Gewichteter projektiver Raum - Weighted projective space

In der algebraischen Geometrie ist ein gewichteter projektiver Raum P ( a 0 , ..., a n ) die projektive Varietät Proj ( k [ x 0 , ..., x n ]), die dem abgestuften Ring k [ x 0 ,. .., x n ] wobei die Variable x k den Grad a k hat .

Eigenschaften

  • Wenn d eine positive ganze Zahl ist, ist P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) isomorph zu P ( da 0 , da 1 , ..., da n ). Dies ist eine Eigenschaft der Proj- Konstruktion ; geometrisch entspricht es der d- Tupel- Veronese-Einbettung . Ohne Verlust der Allgemeinheit kann man also annehmen, dass die Grade a i keinen gemeinsamen Faktor haben.
  • Angenommen, a 0 , a 1 , ..., a n haben keinen gemeinsamen Faktor, und d ist ein gemeinsamer Faktor aller a i mit i ≠ j , dann P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) ist isomorph zu P ( a 0 / d, ..., a j-1 / d, a j , a j + 1 / d, ..., a n / d) (beachte, dass d Coprime zu a ist j ; sonst gilt der Isomorphismus nicht). Man kann also weiter annehmen, dass jede Menge von n Variablen a i keinen gemeinsamen Faktor hat. In diesem Fall wird der gewichtete projektive Raum als wohlgeformt bezeichnet .
  • Die einzigen Singularitäten des gewichteten projektiven Raums sind singuläre Singularitäten des zyklischen Quotienten.
  • Ein gewichteter projektiver Raum ist eine Q- Fano-Sorte und eine torische Sorte .
  • Der gewichtete projektive Raum P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) ist isomorph zum Quotienten des projektiven Raums durch die Gruppe, die das Produkt der Wurzelgruppen der Einheit der Ordnungen a 0 , a 1 ,. .., a n diagonal wirkend.

Verweise

  • Dolgachev, Igor (1982), "Weighted Projective Varietés", Gruppenaktionen und Vektorfelder (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., 956 , Berlin: Springer, S. 34–71, CiteSeerX  10.1.1.169.5185 , doi : 10.1007 / BFb0101508 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR  0704986
  • Hosgood, Timothy (2016), Eine Einführung in Sorten im gewichteten projektiven Raum , arXiv : 1604.02441 , Bibcode : 2016arXiv160402441H
  • Reid, Miles (2002), Gradierte Ringe und Sorten im gewichteten projektiven Raum (PDF)