Elastizitätsmodul - Young's modulus

Der Elastizitätsmodul ist die Steigung des linearen Teils der Spannungs-Dehnungs-Kurve für ein Material unter Zug oder Druck.

Der Young-Modul , der Young-Modul oder der Elastizitätsmodul bei Zug oder Druck (dh negativer Zug), ist eine mechanische Eigenschaft, die die Zug- oder Drucksteifigkeit eines festen Materials misst, wenn die Kraft in Längsrichtung ausgeübt wird. Sie gibt die Beziehung zwischen Zug- / Druckbeanspruchung (Kraft pro Flächeneinheit) und die axialen Dehnung (Verformung proportional) im linearen elastischen Bereich eines Materials und wird unter Verwendung der Formel bestimmt:

Die Elastizitätsmoduli sind typischerweise so groß, dass sie nicht in Pascal, sondern in Gigapascal (GPa) ausgedrückt werden .

Obwohl Youngs Modul nach dem britischen Wissenschaftler Thomas Young aus dem 19. Jahrhundert benannt ist , wurde das Konzept 1727 von Leonhard Euler entwickelt . Die ersten Experimente, die das Konzept des Young-Moduls in seiner heutigen Form verwendeten, wurden 1782 von dem italienischen Wissenschaftler Giordano Riccati durchgeführt und waren 25 Jahre vor Youngs Arbeit. Der Begriff Modulus leitet sich vom lateinischen Wurzelbegriff modus ab, der Maß bedeutet .

Definition

Lineare Elastizität

Ein festes Material wird elastisch verformt, wenn es bei Druck oder Dehnung mit einer kleinen Belastung beaufschlagt wird. Die elastische Verformung ist reversibel, d. h. das Material nimmt nach Entlastung wieder seine ursprüngliche Form an.

Bei Spannung und Dehnung nahe Null ist die Spannungs-Dehnungs-Kurve linear und die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben , das besagt, dass die Spannung proportional zur Dehnung ist. Der Proportionalitätskoeffizient ist der Elastizitätsmodul. Je höher der Modul, desto mehr Spannung wird benötigt, um die gleiche Dehnung zu erzeugen; ein idealisierter starrer Körper hätte einen unendlichen Elastizitätsmodul. Umgekehrt würde sich ein sehr weiches Material, wie beispielsweise eine Flüssigkeit, ohne Kraft verformen und hätte einen Young-Modul von null.

Nicht viele Materialien sind über eine geringe Verformung hinaus linear und elastisch.

Notiz

Die Materialsteifigkeit sollte nicht mit diesen Eigenschaften verwechselt werden:

  • Festigkeit : maximale Belastung, der das Material standhalten kann, während es im elastischen (reversiblen) Verformungsbereich bleibt;
  • Geometrische Steifigkeit: eine globale Eigenschaft des Körpers, die von seiner Form und nicht nur von den lokalen Eigenschaften des Materials abhängt; beispielsweise hat ein I-Träger eine höhere Biegesteifigkeit als ein Stab aus dem gleichen Material bei einer gegebenen Masse pro Länge;
  • Härte : relativer Widerstand der Materialoberfläche gegen das Eindringen eines härteren Körpers;
  • Zähigkeit : Energiemenge, die ein Material vor dem Bruch aufnehmen kann.

Verwendungszweck

Der Elastizitätsmodul ermöglicht die Berechnung der Dimensionsänderung eines Stabes aus einem isotrop elastischen Material unter Zug- oder Druckbelastung. Es sagt beispielsweise voraus, wie stark sich eine Materialprobe unter Zug dehnt oder unter Druck verkürzt. Der Elastizitätsmodul gilt direkt für Fälle von einachsiger Beanspruchung; dh Zug- oder Druckspannung in eine Richtung und keine Spannung in die anderen Richtungen. Der Elastizitätsmodul wird auch verwendet, um die Durchbiegung vorherzusagen, die in einem statisch bestimmten Träger auftritt , wenn eine Last an einem Punkt zwischen den Trägern des Trägers aufgebracht wird.

Andere elastische Berechnungen erfordern normalerweise die Verwendung einer zusätzlichen elastischen Eigenschaft, wie beispielsweise des Schubmoduls , des Volumenmoduls und der Poissonzahl . Beliebige zwei dieser Parameter sind ausreichend, um die Elastizität in einem isotropen Material vollständig zu beschreiben. Für homogene isotrope Materialien existieren einfache Beziehungen zwischen elastischen Konstanten, die es erlauben, sie alle zu berechnen, solange zwei bekannt sind:

Linear versus nichtlinear

Der Elastizitätsmodul stellt den Proportionalitätsfaktor im Hookeschen Gesetz dar , das die Spannung und die Dehnung in Beziehung setzt. Das Hookesche Gesetz gilt jedoch nur unter der Annahme einer elastischen und linearen Antwort. Jedes echte Material wird irgendwann versagen und brechen, wenn es über eine sehr große Distanz oder mit einer sehr großen Kraft gedehnt wird; jedoch zeigen alle festen Materialien ein nahezu Hooksches Verhalten für ausreichend kleine Dehnungen oder Spannungen. Wenn der Bereich, über den das Hookesche Gesetz gültig ist, groß genug ist im Vergleich zu der typischen Spannung, die man auf das Material erwartet, wird das Material als linear bezeichnet. Andernfalls (wenn die typische Belastung außerhalb des linearen Bereichs liegt) wird das Material als nichtlinear bezeichnet.

Stahl , Kohlefaser und Glas werden unter anderem normalerweise als lineare Materialien angesehen, während andere Materialien wie Gummi und Erde nichtlinear sind. Dies ist jedoch keine absolute Klassifikation: Wenn auf ein nichtlineares Material sehr kleine Spannungen oder Dehnungen ausgeübt werden, ist die Reaktion linear, aber wenn auf ein lineares Material sehr hohe Spannungen oder Dehnungen ausgeübt werden, ist die lineare Theorie nicht genug. Da beispielsweise die lineare Theorie Reversibilität impliziert , wäre es absurd, die lineare Theorie zu verwenden, um das Versagen einer Stahlbrücke unter einer hohen Last zu beschreiben; Obwohl Stahl für die meisten Anwendungen ein lineares Material ist, ist dies in einem solchen Fall eines katastrophalen Versagens nicht der Fall.

In der Festkörpermechanik wird die Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve an einem beliebigen Punkt als Tangensmodul bezeichnet . Sie kann experimentell aus der Steigung einer Spannungs-Dehnungs-Kurve bestimmt werden, die bei Zugversuchen an einer Materialprobe erstellt wurde.

Richtungsbezogene Materialien

Der Elastizitätsmodul ist nicht immer in allen Orientierungen eines Materials gleich. Die meisten Metalle und Keramiken sind zusammen mit vielen anderen Materialien isotrop und ihre mechanischen Eigenschaften sind in allen Ausrichtungen gleich. Metalle und Keramiken können jedoch mit bestimmten Verunreinigungen behandelt werden, und Metalle können mechanisch bearbeitet werden, um ihre Kornstrukturen gerichtet zu machen. Diese Materialien werden dann anisotrop und der Youngsche Modul ändert sich in Abhängigkeit von der Richtung des Kraftvektors. Anisotropie kann auch in vielen Verbundwerkstoffen beobachtet werden. Zum Beispiel hat Kohlefaser einen viel höheren Young-Modul (ist viel steifer), wenn Kraft parallel zu den Fasern (entlang der Faser ) belastet wird. Andere solche Materialien umfassen Holz und Stahlbeton . Ingenieure können dieses Richtungsphänomen bei der Erstellung von Strukturen zu ihrem Vorteil nutzen.

Temperaturabhängigkeit

Der Young-Modul von Metallen variiert mit der Temperatur und kann durch die Änderung der interatomaren Bindung der Atome realisiert werden, und daher wird gefunden, dass seine Änderung von der Änderung der Austrittsarbeit des Metalls abhängt. Obwohl diese Änderung klassischerweise durch Anpassung und ohne einen klaren zugrunde liegenden Mechanismus (z Variation mit berechenbaren Parametern unter Verwendung der Verallgemeinerung des Lennard-Jones-Potentials auf Festkörper. Im Allgemeinen nimmt mit steigender Temperatur der Young-Modul ab, wobei die Elektronenaustrittsarbeit mit der Temperatur variiert und eine berechenbare Materialeigenschaft ist, die von der Kristallstruktur (zB BCC, FCC) abhängt. ist die Elektronenaustrittsarbeit bei T=0 und ist während der Änderung konstant.

Berechnung

Der Elastizitätsmodul E , kann berechnet werden, indem die Zugspannung , , durch die technische Dehnungsdehnung , , im elastischen (initialen, linearen) Teil der physikalischen Spannungs-Dehnungs-Kurve geteilt wird :

wo
  • ist der Elastizitätsmodul (E-Modul)
  • ist die Kraft, die auf ein unter Spannung stehendes Objekt ausgeübt wird;
  • die tatsächliche Querschnittsfläche ist, die gleich der Querschnittsfläche senkrecht zur aufgebrachten Kraft ist;
  • ist der Betrag, um den sich die Länge des Objekts ändert ( ist positiv, wenn das Material gedehnt wird, und negativ, wenn das Material gestaucht wird);
  • ist die ursprüngliche Länge des Objekts.

Kraftausübung durch gedehntes oder zusammengezogenes Material

Der Elastizitätsmodul eines Materials kann verwendet werden, um die Kraft zu berechnen, die es bei einer bestimmten Dehnung ausübt.

wo ist die Kraft, die das Material ausübt, wenn es zusammengezogen oder gedehnt wird .

Das Hookesche Gesetz für einen gestreckten Draht kann aus dieser Formel abgeleitet werden:

wo es in sättigung kommt

und

Beachten Sie jedoch, dass die Elastizität von Schraubenfedern vom Schubmodul und nicht vom Elastizitätsmodul herrührt.

Elastische potentielle Energie

Die in einem linear elastischen Material gespeicherte elastische potentielle Energie ist durch das Integral des Hookeschen Gesetzes gegeben:

jetzt durch Explizieren der intensiven Variablen:

Dies bedeutet, dass die elastische potentielle Energiedichte (d. h. pro Volumeneinheit) gegeben ist durch:

oder, in einfacher Schreibweise, für ein linear elastisches Material: , da die Dehnung definiert ist .

In einem nichtlinearen elastischen Material ist der Elastizitätsmodul eine Funktion der Dehnung, so dass die zweite Äquivalenz nicht mehr gilt und die elastische Energie keine quadratische Funktion der Dehnung ist:

Ungefähre Werte

Einflüsse ausgewählter Glaskomponentenzusätze auf den Elastizitätsmodul eines bestimmten Basisglases

Der Elastizitätsmodul kann aufgrund von Unterschieden in der Probenzusammensetzung und dem Testverfahren etwas variieren. Die Verformungsgeschwindigkeit hat den größten Einfluss auf die erhobenen Daten, insbesondere bei Polymeren. Die hier angegebenen Werte sind Näherungswerte und dienen nur dem relativen Vergleich.

Ungefährer Elastizitätsmodul für verschiedene Materialien
Material Elastizitätsmodul ( GPa ) Megapound pro Quadratzoll ( M psi ) Art.-Nr.
Aluminium ( 13 Al) 68 9,86
Aminosäure- Molekülkristalle 21 – 44 3,05 – 6,38
Aramid (zum Beispiel Kevlar ) 70,5 – 112,4 10,2 – 16,3
Aromatische Peptid-Nanosphären 230 – 275 33,4 – 39,9
Aromatische Peptid-Nanotubes 19 – 27 2,76 – 3,92
Bakteriophagen- Capside 1 – 3 0,145 – 0,435
Beryllium ( 4 Be) 287 41,6
Knochen , menschliche Kortikalis 14 2.03
Messing 106 15,4
Bronze 112 16,2
Kohlenstoffnitrid (CN 2 ) 822 119
Kohlefaserverstärkter Kunststoff (CFK), 50/50 Faser/Matrix, biaxiales Gewebe 30 – 50 4,35 – 7,25
Kohlefaserverstärkter Kunststoff (CFK), 70/30 Faser/Matrix, unidirektional, längs der Faser 181 26,3
Kobalt-Chrom (CoCr) 230 33,4
Kupfer (Cu), geglüht 110 16
Diamant (C), synthetisch 1050 – 1210 152 – 175
Kieselalge frustules weitgehend Kieselsäure 0,35 – 2,77 0,051 – 0,058
Flachsfaser 58 8.41
Schwimmendes glas 47,7 – 83,6 6,92 – 12,1
Glasfaserverstärktes Polyester (GFK) 17.2 2.49
Gold 77,2 11.2
Graphen 1050 152
Hanf - Faser 35 5.08
Polyethylen hoher Dichte (HDPE) 0,97 – 1,38 0,141 – 0,2
Hochfester Beton 30 4.35
Blei ( 82 Pb), chemisch 13 1,89
Polyethylen niedriger Dichte (LDPE), geformt 0,228 0.0331
Magnesiumlegierung 45.2 6.56
Mitteldichte Faserplatten (MDF) 4 0,58
Molybdän (Mo), geglüht 330 47,9
Monel 180 26,1
Perlmutt (überwiegend Calciumcarbonat ) 70 10,2
Nickel ( 28 Ni), kommerziell 200 29
Nylon 66 2.93 0,425
Osmium ( 76 Os) 525 – 562 76,1 – 81,5
Osmium - Nitrid (OSN 2 ) 194,99 – 396,44 28,3 – 57,5
Polycarbonat (PC) 2.2 0,319
Polyethylenterephthalat (PET), unverstärkt 3.14 0,455
Polypropylen (PP), geformt 1,68 0,244
Polystyrol , Kristall 2,5 – 3,5 0,363 – 0,508
Polystyrol , Schaum 0,0025 – 0,007 0,000363 – 0,00102
Polytetrafluorethylen (PTFE), geformt 0,564 0,0818
Gummi , kleine Dehnung 0,01 – 0,1 0,00145 – 0,0145
Silizium , Einkristall, verschiedene Richtungen 130 – 185 18,9 – 26,8
Siliziumkarbid (SiC) 90 – 137 13,1 – 19,9
Einwandige Kohlenstoff-Nanoröhrchen 1000 140
Stahl , A36 200 29
Brennnessel Faser 87 12.6
Titan ( 22 Ti) 116 16.8
Titanlegierung , Grad 5 114 16,5
Zahnschmelz , überwiegend Calciumphosphat 83 12
Wolframkarbid (WC) 600 – 686 87 – 99,5
Holz , amerikanische Buche 9,5 – 11,9 1,38 – 1,73
Holz , Schwarzkirsche 9 – 10,3 1,31 – 1,49
Holz , roter Ahorn 9,6 – 11,3 1,39 – 1,64
Schmiedeeisen 193 28
Yttrium-Eisen-Granat (YIG), polykristallin 193 28
Yttrium-Eisen-Granat (YIG), einkristallin 200 29
Zink ( 30 Zn) 108 15,7
Zirkonium ( 40 Zr), kommerziell 95 13.8

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links

Umrechnungsformeln
Homogene isotrope linear-elastische Materialien haben ihre elastischen Eigenschaften, die eindeutig durch irgendwelche zwei beliebigen Moduli unter diesen bestimmt werden; daher kann jeder andere der Elastizitätsmoduli nach diesen Formeln berechnet werden, wenn zwei beliebige gegeben sind.
Anmerkungen

Es gibt zwei gültige Lösungen.
Das Pluszeichen führt zu .

Das Minuszeichen führt zu .

Kann nicht verwendet werden, wenn