = c · f für eine Konstante c ) ist diese Zuordnung linear und wird als linearer Differentialoperator bezeichnet . Insbesondere bilden die Lösungen der Differentialgleichung D ( f ) = 0 einen Vektorraum (über R oder C ).

Direktprodukt und Direktsumme

Das direkte Produkt von Vektorräumen und die direkte Summe von Vektorräumen sind zwei Möglichkeiten, eine indizierte Familie von Vektorräumen zu einem neuen Vektorraum zu kombinieren.

Das direkte Produkt einer Familie von Vektorräume V i des Satzes alle Tupel besteht ( v i ) iI , die angeben , für jeden Index i in einem gewissen Index gesetzt I ein Element v i von V i . Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise durchgeführt. Eine Variante dieser Konstruktion ist die direkte Summe (auch Koprodukt genannt und mit ) bezeichnet, bei der nur Tupel mit endlich vielen von Null verschiedenen Vektoren erlaubt sind. Wenn die Indexmenge I endlich ist, stimmen die beiden Konstruktionen überein, aber im Allgemeinen sind sie unterschiedlich.

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt VF W oder einfach VW , von zwei Vektorräume V und W ist eine der zentralen Begriffe der multilinearen Algebra die sich mit Begriffen wie erstreckenden linearen Abbildungen auf mehrere Variablen. Eine Abbildung g  : V × WX heißt bilinear, wenn g in beiden Variablen v und w linear ist . Das heißt, für die feste w der Karte vg ( v , w ) linear im Sinne oben und ebenfalls für Fest ist v .

Das Tensorprodukt ist ein bestimmter Vektorraum, der ein universeller Empfänger von bilinearen Abbildungen g ist , wie folgt. Es ist definiert als der Vektorraum, der aus endlichen (formalen) Summen von Symbolen besteht, die Tensoren genannt werden

v 1w 1 + v 2w 2 + ⋯ + v nw n ,

unterliegt den Regeln

a · ( vw ) = ( a · v ) ⊗ w = v ⊗ ( a · w ), wobei a ein Skalar ist,
( v 1 + v 2 ) ⊗ w = v 1w + v 2w , und
v ⊗ ( w 1 + w 2 ) = vw 1 + vw 2 .
Kommutatives Diagramm, das die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts darstellt.

Diese Regeln stellen sicher , dass die Karte f von der V × W zu VW , die eine Karten Tupel ( v , w ) bis vw bilinear ist. Die Universalität besagt, dass für jeden Vektorraum X und jede bilineare Abbildung g  : V × WX eine eindeutige Abbildung u existiert, im Diagramm mit einem gestrichelten Pfeil dargestellt, deren Zusammensetzung mit f gleich g : u ( vw ) = g ( v , w ) . Dies wird als universelle Eigenschaft des Tensorprodukts bezeichnet, einer Instanz der Methode, die in der fortgeschrittenen abstrakten Algebra häufig verwendet wird, um indirekt Objekte zu definieren, indem Abbildungen von oder zu diesem Objekt angegeben werden.

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur

Aus der Sicht der linearen Algebra sind Vektorräume vollständig verstanden, insofern jeder Vektorraum bis auf Isomorphie durch seine Dimension charakterisiert ist. Vektorräume bieten jedoch per se keinen Rahmen, um die für die Analyse entscheidende Frage zu behandeln, ob eine Folge von Funktionen gegen eine andere Funktion konvergiert . Ebenso ist die lineare Algebra nicht für unendliche Reihen geeignet , da die Additionsoperation nur die Addition von endlich vielen Termen erlaubt. Daher erfordern die Anforderungen der Funktionsanalyse die Berücksichtigung zusätzlicher Strukturen.

Einem Vektorraum kann eine Teilordnung gegeben werden , unter der einige Vektoren verglichen werden können. Zum Beispiel kann der n- dimensionale Realraum R n geordnet werden, indem seine Vektoren komponentenweise verglichen werden. Geordnete Vektorräume , zum Beispiel Riesz-Räume , sind grundlegend für die Lebesgue-Integration , die auf der Fähigkeit beruht, eine Funktion als Differenz zweier positiver Funktionen auszudrücken

,

wobei bezeichnet den positiven Teil von und den negativen Teil.

Normierte Vektorräume und innere Produkträume

Das "Messen" von Vektoren erfolgt durch Angabe einer Norm , eines Datums, das Längen von Vektoren misst, oder durch ein inneres Produkt , das Winkel zwischen Vektoren misst. Normen und innere Produkte bezeichnet werden und , jeweils. Das Datum eines inneren Produkts führt dazu, dass auch Längen von Vektoren definiert werden können, indem die zugehörige Norm definiert wird . Mit solchen Daten ausgestattete Vektorräume sind als normierte Vektorräume bzw. innere Produkträume bekannt .

Der Koordinatenraum F n kann mit dem Standard- Punktprodukt ausgestattet werden :

In R 2 spiegelt dies die übliche Vorstellung des Winkels zwischen zwei Vektoren x und y nach dem Kosinusgesetz wider :

Aus diesem Grund werden zwei erfüllende Vektoren als orthogonal bezeichnet . Eine wichtige Variante des Standard-Punktprodukts wird im Minkowski-Raum verwendet : R 4 dotiert mit dem Lorentz-Produkt

Im Gegensatz zum Standard-Punktprodukt ist es nicht positiv definit : nimmt auch negative Werte an, z. B. für . Das Herausgreifen der vierten Koordinate – die der Zeit entspricht , im Gegensatz zu drei Raumdimensionen – macht sie für die mathematische Behandlung der speziellen Relativitätstheorie nützlich .

Topologische Vektorräume

Konvergenzfragen werden behandelt, indem man Vektorräume V betrachtet, die eine kompatible Topologie tragen , eine Struktur, die es erlaubt, von nahe beieinander liegenden Elementen zu sprechen . Kompatibel bedeutet hier, dass Addition und Skalarmultiplikation kontinuierliche Abbildungen sein müssen . Grob gesagt, wenn x und y in V und a in F um einen begrenzten Betrag variieren, dann tun dies auch x + y und a x . Um den Betrag einer Skalaränderung sinnvoll angeben zu können, muss das Feld F in diesem Zusammenhang auch eine Topologie tragen; eine gängige Wahl sind die reellen oder die komplexen Zahlen.

In solchen topologischen Vektorräumen kann man eine Reihe von Vektoren betrachten. Die unendliche Summe

bezeichnet den Grenzwert der entsprechenden endlichen Teilsummen der Folge ( f i ) iN von Elementen von V . Zum Beispiel könnten die f i (reelle oder komplexe) Funktionen sein, die zu einem Funktionsraum V gehören , in welchem ​​Fall die Reihe eine Funktionsreihe ist . Der Konvergenzmodus der Reihe hängt von der dem Funktionsraum auferlegten Topologie ab. In solchen Fällen sind punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz zwei prominente Beispiele.

Einheitskugeln im R 2 bestehen aus ebenen Vektoren der Norm 1. Dargestellt sind die Einheitskugeln in verschiedenen p- Normen für p = 1, 2 und ∞. Die größere Raute zeigt Punkte von 1-Norm gleich 2.

Eine Möglichkeit, die Existenz von Grenzwerten bestimmter unendlicher Reihen sicherzustellen, besteht darin, die Aufmerksamkeit auf Räume zu beschränken, in denen jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat; ein solcher Vektorraum heißt vollständig . Ein Vektorraum ist grob gesagt vollständig, sofern er alle notwendigen Grenzwerte enthält. Zum Beispiel ist der Vektorraum von Polynomen auf dem Einheitsintervall [0,1], ausgestattet mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz, nicht vollständig, weil jede stetige Funktion auf [0,1] gleichmäßig durch eine Folge von Polynomen angenähert werden kann, durch die Näherungssatz von Weierstraß . Im Gegensatz dazu ist der Raum aller stetigen Funktionen auf [0,1] mit gleicher Topologie vollständig. Eine Norm führt zu einer Topologie, indem sie definiert, dass eine Folge von Vektoren v n genau dann gegen v konvergiert, wenn

Banach- und Hilberträume sind vollständige topologische Vektorräume, deren Topologien durch eine Norm bzw. ein inneres Produkt gegeben sind. Ihre Studie – ein Schlüsselstück der Funktionsanalyse – konzentriert sich auf unendlichdimensionale Vektorräume, da alle Normen auf endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen denselben Konvergenzbegriff erzeugen. Das Bild rechts zeigt die Äquivalenz der 1-Norm und ∞-Norm auf R 2 : Da die Einheit "Kugeln" sich umschließt, konvergiert eine Folge in einer Norm genau dann gegen Null, wenn dies auch in der anderen Norm der Fall ist . Im unendlich-dimensionalen Fall wird es jedoch im Allgemeinen inäquivalente Topologien geben, was das Studium topologischer Vektorräume reicher macht als das von Vektorräumen ohne zusätzliche Daten.

Aus konzeptioneller Sicht sollten alle Begriffe, die sich auf topologische Vektorräume beziehen, mit der Topologie übereinstimmen. Anstatt beispielsweise alle linearen Abbildungen (auch Funktionale genannt ) VW zu berücksichtigen , müssen Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen stetig sein. Insbesondere besteht der (topologische) Dualraum V aus stetigen Funktionalen VR (oder bis C ). Der grundlegende Satz von Hahn-Banach beschäftigt sich mit der Trennung von Unterräumen geeigneter topologischer Vektorräume durch stetige Funktionale.

Banach-Räume

Banachräume , eingeführt von Stefan Banach , sind vollständig normierte Vektorräume.

Ein erstes Beispiel ist der Vektorraum bestehend aus unendlichen Vektoren mit reellen Einträgen, deren -Norm gegeben durch

für    und   .

Die Topologien im unendlichdimensionalen Raum sind für verschiedene . Zum Beispiel konvergiert die Folge von Vektoren , in der die ersten Komponenten sind und die folgenden sind , gegen den Nullvektor für , aber nicht für :

, aber

Allgemeiner als Folgen reeller Zahlen sind Funktionen mit einer Norm ausgestattet, die die obige Summe durch das Lebesgue-Integral ersetzt

Der Raum integrierbarer Funktionen auf einem gegebenen Gebiet (zB einem Intervall) , der diese Norm erfüllt und mit dieser Norm ausgestattet ist, nennt man Lebesgue-Räume , bezeichnet mit .

Diese Räume sind vollständig. (Wenn man stattdessen das Riemann-Integral verwendet, ist der Raum nicht vollständig, was als Rechtfertigung für die Integrationstheorie von Lebesgue angesehen werden kann.) Konkret bedeutet dies, dass für jede Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen      mit die Bedingung

gibt es eine Funktion , um den Vektorraum gehört , derart , dass

Das Auferlegen von Beschränktheitsbedingungen nicht nur an die Funktion, sondern auch an ihre Ableitungen führt zu Sobolev-Räumen .

Hilbert-Räume

Die folgenden Schnappschüsse zeigen die Summation von 1 bis 5 Termen bei der Approximation einer periodischen Funktion (blau) durch eine endliche Summe von Sinusfunktionen (rot).

Vollständige innere Produkträume werden zu Ehren von David Hilbert als Hilbert-Räume bezeichnet . Der Hilbertraum L 2 (Ω), mit innerem Produkt gegeben durch

wobei die komplex Konjugierte von g ( x ) bezeichnet, ist ein Schlüsselfall.

Per Definition konvergiert in einem Hilbertraum jede Cauchy-Folge gegen einen Grenzwert. Umgekehrt ist es ebenso entscheidend , eine Folge von Funktionen f n mit wünschenswerten Eigenschaften zu finden, die sich einer gegebenen Grenzfunktion annähert. Frühe Analysen unter dem Deckmantel der Taylor-Approximation etablierten eine Approximation von differenzierbaren Funktionen f durch Polynome. Nach dem Satz von Stone-Weierstrass kann jede stetige Funktion auf [ a , b ] beliebig durch ein Polynom angenähert werden. Eine ähnliche Näherungstechnik durch trigonometrische Funktionen wird allgemein als Fourier- Entwicklung bezeichnet und wird häufig in der Technik angewendet, siehe unten . Allgemeiner und konzeptioneller liefert der Satz eine einfache Beschreibung dessen, welche "Grundfunktionen" oder, in abstrakten Hilberträumen, welche Basisvektoren ausreichen, um einen Hilbertraum H zu erzeugen , in dem Sinne, dass der Abschluss ihrer Spanne (d. h. , endliche Linearkombinationen und deren Grenzen) ist der gesamte Raum. Eine solche Menge von Funktionen wird Basis von H genannt , ihre Kardinalität ist als Hilbert-Raumdimension bekannt . Das Theorem weist nicht nur geeignete Basisfunktionen als hinreichend für Näherungszwecke auf, sondern ermöglicht zusammen mit dem Gram-Schmidt-Prozess auch die Konstruktion einer Basis orthogonaler Vektoren . Solche orthogonalen Basen sind die Hilbert-Raum-Verallgemeinerung der Koordinatenachsen im endlichdimensionalen euklidischen Raum .

Die Lösungen verschiedener Differentialgleichungen können als Hilberträume interpretiert werden. Beispielsweise führen sehr viele Gebiete der Physik und der Ingenieurwissenschaften zu solchen Gleichungen und häufig werden Lösungen mit bestimmten physikalischen Eigenschaften als Basisfunktionen verwendet, oft orthogonal. Als Beispiel aus der Physik beschreibt die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in der Quantenmechanik die zeitliche Änderung physikalischer Eigenschaften mittels einer partiellen Differentialgleichung , deren Lösungen Wellenfunktionen genannt werden . Bestimmte Werte für physikalische Eigenschaften wie Energie oder Impuls entsprechen Eigenwerten eines bestimmten (linearen) Differentialoperators und die zugehörigen Wellenfunktionen werden Eigenzustände genannt . Der Spektralsatz zerlegt einen linearen kompakten Operator , der auf Funktionen wirkt, in Bezug auf diese Eigenfunktionen und ihre Eigenwerte.

Algebren über Feldern

Eine Hyperbel , gegeben durch die Gleichung xy = 1 . Der Koordinatenring der Funktionen auf dieser Hyperbel ist gegeben durch R [ x , y ] / ( x · y − 1) , ein unendlichdimensionaler Vektorraum über R .

Allgemeine Vektorräume besitzen keine Multiplikation zwischen Vektoren. Ein Vektorraum, der mit einem zusätzlichen bilinearen Operator ausgestattet ist , der die Multiplikation zweier Vektoren definiert, ist eine Algebra über einem Körper . Viele Algebren stammen von Funktionen eines geometrischen Objekts: Da Funktionen mit Werten in einem gegebenen Körper punktweise multipliziert werden können, bilden diese Einheiten Algebren. Der Satz von Stone-Weierstrass beispielsweise beruht auf Banach-Algebren, die sowohl Banach-Räume als auch Algebren sind.

Die kommutative Algebra macht großen Gebrauch von Ringen von Polynomen in einer oder mehreren Variablen, die oben eingeführt wurden . Ihre Multiplikation ist sowohl kommutativ als auch assoziativ . Diese Ringe und ihre Quotienten bilden die Grundlage der algebraischen Geometrie , da sie Ringe von Funktionen algebraischer geometrischer Objekte sind .

Ein weiteres entscheidendes Beispiel sind Lie-Algebren , die weder kommutativ noch assoziativ sind, aber das Versäumnis wird durch die Randbedingungen begrenzt ( [ x , y ] bezeichnet das Produkt von x und y ):

Beispiele sind der Vektorraum von n- mal- n- Matrizen mit [ x , y ] = xyyx , dem Kommutator zweier Matrizen, und R 3 , ausgestattet mit dem Kreuzprodukt .

Die Tensoralgebra T( V ) ist eine formale Methode zum Addieren von Produkten zu einem beliebigen Vektorraum V , um eine Algebra zu erhalten. Als Vektorraum wird er von Symbolen aufgespannt, den sogenannten einfachen Tensoren

v 1v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v n , wobei der Grad n variiert.

Die Multiplikation wird durch die Verkettung solcher Symbole gegeben, die imposante Distributivgesetzes unter hinaus und erfordern , dass die Skalarmultiplikation Arbeitsweg mit dem Tensorprodukt ⊗, viel die gleiche Weise wie mit dem Tensorprodukt von zwei Vektorräume eingeführt oben . Im Allgemeinen gibt es keine Beziehungen zwischen v 1v 2 und v 2v 1 . Das Erzwingen der Gleichheit zweier solcher Elemente führt zur symmetrischen Algebra , während das Erzwingen von v 1v 2 = − v 2v 1 die äußere Algebra ergibt .

Wenn ein Körper, F explizit angegeben wird, ist ein gebräuchlicher Begriff F- Algebra.

Anwendungen

Vektorräume haben viele Anwendungen, da sie unter allgemeinen Umständen häufig vorkommen, nämlich überall dort, wo Funktionen mit Werten in einem bestimmten Feld beteiligt sind. Sie bieten einen Rahmen für den Umgang mit analytischen und geometrischen Problemen oder werden in der Fourier-Transformation verwendet. Diese Liste ist nicht vollständig: Es gibt noch viele weitere Anwendungen, zum Beispiel in der Optimierung . Das Minimax-Theorem der Spieltheorie , das die Existenz einer einzigartigen Auszahlung angibt, wenn alle Spieler optimal spielen, kann mit Vektorraummethoden formuliert und bewiesen werden. Die Darstellungstheorie überträgt das gute Verständnis der linearen Algebra und der Vektorräume erfolgreich auf andere mathematische Gebiete wie die Gruppentheorie .

Ausschüttungen

Eine Verteilung (oder verallgemeinerte Funktion ) ist eine lineare Abbildung, die jeder "Test"-Funktion , typischerweise einer glatten Funktion mit kompakter Unterstützung , auf kontinuierliche Weise eine Zahl zuweist : In der obigen Terminologie ist der Raum der Verteilungen das (stetige) Dual der Funktionsraum testen. Letzterer Raum ist mit einer Topologie ausgestattet, die nicht nur f selbst, sondern auch alle seine höheren Ableitungen berücksichtigt . Ein Standardbeispiel ist das Ergebnis der Integration einer Testfunktion f über ein Gebiet Ω:

Wenn Ω = { p } , die Menge von einem einzigen Punkt aus, reduziert sich dies auf die Verteilung Dirac , indem bezeichnet δ , die Associates einer Testfunktion f seinen Wert bei der p : δ ( f ) = f ( p ) . Verteilungen sind ein mächtiges Instrument, um Differentialgleichungen zu lösen. Da alle analytischen Standardbegriffe wie Ableitungen linear sind, erstrecken sie sich natürlich auf den Verteilungsraum. Daher kann die betreffende Gleichung auf einen Verteilungsraum übertragen werden, der größer ist als der zugrunde liegende Funktionsraum, so dass flexiblere Methoden zur Lösung der Gleichung zur Verfügung stehen. Zum Beispiel sind Greensche Funktionen und Fundamentallösungen normalerweise eher Verteilungen als echte Funktionen und können dann verwendet werden, um Lösungen der Gleichung mit vorgeschriebenen Randbedingungen zu finden. Die gefundene Lösung kann dann in einigen Fällen nachgewiesen werden , tatsächlich eine wahre Funktion, und eine Lösung , in der ursprünglichen Gleichung sein (beispielsweise die Verwendung von Lax-Milgram Theorem , eine Folge des Riesz- Darstellungssatzes ).

Fourier-Analyse

Die Wärmegleichung beschreibt die zeitliche Ableitung physikalischer Eigenschaften, wie z. B. den Temperaturabfall eines heißen Körpers, der sich in einer kälteren Umgebung befindet (gelb steht für kältere Regionen als rot).

Das Auflösen einer periodischen Funktion in eine Summe trigonometrischer Funktionen bildet eine Fourier-Reihe , eine Technik, die häufig in Physik und Ingenieurwesen verwendet wird. Der zugrundeliegende Vektorraum ist üblicherweise der Hilbertraum L 2 (0, 2π), für den die Funktionen sin( mx ) und cos( mx ) (wobei m eine ganze Zahl ist) eine orthogonale Basis bilden. Die Fourierentwicklung einer L 2 -Funktion f ist

Die Koeffizienten a m und b m heißen Fourier-Koeffizienten von f und werden nach den Formeln berechnet

,

Physikalisch wird die Funktion als Überlagerung von Sinuswellen dargestellt und die Koeffizienten geben Auskunft über das Frequenzspektrum der Funktion . Häufig wird auch eine komplexe Zahlenform der Fourier-Reihe verwendet. Die obigen konkreten Formeln sind Folgen einer allgemeineren mathematischen Dualität, die Pontryagin-Dualität genannt wird . Auf die Gruppe R angewendet , ergibt sich die klassische Fourier-Transformation; Eine Anwendung in der Physik sind reziproke Gitter , bei denen die zugrunde liegende Gruppe ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist, der mit dem zusätzlichen Datum eines Gitters ausgestattet ist, das die Positionen von Atomen in Kristallen codiert .

Fourierreihen werden verwendet, um Randwertprobleme in partiellen Differentialgleichungen zu lösen . Im Jahr 1822 verwendete Fourier diese Technik zum ersten Mal, um die Wärmegleichung zu lösen . Eine diskrete Version der Fourier-Reihe kann in Abtastanwendungen verwendet werden, bei denen der Funktionswert nur an einer endlichen Anzahl gleich beabstandeter Punkte bekannt ist. In diesem Fall ist die Fourier-Reihe endlich und ihr Wert ist an allen Punkten gleich den abgetasteten Werten. Der Koeffizientensatz ist als diskrete Fourier-Transformation (DFT) der gegebenen Abtastsequenz bekannt. Die DFT ist eines der Schlüsselwerkzeuge der digitalen Signalverarbeitung , ein Gebiet, dessen Anwendungen Radar , Sprachkodierung und Bildkompression umfassen . Das JPEG -Bildformat ist eine Anwendung der eng verwandten diskreten Kosinustransformation .

Die schnelle Fourier-Transformation ist ein Algorithmus zum schnellen Berechnen der diskreten Fourier-Transformation. Es wird nicht nur zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten verwendet, sondern unter Verwendung des Faltungstheorems auch zur Berechnung der Faltung zweier endlicher Folgen. Sie wiederum werden in digitalen Filtern und als schneller Multiplikationsalgorithmus für Polynome und große ganze Zahlen ( Schönhage-Strassen-Algorithmus ) verwendet.

Differentialgeometrie

Der Tangentialraum an die 2-Sphäre an einem bestimmten Punkt ist die unendliche Ebene, die die Kugel in diesem Punkt berührt.

Die Tangentialebene an eine Fläche in einem Punkt ist natürlich ein Vektorraum, dessen Ursprung mit dem Berührungspunkt identifiziert wird. Die Tangentialebene ist die beste lineare Annäherung oder Linearisierung einer Fläche an einem Punkt. Selbst in einem dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es normalerweise keinen natürlichen Weg, eine Basis der Tangentialebene vorzuschreiben, und so wird sie eher als abstrakter Vektorraum denn als realer Koordinatenraum aufgefasst. Der Tangentialraum ist die Verallgemeinerung auf höherdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten .

Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten, deren Tangentialräume mit einem geeigneten inneren Produkt ausgestattet sind . Daraus abgeleitet, kodiert der Riemann-Krümmungstensor alle Krümmungen einer Mannigfaltigkeit in einem Objekt, was beispielsweise in der Allgemeinen Relativitätstheorie Anwendung findet , wo der Einstein-Krümmungstensor den Materie- und Energieinhalt der Raumzeit beschreibt . Dem Tangensraum einer Lie-Gruppe kann natürlich die Struktur einer Lie-Algebra gegeben und zur Klassifizierung kompakter Lie-Gruppen verwendet werden .

Verallgemeinerungen

Vektorpakete

Ein Möbius-Streifen. Lokal sieht es wie U × R aus .

Ein Vektorbündel ist eine Familie von Vektorräumen, die durch einen topologischen Raum X stetig parametrisiert sind . Genauer gesagt ist ein Vektorbündel über X ein topologischer Raum E mit einer stetigen Abbildung

: EX

so dass für jedes x in X die Faser π −1 ( x ) ein Vektorraum ist. Der Fall dim V = 1 wird als Linienbündel bezeichnet . Für jeden Vektorraum V macht die Projektion X × VX das Produkt X × V zu einem "trivialen" Vektorbündel . Vektorbündel über X müssen lokal ein Produkt von X und einem (festen) Vektorraum V sein : für jedes x in X gibt es eine Umgebung U von x, so dass die Beschränkung von π auf π −1 ( U ) isomorph ist zum trivialen Bündel U × VU . Trotz ihres lokal trivialen Charakters können Vektorbündel (je nach Form des zugrunde liegenden Raums X ) ins Große "gedreht" werden (d. h. das Bündel muss nicht (global isomorph zu) dem trivialen Bündel X × V sein ). Beispielsweise kann der Möbiusstreifen als Linienbündel über dem Kreis S 1 gesehen werden (indem offene Intervalle mit der realen Linie identifiziert werden ). Er unterscheidet sich jedoch vom Zylinder S 1 × R , da letzterer orientierbar ist, ersterer jedoch nicht.

Eigenschaften bestimmter Vektorbündel geben Aufschluss über den zugrundeliegenden topologischen Raum. Zum Beispiel besteht das Tangentenbündel aus der Sammlung von Tangentialräumen, die durch die Punkte einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit parametrisiert sind. Das Tangentenbündel des Kreises S 1 ist global isomorph zu S 1 × R , da auf S 1 ein globales Vektorfeld ungleich Null existiert . Im Gegensatz dazu gibt es nach dem Hairy-Ball-Theorem kein (tangentiales) Vektorfeld auf der 2-Sphäre S 2 , das überall von Null verschieden ist. Die K-Theorie untersucht die Isomorphismusklassen aller Vektorbündel über einem topologischen Raum. Sie hat neben der Vertiefung topologischer und geometrischer Einsichten auch rein algebraische Konsequenzen, wie die Klassifikation endlichdimensionaler reeller Divisionsalgebren : R , C , die Quaternionen H und die Oktonionen O .

Das Kotangensbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit besteht an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit aus dem Dual des Tangentialraums, dem Kotangentialraum . Abschnitte dieses Bündels werden als differentielle Eins-Formen bezeichnet .

Module

Module sind für Ringe, was Vektorräume für Felder sind: Dieselben Axiome, auf einen Ring R statt auf einen Körper F angewendet , ergeben Module. Die Modultheorie wird im Vergleich zur Vektorraumtheorie durch das Vorhandensein von Ringelementen kompliziert, die keine multiplikativen Inversen haben . Zum Beispiel müssen Module keine Basen haben, wie der Z- Modul (d. h. die abelsche Gruppe ) Z /2 Z zeigt; diese Module (einschließlich aller Vektorräume) werden als freie Module bezeichnet . Trotzdem kann ein Vektorraum kompakt als Modul über einem Ring definiert werden, der ein Körper ist , wobei die Elemente Vektoren genannt werden. Einige Autoren verwenden den Begriff Vektorraum , um Module über einem Teilungsring zu bezeichnen . Die algebro-geometrische Interpretation kommutativer Ringe über ihr Spektrum ermöglicht die Entwicklung von Konzepten wie lokal freien Modulen , dem algebraischen Gegenstück zu Vektorbündeln.

Affine und projektive Räume

Eine affine Ebene (hellblau) in R 3 . Es ist ein zweidimensionaler Unterraum, der um einen Vektor x (rot) verschoben ist .

Grob gesagt sind affine Räume Vektorräume, deren Ursprünge nicht angegeben sind. Ein affiner Raum Genauer gesagt, ist ein Satz mit einer freien transitiven Vektorraum Aktion . Insbesondere ist ein Vektorraum ein affiner Raum über sich selbst, nach der Abbildung

V × VV , ( v , a ) a + v .

Wenn W ein Vektorraum ist, dann ist ein affiner Unterraum eine Untermenge von W, die durch Verschieben eines linearen Unterraums V durch einen festen Vektor xW erhalten wird ; dieser Raum wird mit x + V bezeichnet (er ist eine Nebenmenge von V in W ) und besteht aus allen Vektoren der Form x + v für vV . Ein wichtiges Beispiel ist der Lösungsraum eines Systems inhomogener linearer Gleichungen

A x = b

Verallgemeinerung des obigen homogenen Falls , der durch Setzen von b = 0 in dieser Gleichung gefunden werden kann. Der Lösungsraum ist der affine Unterraum x + V, wobei x eine bestimmte Lösung der Gleichung ist und V der Lösungsraum der homogenen Gleichung (der Nullraum von A ) ist.

Die Menge der eindimensionalen Unterräume eines festen endlichdimensionalen Vektorraums V wird als projektiver Raum bezeichnet ; es kann verwendet werden, um die Idee von parallelen Linien zu formalisieren, die sich im Unendlichen schneiden. Grassmannianer und Flag-Mannigfaltigkeiten verallgemeinern dies, indem sie lineare Unterräume mit fester Dimension k bzw. Flags von Unterräumen parametrisieren .

Siehe auch

Anmerkungen

Zitate

Verweise

Algebra

Analyse

Historische Referenzen

Weitere Referenzen

Externe Links