Von Neumann–Bernays–Gödel Mengenlehre - Von Neumann–Bernays–Gödel set theory

In den Grundlagen der Mathematik ist die von Neumann-Bernays-Gödel-Mengentheorie ( NBG ) eine axiomatische Mengentheorie , die eine konservative Erweiterung der Zermelo-Fraenkel-Choice-Mengentheorie (ZFC) darstellt. NBG führt den Begriff der Klasse ein , der eine Sammlung von Mengen ist, die durch eine Formel definiert sind, deren Quantoren nur über Mengen reichen. NBG kann Klassen definieren, die größer als Mengen sind, z. B. die Klasse aller Mengen und die Klasse aller Ordinalzahlen . Die Morse-Kelley-Mengentheorie (MK) ermöglicht die Definition von Klassen durch Formeln, deren Quantoren über Klassen reichen. NBG ist endlich axiomatisierbar, während ZFC und MK es nicht sind.

Ein Schlüsselsatz von NBG ist der Klassenexistenzsatz, der besagt, dass es für jede Formel, deren Quantoren nur über Mengen reichen, eine Klasse gibt, die aus den Mengen besteht, die die Formel erfüllen. Diese Klasse wird erstellt, indem die schrittweise Konstruktion der Formel mit Klassen gespiegelt wird. Da alle mengentheoretischen Formeln aus zwei Arten von atomaren Formeln ( Zugehörigkeit und Gleichheit ) und endlich vielen logischen Symbolen aufgebaut sind , werden nur endlich viele Axiome benötigt, um die Klassen zu bilden, die sie erfüllen. Deshalb ist NBG endlich axiomatisierbar. Klassen werden auch für andere Konstruktionen verwendet, um die mengentheoretischen Paradoxien zu handhaben und um das Axiom der globalen Auswahl anzugeben , das stärker ist als das Auswahlaxiom von ZFC .

John von Neumann führte 1925 Klassen in die Mengenlehre ein. Die primitiven Begriffe seiner Theorie waren Funktion und Argument . Mit diesen Begriffen definierte er Klasse und Menge. Paul Bernays formulierte von Neumanns Theorie neu, indem er Klasse und Menge als primitive Begriffe aufnahm. Kurt Gödel vereinfachte Bernays' Theorie für seinen relativen Konsistenzbeweis des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese .

Klassen in Mengenlehre

Die Verwendung von Klassen

Klassen haben mehrere Verwendungszwecke in NBG:

• Sie erzeugen eine endliche Axiomatisierung der Mengenlehre.
• Sie werden verwendet, um eine "sehr starke Form des Auswahlaxioms " anzugeben - nämlich das Axiom der globalen Auswahl : Es existiert eine globale Auswahlfunktion, die auf der Klasse aller nichtleeren Mengen definiert ist, so dass für jede nichtleere Menge Dies ist stärker als die von ZFC Auswahlaxiom: Für jede Menge nichtleerer Mengen existiert eine Auswahlfunktion, die so definiert ist , dass für alle${\displaystyle G}$${\displaystyle G(x)\in x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f(x)\inx}$${\displaystyle x\in s.}$
• Die mengentheoretischen Paradoxien werden behandelt, indem erkannt wird, dass einige Klassen keine Mengen sein können. Angenommen, die Klasse aller Ordinalzahlen ist eine Menge. Dann ist eine transitive Menge wohlgeordnet nach . Also ist per Definition eine Ordinalzahl. Daher ist , was einer Wohlordnung von Also widerspricht , keine Menge. Da eine Klasse, die keine Menge ist, eine echte Klasse genannt wird , ist sie eine echte Klasse.${\displaystyle Ord}$${\displaystyle Ord}$${\displaystyle\in}$${\displaystyle Ord}$${\displaystyle Ord\in Ord}$${\displaystyle\in}$${\displaystyle Ord.}$${\displaystyle Ord}$${\displaystyle Ord}$
• Eigene Klassen sind in Konstruktionen nützlich. In seinem Beweis der relativen Konsistenz des Axioms der globalen Auswahl und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese verwendete Gödel geeignete Klassen, um das konstruierbare Universum zu bauen . Er konstruierte eine Funktion für die Klasse aller Ordinalzahlen, die für jede Ordinalzahl eine konstruierbare Menge bildet, indem er eine Mengenbildungsoperation auf zuvor konstruierte Mengen anwendet. Das konstruierbare Universum ist das Abbild dieser Funktion.

Axiom-Schema versus Klassenexistenz-Theorem

Sobald der Sprache von ZFC Klassen hinzugefügt wurden, ist es einfach, ZFC mit Klassen in eine Mengentheorie umzuwandeln. Zuerst wird das Axiomenschema des Klassenverständnisses hinzugefügt. Dieses Axiom Schema lautet: Für jede Formel , dass quantifiziert nur über Sätze, eine Klasse besteht aus dem - Tupel erfüllt die Formel-das ist dann das Axiom Schema des Ersatzes durch ein ersetzt einziges Axiom , dass Anwendungen eine Klasse. Schließlich wird das Extensionalitätsaxiom von ZFC modifiziert, um Klassen zu behandeln: Wenn zwei Klassen die gleichen Elemente haben, sind sie identisch. Die anderen Axiome von ZFC werden nicht modifiziert. ${\displaystyle \phi(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots,x_{n})\in A\iff\phi(x_{1},\ldots, x_{n})].}$

Diese Theorie ist nicht endlich axiomatisiert. Das Ersetzungsschema von ZFC wurde durch ein einzelnes Axiom ersetzt, aber das Axiomschema des Klassenverständnisses wurde eingeführt.

Um eine Theorie mit endlich vielen Axiomen zu erstellen, wird zunächst das Axiomenschema des Klassenverständnisses durch endlich viele Klassenexistenz-Axiome ersetzt . Dann werden diese Axiome verwendet, um den Klassenexistenzsatz zu beweisen, der jede Instanz des Axiomenschemas impliziert. Der Beweis dieses Satzes erfordert nur sieben Klassenexistenz-Axiome, die verwendet werden, um die Konstruktion einer Formel in die Konstruktion einer die Formel erfüllenden Klasse umzuwandeln.

Axiomatisierung von NBG

Klassen und Sets

NBG hat zwei Arten von Objekten: Klassen und Mengen. Intuitiv ist jedes Set auch eine Klasse. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu axiomatisieren. Bernays verwendete vielsortierte Logik mit zwei Arten: Klassen und Mengen. Gödel vermied Sortierungen, indem er primitive Prädikate einführte: für „ ist eine Klasse“ und für „ ist eine Menge“ (auf Deutsch ist „Menge“ Menge ). Er führte auch Axiome ein, die besagen, dass jede Menge eine Klasse ist und dass, wenn eine Klasse ein Mitglied einer Klasse ist, eine Menge ist. Die Verwendung von Prädikaten ist die Standardmethode, um Sortierungen zu eliminieren. Elliott Mendelson modifizierte Gödels Ansatz, indem er alles zu einer Klasse machte und das Mengenprädikat als definierte. Diese Modifikation eliminiert Gödels Klassenprädikat und seine beiden Axiome. ${\displaystyle {\mathfrak{Cls}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak{M}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

Bernays' zweigeteilter Ansatz mag auf den ersten Blick natürlicher erscheinen, schafft aber eine komplexere Theorie. In Bernays Theorie hat jede Menge zwei Darstellungen: eine als Menge und die andere als Klasse. Außerdem gibt es zwei Zugehörigkeitsbeziehungen : die erste, mit "∈" bezeichnet, befindet sich zwischen zwei Mengen; die zweite, mit "η" bezeichnet, liegt zwischen einer Menge und einer Klasse. Diese Redundanz wird von der vielsortierten Logik benötigt, da sich Variablen unterschiedlicher Art über disjunkte Unterdomänen des Diskursbereichs erstrecken .

Die Unterschiede zwischen diesen beiden Ansätzen haben keinen Einfluss darauf, was bewiesen werden kann, aber sie beeinflussen, wie Aussagen geschrieben werden. In Gödels Ansatz ist where und are Klassen eine gültige Aussage. Im Ansatz von Bernays hat diese Aussage keine Bedeutung. Wenn jedoch ist ein Satz, ist es eine entsprechende Anweisung: Definieren Sie „Set repräsentiert Klasse “ , wenn sie die gleichen Sätze wie für Mitglieder , die haben ist, die Aussage in dem Satz - Klasse repräsentiert entspricht Gödels${\displaystyle A\in C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta\;A).}$${\displaystyle a\;\eta\;C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\in C.}$

Der in diesem Artikel gewählte Ansatz ist der von Gödel mit Mendelsons Modifikation. Dies bedeutet, dass NBG ein axiomatisches System in der Prädikatenlogik erster Ordnung mit Gleichheit ist und seine einzigen primitiven Begriffe die Klasse und die Zugehörigkeitsrelation sind.

Definitionen und Axiome von Extensionalität und Paarung

Eine Menge ist eine Klasse, die zu mindestens einer Klasse gehört: ist genau dann eine Menge, wenn . Eine Klasse, die keine Menge ist, wird als echte Klasse bezeichnet: ist genau dann eine echte Klasse, wenn . Daher ist jede Klasse entweder eine Menge oder eine echte Klasse, und keine Klasse ist beides (wenn die Theorie konsistent ist ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle \exists C(A\in C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Gödel führte die Konvention ein, dass sich Großbuchstaben über Klassen erstrecken, während Kleinbuchstaben sich über Mengen erstrecken. Gödel verwendete auch Namen, die mit einem Großbuchstaben beginnen, um bestimmte Klassen zu bezeichnen, einschließlich Funktionen und Beziehungen, die für die Klasse aller Mengen definiert sind. In diesem Artikel wird Gödels Konvention verwendet. Es erlaubt uns zu schreiben:

Die folgenden Axiome und Definitionen werden für den Beweis des Klassenexistenzsatzes benötigt.

Axiom der Extensionalität.  Wenn zwei Klassen die gleichen Elemente haben, sind sie identisch.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ 

Dieses Axiom verallgemeinert das Extensionalitätsaxiom von ZFC auf Klassen.

Axiom der Paarung .  WennundMengen sind, dann gibt es eine Menge,deren einzige Mitgliederund sind. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor\,z=y)]}$ 

Wie in ZFC impliziert das Extensionalitätsaxiom die Eindeutigkeit der Menge , was uns erlaubt, die Notation einzuführen${\displaystyle p}$${\displaystyle \{x,y\}.}$

Geordnete Paare werden definiert durch:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Tupel werden induktiv über geordnete Paare definiert:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{Für }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{ n-1}),x_{n}).}$

Axiome der Klassenexistenz und Axiom der Regularität

Klassenexistenz-Axiome werden verwendet, um das Klassenexistenz-Theorem zu beweisen: Für jede Formel in Variablen freier Mengen, die nur über Mengen quantifiziert, gibt es eine Klasse von -Tupeln , die sie erfüllen. Das folgende Beispiel beginnt mit zwei Klassen, die Funktionen sind, und erstellt eine zusammengesetzte Funktion . Dieses Beispiel veranschaulicht die Techniken, die benötigt werden, um das Klassenexistenztheorem zu beweisen, das zu den benötigten Klassenexistenz-Axiomen führt. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Beispiel 1:  Wenn die Klassen und Funktionen sind, dann wird die zusammengesetzte Funktion durch die Formel definiert: Da diese Formel zwei freie Mengenvariablen hat und der Klassenexistenzsatz die Klasse der geordneten Paare konstruiert:${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\circ F}$${\displaystyle \exists t[(x,t)\in F\,\land\,(t,y)\in G].}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle G\circ F\,=\,\{(x,y):\exists t[(x,t)\in F\,\land\,(t,y)\in G]\}. }$ Da diese Formel aus einfacheren Formeln gebaut wird mit Verbindung und existentielle Quantifizierung , Klasse Operationen nötig sind , um das nehmen Klassen , die die einfacheren Formeln und produzieren Klassen , die die Formeln mit und . Um eine Klasse zu erzeugen, die eine Formel mit repräsentiert , wird Schnitt verwendet seit Um eine Klasse zu erzeugen, die eine Formel mit repräsentiert , wird die Domäne verwendet seit${\displaystyle \land}$ ${\displaystyle \exists}$${\displaystyle \land}$${\displaystyle \exists}$${\displaystyle \land}$${\displaystyle x\in A\cap B\iff x\in A\land x\in B.}$${\displaystyle \exists}$${\displaystyle x\in Dom(A)\iff \exists t[(x,t)\in A].}$ Vor der Kreuzung nehmen, die Tupel in und benötigt eine zusätzliche Komponente , so dass sie die gleichen Variablen haben. Die Komponente wird den Tupeln von hinzugefügt und wird den Tupeln von hinzugefügt : ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'=\{(x,t,y):(x,t)\in F\}\,}$ und ${\displaystyle \,G'=\{(t,y,x):(t,y)\in G\}}$ Bei der Definition der Variablen ist die Anweisung nicht eingeschränkt, also reicht die Klasse über alle Mengen. In ähnlicher Weise wird bei der Definition der Variablenbereiche über So ein Axiom benötigt, das den Tupeln einer gegebenen Klasse eine zusätzliche Komponente hinzufügt (deren Werte über ) liegen. ${\displaystyle F',}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,t)\in F,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G',}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V}$ Als nächstes werden die Variablen in die gleiche Reihenfolge gebracht, um die Kreuzung vorzubereiten: ${\displaystyle F''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\}\,}$ und ${\displaystyle \,G''=\{(x,y,t):(t,y)\in G\}}$ Um von nach und von nach zu gehen , sind zwei verschiedene Permutationen erforderlich , daher werden Axiome benötigt, die Permutationen von Tupelkomponenten unterstützen. ${\displaystyle F'}$${\displaystyle F''}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G''}$ Der Schnittpunkt von und behandelt : ${\displaystyle F''}$${\displaystyle G''}$${\displaystyle \land}$ ${\displaystyle F''\cap G''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\,\land\,(y,t)\in G\}}$ Da ist definiert als , nimmt die Domäne der Handles und erzeugt die zusammengesetzte Funktion: ${\displaystyle (x,y,t)}$${\displaystyle ((x,y),t)}$${\displaystyle F''\cap G''}$${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle G\circ F=Dom(F''\cap G'')=\{(x,y):\exists t((x,t)\in F\,\land \,(t,y )\in G)\}}$ Es werden also Schnitt- und Domänenaxiome benötigt.

Die Axiome der Klassenexistenz werden in zwei Gruppen unterteilt: Axiome, die Sprachprimitive behandeln, und Axiome, die Tupel behandeln. Es gibt vier Axiome in der ersten Gruppe und drei Axiome in der zweiten Gruppe.

Axiome für den Umgang mit Sprachprimitiven:

Mitgliedschaft.  Es existiert eine Klasse, die alle geordneten Paare enthält, deren erste Komponente ein Mitglied der zweiten Komponente ist. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ 

Kreuzung (Konjunktion).  Für zwei beliebige Klassen und gibt es eine Klasse, die genau aus den Mengen besteht, die zu beiden und gehören . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ 

Komplement (Negation).  Für jede Klassegibt es eine Klasse,die genau aus den Mengen besteht, die nicht zu gehören. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ 

Domain (existenzieller Quantor).  Für jede Klasse gibt es eine Klasse, die genau aus den ersten Komponenten der geordneten Paare von besteht . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ 

Nach dem Extensionalitätsaxiom sind Klasse im Schnittaxiom und Klasse im Komplement- und Domänenaxiom eindeutig. Sie werden bezeichnet mit: und jeweils. Andererseits ist Extensionalität im Zugehörigkeitsaxiom nicht anwendbar, da es nur die Mengen angibt, in denen es sich um geordnete Paare handelt. ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$${\displaystyle Dom(A),}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Die ersten drei Axiome implizieren die Existenz der leeren Klasse und der Klasse aller Mengen: Das Zugehörigkeitsaxiom impliziert die Existenz einer Klasse Die Schnitt- und Komplementaxiome implizieren die Existenz von , die leer ist. Nach dem Extensionalitätsaxiom ist diese Klasse eindeutig; es wird bezeichnet mit Das Komplement von ist die Klasse aller Mengen, die auch durch Extensionalität eindeutig ist. Das Mengenprädikat , das als definiert wurde , wird jetzt neu definiert , um eine Quantifizierung über Klassen zu vermeiden. ${\displaystyle E.}$${\displaystyle E\cap \complement E}$${\displaystyle \emptyset .}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle \exists C(A\in C)}$${\displaystyle A\in V}$

Axiome für den Umgang mit Tupeln:

Produkt von . ${\displaystyle V}$ Für jede Klassegibt es eine Klasse,die aus den geordneten Paaren besteht, zu deren erste Komponente gehört. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A) ]}$

Kreisförmige Permutation .  Für jede Klassegibt es eine Klasse,deren 3-Tupel durch Anwenden der kreisförmigen Permutationauf die 3-Tupel von erhalten werden. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in EIN]}$

Umsetzung .  Für jede Klassegibt es eine Klasse,deren 3-Tupel durch Transponieren der letzten beiden Komponenten der 3-Tupel von erhalten werden. ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in EIN]}$

Durch Extensionalität, das Produkt durch Axiom der Existenz einer einzigartigen Klasse impliziert, die durch bezeichnet wird dieses Axiom verwendet wird , um die Klasse zu definieren alle -Tupeln : und wenn es eine Klasse, impliziert Extensionalität , dass die einzigartige Klasse , bestehend aus den -Tupeln von Zum Beispiel erzeugt das Mitgliedschaftsaxiom eine Klasse , die Elemente enthalten kann, die keine geordneten Paare sind, während der Schnittpunkt nur die geordneten Paare von enthält . ${\displaystyle V}$${\displaystyle A\times V.}$${\displaystyle V^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V^{1}=V}$${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cap V^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\cap V^{2}}$${\displaystyle E}$

Die kreisförmige Permutation und Umsetzungs Axiome bedeuten nicht , die Existenz verschiedener Klassen , weil sie nur das 3-Tupel der Klasse angeben , die 3-Tupel Durch die Angabe, diese Axiome spezifizieren auch die -Tupeln für da: die Axiome für Tupel und die Domäne Axiom Umgang implizieren das folgende Lemma, das im Beweis des Klassenexistenzsatzes verwendet wird. ${\displaystyle B.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots,x_{n-2}), x_{n-1},x_{n}).}$

Tupel-Lemma.

1. ${\displaystyle \,\forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff ( x,y)\in A]}$
2. ${\displaystyle \,\forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff ( x,y)\in A]}$
3. ${\displaystyle \,\forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff ( x,y)\in A]}$
4. ${\displaystyle \,\forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x, y)\in A]}$

Beweis:   Klasse : Wenden Sie das Produkt von an an, um zu produzieren Klasse : Wenden Sie die Transposition an , um zu produzieren Klasse : Wenden Sie die zirkuläre Permutation an an, um zu produzieren Klasse : Wenden Sie die zirkuläre Permutation an an , dann wenden Sie die Domäne an, um zu produzieren${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{3}.}$
            ${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle B_{2}.}$
            ${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle B_{1}.}$
            ${\displaystyle B_{4}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle B_{4}.}$

Ein weiteres Axiom wird benötigt, um den Klassenexistenzsatz zu beweisen: das Regularitätsaxiom . Da die Existenz der leeren Klasse bewiesen ist, ist die übliche Aussage dieses Axioms gegeben.

Axiom der Regelmäßigkeit .  Jede nichtleere Menge hat mindestens ein Element, mit dem sie kein gemeinsames Element hat.

${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset)].}$

Dieses Axiom impliziert, dass eine Menge nicht zu sich selbst gehören kann: Nehmen Sie das an und lassen Sie dann seit Dies widerspricht dem Regelmäßigkeitsaxiom, weil es das einzige Element in Daher ist, Das Regelmäßigkeitsaxiom verbietet auch unendliche absteigende Zugehörigkeitsfolgen von Mengen:${\displaystyle x\in x}$${\displaystyle a=\{x\}.}$${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$${\displaystyle x\in x\cap a.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle x\notin x.}$${\displaystyle \;\;\cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$

Gödel stellte in seiner Monographie von 1940, die auf Vorlesungen aus dem Jahr 1938 basierte, eher Regelmäßigkeit für Klassen als für Mengen fest. 1939 bewies er, dass Regelmäßigkeit für Mengen Regelmäßigkeit für Klassen impliziert.

Klassenexistenzsatz

Theorem der Klassenexistenz.  Sei eine Formel, die nur über Mengen quantifiziert und keine anderen freien Variablen enthält als (nicht unbedingt alle davon). Dann gibt es für alle eine eindeutige Klasse von -Tupeln, so dass: Die Klasse wird bezeichnet durch${\displaystyle \phi (x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})}$${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}}$${\displaystyle Y_{1},\dots,Y_{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\dots,x_{n})\in A\iff \phi(x_{1},\dots , x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})].}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{(x_{1},\dots,x_{n}):\phi(x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})\ }.}$

Der Beweis des Theorems erfolgt in zwei Schritten:

1. Transformationsregeln werden verwendet, um die gegebene Formel in eine äquivalente Formel umzuwandeln , die den induktiven Teil des Beweises vereinfacht . Die einzigen logischen Symbole in der transformierten Formel sind beispielsweise , , und , sodass die Induktion logische Symbole mit nur drei Fällen behandelt.${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \neg}$${\displaystyle \land}$${\displaystyle \exists}$
2. Der Klassenexistenzsatz wird induktiv für transformierte Formeln bewiesen. Geleitet von der Struktur der transformierten Formel werden die Klassenexistenz-Axiome verwendet, um die einzigartige Klasse von -Tupeln zu erzeugen, die die Formel erfüllen.${\displaystyle n}$

Transformationsregeln.  In den Regeln 1 und 2 unten und bezeichnen Mengen- oder Klassenvariablen. Diese beiden Regeln eliminieren alle Vorkommen von Klassenvariablen vor und alle Vorkommen von Gleichheit. Jedes Mal, wenn Regel 1 oder 2 auf eine Unterformel angewendet wird, wird diese so gewählt, dass sie sich von den anderen Variablen in der aktuellen Formel unterscheidet. Die drei Regeln werden wiederholt, bis es keine Unterformeln mehr gibt, auf die sie angewendet werden können. Dies erzeugt eine Formel, die nur mit , , , , set-Variablen und Klassenvariablen erstellt wird, wobei nicht vor einem steht . ${\displaystyle \Delta}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle\in}$${\displaystyle i}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle \neg}$${\displaystyle \land}$${\displaystyle \exists}$${\displaystyle\in}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle\in}$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma}$ verwandelt sich in ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land\,z_{i}\in \Gamma).}$
2. Extensionalität wird verwendet, um in . zu transformieren${\displaystyle \Delta =\Gamma}$${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Updelta \iff z_{i}\in\Gamma).}$
3. Logische Identitäten werden verwendet, um Unterformeln mit und in Unterformeln umzuwandeln, die nur und . verwenden${\displaystyle \lor,\implies,\iff,}$${\displaystyle \forall}$${\displaystyle \neg,\land,}$${\displaystyle \exists .}$

Transformationsregeln: gebundene Variablen .  Betrachten Sie die zusammengesetzte Funktionsformel aus Beispiel 1 mit ihren durch und ersetzten freien Mengenvariablen : Der induktive Beweis wird entfernen , was die Formel erzeugt Da jedoch der Klassenexistenzsatz für tiefgestellte Variablen angegeben ist, hat diese Formel nicht die Form, die von der erwarteten Induktionshypothese . Dieses Problem wird gelöst, indem die Variable durch Gebundene Variablen innerhalb verschachtelter Quantoren ersetzt wird, indem der Index für jeden nachfolgenden Quantor um eins erhöht wird. Dies führt zu Regel 4, die nach den anderen Regeln angewendet werden muss, da die Regeln 1 und 2 quantifizierte Variablen erzeugen. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land\,(t,x_{2})\in G].}$${\displaystyle \exists t}$${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{3}.}$

4. Wenn eine Formel keine anderen Variablen als freie Mengen enthält , werden gebundene Variablen, die in Quantoren verschachtelt sind, durch ersetzt . Diese Variablen haben eine (Quantor-)Verschachtelungstiefe .${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n},}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Beispiel 2:   Regel 4 wird auf die Formel angewendet, die die Klasse definiert, die aus allen Mengen der Form besteht Das heißt, Mengen, die mindestens enthalten, und eine Menge, die enthält — zum Beispiel wobei und Mengen sind. ${\displaystyle \phi (x_{1})}$${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset ,\dots\},\dots\}.}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset ,a,b,c\},d,e\}}$${\displaystyle a,b,c,d,}$${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\phi (x_{1})\,&=\,\exists u\;\,[\,u\in x_{1}\,\land \,\neg \exists v\;\,(\;v\,\in \,u\,)]\,\land \,\,\exists w\;{\bigl (}w\in x_{1}\,\land \ ,\exists y\;\,[(\;y\,\in w\;\land \;\neg \exists z\;\,(\;z\,\in \,y\,)]{\ größer )}\\\phi _{r}(x_{1})\,&=\,\exists x_{2}[x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land\, \neg \exists x_{3}(x_{3}\!\in \!x_{2})]\,\land \,\,\exists x_{2}{\bigl (}x_{2}\! \in \!x_{1}\,\land\,\exists x_{3}[(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land\,\neg \exists x_{4} (x_{4}\!\in \!x_{3})]{\bigr)}\end{ausgerichtet}}}$ Da die einzige freie Variable ist, erscheint die quantifizierte Variable zweimal in Verschachtelungstiefe 2. Ihr Index ist 3, weil Wenn zwei Quantifiziererbereiche dieselbe Verschachtelungstiefe haben, sind sie entweder identisch oder getrennt. Die beiden Vorkommen von befinden sich in disjunkten Quantifiziererbereichen, sodass sie nicht miteinander interagieren. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle n=1.}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x_{3}\in x_{2}}$${\displaystyle n+q=1+2=3.}$${\displaystyle x_{3}}$

Beweis des Klassenexistenzsatzes.  Der Beweis beginnt mit der Anwendung der Transformationsregeln auf die gegebene Formel, um eine transformierte Formel zu erzeugen. Da diese Formel der gegebenen Formel äquivalent ist, wird der Beweis durch den Beweis des Klassenexistenzsatzes für transformierte Formeln vervollständigt.

Beweis des Klassenexistenzsatzes für transformierte Formeln

Das folgende Lemma wird im Beweis verwendet. ${\displaystyle {\mathsf {Expansion\;Lemma.}}\,}$Sei und sei eine Klasse, die alle geordneten Paare enthält, die erfüllen Das heißt, Then kann in die eindeutige Klasse von -Tupeln erweitert werden, die erfüllen . Das ist,${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$${\displaystyle P\supseteq\{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {Beweis\!:}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Klasse\;Existenz\;Satz\;für\;transformierte\;Formeln.}}\,}$ Sei eine Formel, die: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots,x_{n},Y_{1},\ldots,Y_{m})}$ Dann gibt es für alle eine eindeutige Klasse von -Tupeln, so dass: ${\displaystyle Y_{1},\dots,Y_{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots,x_{n})\in A\iff\phi(x_{1},\ldots , x_{n},Y_{1},\ldots,Y_{m})].}$ ${\displaystyle {\mathsf {Beweis\!:\,Basis\;Schritt.}}\,}$ ${\displaystyle \phi}$hat 0 logische Symbole. Die Hypothese des Theorems impliziert, dass es sich um eine Atomformel der Form or . handelt${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$ ${\displaystyle {\mathsf {Induktiver\;Schritt.}}\;\phi}$hat logische Symbole wo . Nehmen Sie die Induktionshypothese an, dass der Satz für alle mit weniger als logischen Symbolen gilt. Wir beweisen nun den Satz für mit logischen Symbolen. In diesem Beweis wird die Liste der Klassenvariablen mit abgekürzt , sodass eine Formel – wie – geschrieben werden kann als${\displaystyle k}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y_{1},\dots,Y_{m}}$${\displaystyle {\vec {Y}}}$${\displaystyle \phi (x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})}$${\displaystyle \phi (x_{1},\dots,x_{n},{\vec{Y}}).}$

Gödel wies darauf hin , dass die Klasse Existenzsatz „ist ein Metatheorem , das heißt, ein Satz über das System [NBG], nicht in dem System ...“ Es ist ein Satz über NBG , weil es in der nachgewiesen wird , Metatheorie durch Induktion über NBG Formeln. Außerdem beschreibt sein Beweis – anstatt endlich viele NBG-Axiome zu berufen – induktiv, wie man NBG-Axiome verwendet, um eine Klasse zu konstruieren, die eine gegebene Formel erfüllt. Für jede Formel kann diese Beschreibung in einen konstruktiven Existenzbeweis umgewandelt werden, der in NBG steht. Daher kann dieses Metatheorem die NBG-Beweise erzeugen, die die Verwendung des Klassenexistenz-Theorems von NBG ersetzen.

Ein rekursives Computerprogramm erfasst kurz und bündig die Konstruktion einer Klasse aus einer gegebenen Formel. Die Definition dieses Programms hängt nicht vom Beweis des Klassenexistenzsatzes ab. Der Beweis ist jedoch erforderlich, um zu beweisen, dass die vom Programm konstruierte Klasse die angegebene Formel erfüllt und unter Verwendung der Axiome gebildet wird. Dieses Programm ist in Pseudocode geschrieben , der eine case-Anweisung im Pascal- Stil verwendet .

${\displaystyle\mathbf{Funktion}\;{\text{Klasse}}(\phi,\,n)}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ ist eine transformierte Formel der Form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{ n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ gibt an, dass eine Klasse von }}n{\text{-Tupeln zurückgegeben wird.}}\\\;\;\ ;\;\mathbf {Ausgabe} \!:\;\,&{\text{Klasse }}A{\text{ von }}n{\text{-Tupel erfüllen }}\\&\,\forall x_{ 1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots,x_{n})\in A\iff\phi(x_{1},\ldots,x_{n},Y_{ 1},\ldots,Y_{m})].\end{ausgerichtet}}}$

${\displaystyle \mathbf {begin}}$

${\displaystyle \mathbf {Fall} \;\phi \;\mathbf {von}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&{\text {// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_ {i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {Rückkehr} \;\,E_{i,Y_{k},n};&{\text{// }}E_{i,Y_ {k},n}=\{(x_{1},\dots,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n }}{\text{Klasse}}(\psi,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Klasse}}(\psi,\,n)\\\psi_{1}\land \psi_{2}:\;\;&\mathbf {Return} \;\,{\text{Class}}(\psi_{1},\,n)\cap {\text{Class}}( \psi_{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi):\;\;&\mathbf {Rückkehr} \; \,Dom({\text{Klasse}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ ist frei in }}\psi ; {\text{ Klasse}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// gibt eine Klasse von }}(n+1){\text{-Tupel}}\end{ ausgerichtet}}}$

${\displaystyle \mathbf {Ende}}$

${\displaystyle \mathbf {Ende}}$

Sei die Formel von Beispiel 2 . Der Funktionsaufruf erzeugt die Klasse, die im Folgenden mit verglichen wird Dies zeigt, dass die Konstruktion der Klasse die Konstruktion ihrer definierenden Formel widerspiegelt${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A=Klasse(\phi,1)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \phi.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi.}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \; \;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_ {2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2 }\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\&A\; &&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement_{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\; ))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \; \complement_{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$

Erweiterung des Klassenexistenzsatzes

Gödel erweiterte den Klassenexistenzsatz auf Formeln, die Relationen über Klassen (wie und die unäre Relation ), spezielle Klassen (wie ) und Operationen (wie und ) enthalten. Um das Klassenexistenz-Theorem zu erweitern, müssen die Formeln, die Relationen, spezielle Klassen und Operationen definieren, nur über Mengen quantifizieren. Dann kann in eine äquivalente Formel umgewandelt werden, die die Hypothese des Klassenexistenzsatzes erfüllt . ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$${\displaystyle \phi}$

Die folgenden Definitionen geben an, wie Formeln Beziehungen, spezielle Klassen und Operationen definieren:

1. Eine Relation ist definiert durch:${\displaystyle R}$${\displaystyle R(Z_{1},\dots,Z_{k})\iff \psi_{R}(Z_{1},\dots,Z_{k}).}$
2. Eine Sonderklasse wird definiert durch:${\displaystyle C}$${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Eine Operation wird definiert durch:${\displaystyle P}$${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots,Z_{k})\iff \psi_{P}(u,Z_{1},\dots,Z_{k}).}$

Ein Begriff wird definiert durch:

1. Variablen und Sonderklassen sind Begriffe.
2. Wenn eine Operation mit Argumenten und Termen ist, dann ist ein Term.${\displaystyle P}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k}}$${\displaystyle P(\Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k})}$

Die folgenden Transformationsregeln eliminieren Beziehungen, spezielle Klassen und Operationen. Jedes Mal, wenn Regel 2b, 3b oder 4 auf eine Unterformel angewendet wird, wird diese so gewählt, dass sie sich von den anderen Variablen in der aktuellen Formel unterscheidet. Die Regeln werden wiederholt, bis es keine Unterformeln mehr gibt, auf die sie angewendet werden können. und Begriffe bezeichnen. ${\displaystyle i}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle \,\Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k},\Gamma,}$${\displaystyle \Delta}$

Beispiel 3:  Transformieren${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}.}$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}\iff \forall z_{1}(z_{1}\in Y_{1}\implies z_{1}\in Y_{2})\quad {\text {(Regel 1)}}}$

Beispiel 4:  Transformieren${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}\in x_{2}.}$ ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x_{1}\cap Y_{1}\in x_{2}&\iff \exists z_{1}[z_{1}=x_{1}\cap Y_ {1}\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text{(Regel 3b)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}( z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\cap Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text {(Regel 4)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}(z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\land z_{2}\in Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]\quad &&{\text{(Regel 3a)}}\\\end{alignedat}}}$ Dieses Beispiel veranschaulicht, wie die Transformationsregeln zusammenarbeiten, um eine Operation zu eliminieren.

Klassenexistenzsatz (erweiterte Version).  Sei eine Formel, die nur über Mengen quantifiziert, keine freien Variablen außer , enthält und Beziehungen, spezielle Klassen und Operationen enthalten kann, die durch Formeln definiert sind, die nur über Mengen quantifizieren. Dann gibt es für alle eine eindeutige Klasse von -Tupeln, so dass${\displaystyle \phi (x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})}$${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m}}$${\displaystyle Y_{1},\dots,Y_{m},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\dots,x_{n})\in A\iff \phi(x_{1},\dots , x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})].}$

Beweis:  Wenden Sie die Transformationsregeln auf an, um eine äquivalente Formel zu erzeugen, die keine Beziehungen, speziellen Klassen oder Operationen enthält. Diese Formel erfüllt die Hypothese des Klassenexistenzsatzes. Daher gibt es für alle eine einzigartige Klasse von -Tupeln, die zufriedenstellend sind${\displaystyle \phi}$${\displaystyle Y_{1},\dots,Y_{m},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots\,\forall x_{n}[(x_{1},\dots,x_{n})\in A\iff \phi(x_{1},\dots , x_{n},Y_{1},\dots,Y_{m})].}$

Axiome setzen

Die Axiome der Paarung und Regularität, die für den Beweis des Klassenexistenzsatzes benötigt wurden, wurden oben angegeben. NBG enthält vier weitere Mengenaxiome. Drei dieser Axiome befassen sich mit Klassenoperationen, die auf Mengen angewendet werden.

Definition.   ist eine Funktion, wenn${\displaystyle F}$${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land\,(x,z)\in F\impliziert y=z].}$

In der Mengenlehre erfordert die Definition einer Funktion keine Angabe des Bereichs oder Kobereichs der Funktion (siehe Funktion (Mengentheorie) ). Die Funktionsdefinition von NBG verallgemeinert die Definition von ZFC von einer Menge geordneter Paare zu einer Klasse geordneter Paare.

Die Definitionen von ZFC der Mengenoperationen von image , union und power set werden auch auf Klassenoperationen verallgemeinert. Das Bild der Klasse unter der Funktion ist Diese Definition erfordert nicht, dass Die Vereinigung der Klasse ist Die Potenzklasse von ist Die erweiterte Version des Klassenexistenzsatzes impliziert die Existenz dieser Klassen. Die Axiome der Ersetzung, Vereinigung und Potenzmenge implizieren, dass, wenn diese Operationen auf Mengen angewendet werden, sie Mengen erzeugen. ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land\,(x,y)\in F)\}.}$${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Axiom des Ersetzens.  Wenn eine Funktion und eine Menge ist, dann ist das Bild von unter eine Menge. ${\displaystyle F}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F[a]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ ist eine Funktion}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$

Das Fehlen der Anforderung in der Definition von erzeugt ein stärkeres Ersetzungsaxiom, das im folgenden Beweis verwendet wird. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$${\displaystyle F[A]}$

Satz (NBGs Trennungsaxiom ).  If ist eine Menge und ist eine Unterklasse von then ist eine Menge. Beweis: Der Klassenexistenzsatz konstruiert die Einschränkung der Identitätsfunktion auf : Da das Bild von under ist , impliziert das Ersetzungsaxiom, dass es sich um eine Menge handelt. Dieser Beweis hängt von der Definition des Bildes ab, das die Anforderung nicht erfüllt, da eher als${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle B}$
 ${\displaystyle B}$${\displaystyle I{\upharpoonright_{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I{\upharpoonright_{B}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright_{B}})=B\subseteq a}$${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright_{B}}).}$

Axiom der Vereinigung.  Wenn eine Menge ist, dann gibt es eine Menge mit${\displaystyle a}$${\displaystyle \cup a.}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\impliziert x\in b\, ].}$

Axiom der Machtmenge.  Wenn eine Menge ist, dann gibt es eine Menge mit${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$

Satz.  Wenn eine Menge ist, dann sind und Mengen. Beweis: Das Vereinigungsaxiom besagt, dass es sich um eine Unterklasse einer Menge handelt , also impliziert das Trennungsaxiom, dass es eine Menge ist. Ebenso besagt das Axiom der Potenzmenge, dass es sich um eine Unterklasse einer Menge handelt , so dass das Trennungsaxiom impliziert, dass es sich um eine Menge handelt. ${\displaystyle a}$${\displaystyle \cup a}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(a)}$
 ${\displaystyle \cup a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \cup a}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(a)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal{P}}(a)}$

Axiom der Unendlichkeit.  Es existiert eine nichtleere Menge, so dass für all in ein in existiert , das eine echte Teilmenge von ist . ${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land\,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\ Teilmenge y))].}$

Die Unendlichkeitsaxiome und die Ersetzung beweisen die Existenz der leeren Menge . In der Diskussion der Klassenexistenz-Axiome wurde die Existenz der leeren Klasse bewiesen. Wir beweisen nun, dass es sich um eine Menge handelt. Sei Funktion und sei die durch das Axiom der Unendlichkeit gegebene Menge. Durch Ersetzung ist das Bild von unter , das gleich ist, eine Menge. ${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle F=\emptyset }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \emptyset}$

NBG Axiom der Unendlichkeit wird durch ZFC des implizierte Axiom der Unendlichkeit : Die erste Konjunktion von ZFC Axiom, impliziert die erste conjunct von NBG Axiom. Die zweite Konjunktion des ZFC-Axioms impliziert die zweite Konjunktion des NBG-Axioms seit Um das Unendlichkeitsaxiom von ZFC aus dem Unendlichkeitsaxiom von NBG zu beweisen, sind einige der anderen NBG-Axiome erforderlich (siehe Schwaches Unendlichkeitsaxiom ). ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land\,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$${\displaystyle \emptyset\in a}$${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Axiom der globalen Wahl

Das Klassenkonzept ermöglicht es NBG, ein stärkeres Auswahlaxiom zu haben als ZFC. Eine Auswahlfunktion ist eine Funktion, die auf einer Menge nichtleerer Mengen definiert ist, so dass für alle ZFC-Auswahlaxioms angegeben ist, dass es für jede Menge nichtleerer Mengen eine Auswahlfunktion gibt. Eine globale Auswahlfunktion ist eine Funktion, die auf der Klasse aller nichtleeren Mengen definiert ist, sodass für jede nichtleere Menge Das Axiom der globalen Auswahl besagt, dass es eine globale Auswahlfunktion gibt. Dieses Axiom impliziert Axiom der Wahl des ZFC da für jeden Satz von nicht - leeren Sätzen, (die Einschränkung von bis ) eine Entscheidungsfunktion für 1964 William B. Easton bewiesen , dass die globale Wahl ist stärker als das Axiom der Wahl durch die Verwendung zwingt ein zu konstruieren Modell , das das Auswahlaxiom und alle Axiome von NBG außer dem globalen Auswahlaxiom erfüllt. Das globale Auswahlaxiom entspricht jeder Klasse mit einer Wohlordnung, während das Auswahlaxiom von ZFC jeder Menge mit einer Wohlordnung entspricht. ${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f(x)\inx}$${\displaystyle x\in s.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G(x)\in x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle s}$${\displaystyle G\vert _{s}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s.}$

Axiom der globalen Wahl.  Es gibt eine Funktion, die aus jeder nichtleeren Menge ein Element auswählt.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ ist eine Funktion}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\ in G))].}$

Geschichte

Von Neumanns Axiomensystem von 1925

Von Neumann veröffentlichte 1925 einen einführenden Artikel zu seinem Axiomensystem. 1928 lieferte er eine detaillierte Behandlung seines Systems. Von Neumann stützte sein Axiomensystem auf zwei Bereiche primitiver Objekte: Funktionen und Argumente. Diese Domänen überschneiden sich – Objekte, die sich in beiden Domänen befinden, werden als Argumentfunktionen bezeichnet. Funktionen entsprechen Klassen in NBG und Argumentfunktionen entsprechen Mengen. Die primitive Operation von Von Neumann ist die Funktionsanwendung , die mit [ a ,  x ] anstatt mit a ( x ) bezeichnet wird, wobei a eine Funktion und x ein Argument ist. Diese Operation erzeugt ein Argument. Von Neumann definierte Klassen und Mengen mithilfe von Funktionen und Argumentfunktionen, die nur zwei Werte annehmen, A und B . Er definiert x  ∈  a , wenn [ a ,  x ] ≠  A .

Von Neumanns Arbeiten zur Mengenlehre wurden von Georg Cantors Artikeln, Ernst Zermelos Axiomen für die Mengenlehre von 1908 und den Kritiken von Zermelos Mengenlehre von 1922 beeinflusst, die unabhängig voneinander von Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem abgegeben wurden . Sowohl Fraenkel als auch Skolem wiesen darauf hin, dass Zermelos Axiome die Existenz der Menge { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} nicht beweisen können , wobei Z ₀ die Menge der natürlichen Zahlen und Z _{n +1} die Potenzmenge von Z . ist _n . Dann führten sie das Ersetzungsaxiom ein, das die Existenz solcher Mengen garantiert. Sie zögerten jedoch, dieses Axiom zu übernehmen: Fraenkel stellte fest, "dass Replacement ein zu starkes Axiom für die 'allgemeine Mengenlehre' war", während "Skolem nur schrieb, dass 'wir den Ersatz einführen könnten'".

Von Neumann arbeitete an den Problemen der Zermelo-Mengenlehre und lieferte Lösungen für einige davon:

• Eine Theorie der Ordnungszahlen
  • Problem: Cantors Ordinalzahlentheorie kann in der Zermelo-Mengentheorie nicht entwickelt werden, da ihr das Ersetzungsaxiom fehlt.
  • Lösung: Von Neumann gewonnen Theorie Cantors durch die Ordinalzahlen definieren , unter Verwendung von Sätzen , die sind gut geordnet durch die ∈-Beziehung, und durch das Axiom des Ersatzes unter Verwendung von Schlüsselsätzen über die ordinals zu beweisen, wie jede wohlgeordneten Menge ist auftrag isomorph mit einer Ordnungszahl. Im Gegensatz zu Fraenkel und Skolem betonte von Neumann, wie wichtig das Ersetzungsaxiom für die Mengenlehre ist: "Tatsächlich glaube ich, dass ohne dieses Axiom überhaupt keine Ordinaltheorie möglich ist."
• Ein Kriterium, das Klassen identifiziert, die zu groß sind, um Mengen zu sein
  • Problem: Zermelo hat ein solches Kriterium nicht bereitgestellt. Seine Mengentheorie vermeidet die großen Klassen, die zu den Paradoxien führen , lässt jedoch viele Mengen aus, wie die von Fraenkel und Skolem erwähnte.
  • Lösung: Von Neumann führte das Kriterium ein: Eine Klasse ist genau dann zu groß, um eine Menge zu sein, wenn sie auf die Klasse V aller Mengen abgebildet werden kann . Von Neumann erkannte, dass die mengentheoretischen Paradoxien vermieden werden konnten, indem man so großen Klassen nicht erlaubte, Mitglieder einer Klasse zu sein. Kombiniert er diese Einschränkung mit seinem Kriterium, erhält er sein Axiom der Größenbeschränkung : Eine Klasse C ist genau dann kein Mitglied einer Klasse, wenn C auf V abgebildet werden kann .
• Endliche Axiomatisierung
  • Problem: Zermelo hatte in seinem Trennungsaxiom den ungenauen Begriff der "bestimmten Aussagenfunktion " verwendet .
  • Lösungen: Skolem führte das Axiom-Schema der Trennung ein , das später in ZFC verwendet wurde, und Fraenkel führte eine äquivalente Lösung ein. Zermelo lehnte jedoch beide Ansätze ab, "insbesondere weil sie implizit das Konzept der natürlichen Zahl beinhalten, das nach Zermelos Ansicht auf der Mengenlehre basieren sollte". Von Neumann vermied Axiomenschemata, indem er mit seinen Funktionen, deren Konstruktion nur endlich viele Axiome erfordert, den Begriff der "definiten Aussagenfunktion" formalisierte. Dies führte dazu, dass seine Mengenlehre endlich viele Axiome hat. 1961 bewies Richard Montague , dass ZFC nicht endlich axiomatisiert werden kann.
• Das Axiom der Regelmäßigkeit
  • Problem: Die Zermelo-Mengentheorie beginnt mit der leeren Menge und einer unendlichen Menge und iteriert die Axiome der Paarung, Vereinigung, Potenzmenge, Trennung und Wahl, um neue Mengen zu erzeugen. Es beschränkt die Sets jedoch nicht auf diese. Zum Beispiel erlaubt es Mengen, die nicht wohlbegründet sind , wie eine Menge x, die x  ∈  x erfüllt .
  • Lösungen: Fraenkel hat ein Axiom eingeführt, um diese Mengen auszuschließen. Von Neumann analysierte Fraenkels Axiom und stellte fest, dass es nicht "genau formuliert" sei, aber es würde ungefähr sagen: "Ausser den Mengen ... deren Existenz von den Axiomen unbedingt gefordert wird, gibt es keine weiteren Mengen." Von Neumann schlug das Regularitätsaxiom vor, um unbegründete Mengen auszuschließen, nahm es jedoch nicht in sein Axiomensystem auf. 1930 veröffentlichte Zermelo als erster ein Axiomensystem, das Regelmäßigkeit beinhaltete.

Von Neumanns Axiomensystem von 1929

1929 veröffentlichte von Neumann einen Artikel mit den Axiomen, die zu NBG führen würden. Dieser Artikel wurde durch seine Besorgnis über die Konsistenz des Axioms der Größenbeschränkung motiviert. Er stellte fest, dass dieses Axiom "viel, eigentlich zu viel" bewirkt. Abgesehen von den Axiomen der Trennung und Ersetzung und dem Wohlordnungssatz impliziert es auch, dass jede Klasse, deren Kardinalität kleiner als die von V ist, eine Menge ist. Von Neumann meinte, dass diese letzte Implikation über die kantorische Mengenlehre hinausginge und schloss daraus: „Wir müssen daher diskutieren, ob seine [die] Konsistenz des Axioms nicht noch problematischer ist als eine Axiomatisierung der Mengenlehre, die nicht über den notwendigen kantorischen Rahmen hinausgeht.“

Von Neumann begann seine Konsistenzuntersuchung mit der Einführung seines 1929er Axiomensystems, das alle Axiome seines 1925er Axiomensystems außer dem Axiom der Größenbeschränkung enthält. Er ersetzte dieses Axiom durch zwei seiner Konsequenzen, das Ersetzungsaxiom und ein Auswahlaxiom. Das Auswahlaxiom von Von Neumann besagt: "Jede Relation R hat eine Unterklasse, die eine Funktion mit dem gleichen Definitionsbereich wie R ist ."

Sei S das 1929er Axiomensystem von Neumann. Von Neumann führte das Axiomsystem S + Regularity (das aus S und dem Regularitätsaxiom besteht) ein, um zu zeigen, dass sein System von 1925 relativ zu S konsistent ist . Er hat bewiesen:

1. Wenn S konsistent ist, dann ist S + Regularität konsistent.
2. S + Regularität impliziert das Axiom der Größenbeschränkung. Da dies das einzige Axiom seines 1925er Axiomensystems ist, das S + Regularität nicht hat, impliziert S + Regularity alle Axiome seines 1925er Systems.

Diese Ergebnisse implizieren: Wenn S konsistent ist, dann ist das 1925er Axiomensystem von Neumann konsistent. Beweis: Wenn S konsistent ist, dann ist S + Regularität konsistent (Ergebnis 1). Nehmen Sie mit Beweis durch Widerspruch an , dass das Axiomensystem von 1925 inkonsistent ist, oder äquivalent: Das Axiomensystem von 1925 impliziert einen Widerspruch. Da S + Regularität die Axiome des Systems von 1925 impliziert (Ergebnis 2), impliziert S + Regularität auch einen Widerspruch. Dies widerspricht jedoch der Konsistenz von S + Regularität. Wenn also S konsistent ist, dann ist das 1925er Axiomensystem von Neumann konsistent.

Da S sein Axiomensystem von 1929 ist, ist von Neumanns Axiomensystem von 1925 konsistent relativ zu seinem Axiomensystem von 1929, das näher an der kantorischen Mengenlehre ist. Die Hauptunterschiede zwischen der kantorischen Mengenlehre und dem Axiomensystem von 1929 sind Klassen und das Auswahlaxiom von Neumann. Das Axiomensystem S + Regularity wurde von Bernays und Gödel modifiziert, um das äquivalente NBG-Axiomensystem zu erzeugen.

Bernays Axiomensystem

1929 begann Paul Bernays, von Neumanns neues Axiomensystem zu modifizieren, indem er Klassen und Mengen als Primitiven annahm. Er veröffentlichte seine Arbeit in einer Reihe von Artikeln, die von 1937 bis 1954 erschienen. Bernays erklärte:

Der Zweck der Modifikation des von Neumann-Systems besteht darin, näher an der Struktur des ursprünglichen Zermelo-Systems zu bleiben und gleichzeitig einige der den Logikern vertrauten mengentheoretischen Konzepte der Schröder-Logik und der Principia Mathematica zu nutzen. Wie man sieht, ergibt sich aus dieser Anordnung eine erhebliche Vereinfachung.

Bernays behandelte Mengen und Klassen in einer zweifach sortierten Logik und führte zwei Zugehörigkeitsprimitive ein: eine für die Zugehörigkeit zu Mengen und eine für die Zugehörigkeit zu Klassen. Mit diesen Primitiven schrieb und vereinfachte er von Neumanns Axiome von 1929. Bernays hat auch das Axiom der Regelmäßigkeit in sein Axiomensystem aufgenommen.

Gödels Axiomensystem (NBG)

1931 schickte Bernays einen Brief mit seiner Mengenlehre an Kurt Gödel . Gödel vereinfachte Bernays' Theorie, indem er jede Menge zu einer Klasse machte, was ihm erlaubte, nur eine Sorte und ein Zugehörigkeitsprimitiv zu verwenden. Er schwächte auch einige der Axiome von Bernays und ersetzte von Neumanns Auswahlaxiom durch das äquivalente Axiom der globalen Auswahl. Gödel verwendete seine Axiome in seiner Monographie von 1940 über die relative Konsistenz der globalen Wahl und die verallgemeinerte Kontinuumshypothese.

Es wurden mehrere Gründe dafür angeführt, dass Gödel NBG für seine Monographie wählte:

• Gödel gab einen mathematischen Grund an – die globale Wahl von NBG erzeugt einen stärkeren Konsistenzsatz: „Diese stärkere Form des Axioms [der Wahl] impliziert natürlich, wenn sie mit den anderen Axiomen konsistent ist, dass eine schwächere Form auch konsistent ist.“
• Robert Solovay vermutete: "Meine Vermutung ist, dass er [Gödel] eine Diskussion über die technischen Details vermeiden wollte, die bei der Entwicklung der Ansätze der Modelltheorie innerhalb der axiomatischen Mengenlehre erforderlich sind."
• Kenneth Kunen gab einen Grund dafür, warum Gödel diese Diskussion vermeidet: "Es gibt auch einen viel kombinatorischeren Ansatz für L [das konstruierbare Universum ], entwickelt von ... [Gödel in seiner Monographie von 1940] in dem Versuch, seine Arbeit Nicht- Logiker. ... Dieser Ansatz hat den Vorteil, alle Überreste von Logik aus der Behandlung von L zu entfernen ."
• Charles Parsons lieferte einen philosophischen Grund für Gödels Wahl: „Diese Ansicht [dass ‚Eigenschaft der Menge‘ ein Primitiv der Mengenlehre ist] kann sich in Gödels Wahl einer Theorie mit Klassenvariablen als Rahmen für … [seine Monographie] widerspiegeln. ."

Gödels Leistung zusammen mit den Details seiner Präsentation führte zu der Bekanntheit, die NBG für die nächsten zwei Jahrzehnte genießen würde. 1963 bewies Paul Cohen seine Unabhängigkeitsbeweise für ZF mit Hilfe einiger Tools, die Gödel für seine relativen Konsistenzbeweise für NBG entwickelt hatte. Später wurde ZFC populärer als NBG. Dies wurde durch mehrere Faktoren verursacht, einschließlich der zusätzlichen Arbeit, die erforderlich ist, um das Forcen in NBG zu handhaben , Cohens Präsentation des Forcens von 1966, die ZF verwendet, und der Beweis, dass NBG eine konservative Erweiterung von ZFC ist.

NBG, ZFC und MK

NBG ist logisch nicht äquivalent zu ZFC, weil seine Sprache ausdrucksvoller ist: Es kann Aussagen über Klassen treffen, die in ZFC nicht gemacht werden können. NBG und ZFC implizieren jedoch die gleichen Aussagen über Sets. Daher ist NBG eine konservative Erweiterung von ZFC. NBG impliziert Sätze, die ZFC nicht impliziert, aber da NBG eine konservative Erweiterung ist, müssen diese Sätze richtige Klassen beinhalten. Zum Beispiel ist es ein Satz von NBG, dass das globale Auswahlaxiom impliziert, dass die echte Klasse V wohlgeordnet sein kann und dass jede echte Klasse in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit V gebracht werden kann .

Eine Folge der konservativen Erweiterung ist, dass ZFC und NBG gleich konsistent sind . Um dies zu beweisen, wird das Explosionsprinzip verwendet : Aus einem Widerspruch ist alles beweisbar. Angenommen, entweder ZFC oder NBG sind inkonsistent. Dann impliziert die inkonsistente Theorie die widersprüchlichen Aussagen ∅ = ∅ und ∅ ≠ ∅, die Aussagen über Mengen sind. Durch die konservative Erweiterungseigenschaft impliziert auch die andere Theorie diese Aussagen. Daher ist es auch inkonsistent. Obwohl NBG ausdrucksvoller ist, stimmt es mit ZFC überein. Dieses Ergebnis zusammen mit von Neumanns relativem Konsistenzbeweis von 1929 impliziert, dass sein 1925er Axiomensystem mit dem Axiom der Größenbeschränkung mit ZFC äquikonsistent ist. Dies löst von Neumanns Bedenken hinsichtlich der relativen Konsistenz dieses mächtigen Axioms vollständig aus, da sich ZFC innerhalb des kantorischen Rahmens befindet.

Obwohl NBG eine konservative Erweiterung von ZFC ist, kann ein Satz in NBG einen kürzeren und eleganteren Beweis haben als in ZFC (oder umgekehrt). Für einen Überblick über bekannte Ergebnisse dieser Art siehe Pudlák 1998 .

Die Morse-Kelley-Mengentheorie hat ein Axiomenschema des Klassenverständnisses, das Formeln enthält, deren Quantoren über Klassen reichen. MK ist eine stärkere Theorie als NBG, weil MK die Konsistenz von NBG beweist, während Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz impliziert, dass NBG die Konsistenz von NBG nicht beweisen kann.

Für eine Diskussion einiger ontologischer und anderer philosophischer Fragen, die von NBG aufgeworfen werden, insbesondere im Gegensatz zu ZFC und MK, siehe Anhang C von Potter 2004 .

Modelle

ZFC, NBG und MK haben Modelle, die im Sinne der kumulativen Hierarchie V _α  und der konstruierbaren Hierarchie L _{α beschrieben werden können}  . Sei V eine unzugängliche Kardinalzahl κ enthalten, sei X ⊆ V _κ , und sei Def( X ) die Klasse der definierbaren Teilmengen erster Ordnung von X mit Parametern. In Symbolen, in denen " " das Modell mit Domäne und Relation bezeichnet und " " die Zufriedenheitsrelation bezeichnet : ${\displaystyle (X,\in)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle\in}$${\displaystyle \models}$

${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ und }}(X,\in )\models \phi (x,y_{ 1},\ldots,y_{n})\}:\phi {\text{ ist eine Formel erster Ordnung und }}y_{1},\ldots,y_{n}\in X{\Bigr\}} .}$

Dann:

• ( V _κ , ∈) und ( L _κ , ∈) sind Modelle von ZFC .
• ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) ist ein Modell von MK, wobei V _κ aus den Mengen des Modells besteht und V _κ+1 aus den Klassen des Modells besteht. Da ein Modell von MK ein Modell von NBG ist, ist dieses Modell auch ein Modell von NBG.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) ist ein Modell von Mendelsons Version von NBG, das das NBG-Axiom der globalen Auswahl durch das ZFC-Auswahlaxiom ersetzt. Die Axiome von ZFC sind in diesem Modell wahr, weil ( V _κ , ∈) ein Modell von ZFC ist. Insbesondere gilt das Wahlaxiom von ZFC, aber die globale Wahl von NBG kann scheitern. Die Klassenexistenz-Axiome von NBG sind in diesem Modell wahr, weil die Klassen, deren Existenz sie behaupten, durch Definitionen erster Ordnung definiert werden können. Zum Beispiel gilt das Mitgliedschaftsaxiom, da die Klasse definiert ist durch:${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa}:(V_{\kappa},\in)\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v] \}.}$

• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), wobei κ ⁺ der Nachfolgerkardinal von κ ist, ist ein Modell von NBG. Die Klassenexistenz-Axiome von NBG sind wahr in ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Zum Beispiel gilt das Mitgliedschaftsaxiom, da die Klasse definiert ist durch:${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa}:(L_{\kappa},\in)\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v] \}.}$

Also E  ∈ 𝒫( L _κ ). In seinem Beweis, dass GCH in L wahr ist , hat Gödel bewiesen, dass 𝒫( L _κ ) ⊆  L _{κ ⁺} . Daher gilt E  ∈  L _{κ ⁺} , also gilt das Zugehörigkeitsaxiom in ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Ebenso sind die anderen Axiome der Klassenexistenz wahr. Das Axiom der globalen Auswahl ist wahr, weil L _κ durch die Beschränkung der Gödel-Funktion (die die Klasse der Ordinalzahlen auf die konstruierbaren Mengen abbildet) auf Ordinalzahlen kleiner als wohlgeordnet ist. Daher ist ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈) ein Modell von NBG.

Kategorientheorie

Die Ontologie von NBG bietet ein Gerüst, um über "große Objekte" zu sprechen, ohne ein Paradox zu riskieren. Zum Beispiel wird in einigen Entwicklungen der Kategorientheorie eine „ große Kategorie “ als eine solche definiert, deren Objekte und Morphismen eine eigene Klasse bilden. Auf der anderen Seite ist eine "kleine Kategorie" eine, deren Objekte und Morphismen Mitglieder einer Menge sind. Somit können wir von der „ Kategorie aller Mengen “ oder „ Kategorie aller kleinen Kategorien “ sprechen, ohne ein Paradox zu riskieren, da NBG große Kategorien unterstützt.

NBG unterstützt jedoch keine "Kategorie aller Kategorien", da große Kategorien Mitglieder davon sein würden und NBG es nicht zulässt, dass richtige Klassen Mitglieder von irgendetwas sind. Eine ontologische Erweiterung, die es uns ermöglicht, formal über eine solche "Kategorie" zu sprechen, ist das Konglomerat , das eine Sammlung von Klassen ist. Dann wird die "Kategorie aller Kategorien" durch ihre Objekte definiert: das Konglomerat aller Kategorien; und seine Morphismen: das Konglomerat aller Morphismen von A nach B, wobei A und B Objekte sind. Ob eine Ontologie, die sowohl Klassen als auch Mengen umfasst, für die Kategorientheorie adäquat ist, vgl. Muller 2001 .

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

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Externe Links

• "von Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre" . PlanetMath .
• Szudzik, Matthäus. "von Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre" . MathWorld .