Durch Null teilen - Division by zero

Diagramm, das die schematische Darstellung von Grenzen nahe unendlich zeigt
Die Funktion y = 1/x. Wenn sich x von rechts 0 nähert , nähert sich y der Unendlichkeit. Wenn sich x von links 0 nähert , nähert sich y der negativen Unendlichkeit.

In der Mathematik ist die Division durch Null eine Division, bei der der Teiler (Nenner) Null ist . Eine solche Division kann formal so ausgedrückt werden, dass a der Dividenden (Zähler) ist. In gewöhnlichen Arithmetik hat der Ausdruck keine Bedeutung, da es keine Zahl ist , die, wenn sie von multipliziert 0 , gibt ein (vorausgesetzt ), und so eine Division durch Null ist nicht definiert . Da jede mit Null multiplizierte Zahl Null ist, ist auch der Ausdruck undefiniert; wenn es die Form eines Grenzwertes ist , ist es eine unbestimmte Form. Historisch gesehen ist eine der frühesten aufgezeichneten Hinweise auf die mathematische Unmöglichkeit, einen Wert zuzuordnen, in der Kritik des anglo-irischen Philosophen George Berkeley an der Infinitesimalrechnung von 1734 in The Analyst ("Ghosts of Departed Quantitys") enthalten.

Es gibt mathematische Strukturen, in denen für manche ein a definiert ist, wie in der Riemannschen Kugel (einem Modell der ausgedehnten komplexen Ebene ) und der projektiv ausgedehnten reellen Geraden ; jedoch erfüllen solche Strukturen nicht jede gewöhnliche Regel der Arithmetik (die Feldaxiome ).

Bei der Berechnung kann ein Programmfehler aus dem Versuch resultieren, durch Null zu dividieren. Abhängig von der Programmierumgebung und der Art der Zahl (zB Gleitkomma , Ganzzahl ), die durch Null geteilt wird, kann es nach dem IEEE 754 Gleitkomma-Standard positive oder negative Unendlichkeit erzeugen, eine Ausnahme erzeugen, eine Fehlermeldung erzeugen , das Programm veranlassen, beenden, zu einem speziellen Nicht-Zahlen- Wert führen oder abstürzen .

Grundrechenarten

Wenn die Division auf der elementaren arithmetischen Ebene erklärt wird, wird sie oft als Aufteilung einer Menge von Objekten in gleiche Teile betrachtet. Betrachten Sie als Beispiel zehn Kekse, und diese Kekse sollen gleichmäßig an fünf Personen an einem Tisch verteilt werden. Jede Person würde Cookies erhalten . Wenn es zehn Cookies gibt und nur eine Person am Tisch sitzt, würde diese Person ebenfalls Cookies erhalten .

Also, um durch Null zu dividieren, wie viele Kekse erhält jede Person, wenn 10 Kekse gleichmäßig auf 0 Personen an einem Tisch verteilt werden? Bestimmte Wörter können in der Frage lokalisiert werden, um das Problem hervorzuheben. Das Problem bei dieser Frage ist das "wann". Es gibt keine Möglichkeit, 10 Cookies an niemanden zu verteilen. So zumindest elementare Arithmetik, die entweder bedeutungslos oder nicht definiert sein.

Wenn es beispielsweise 5 Kekse und 2 Personen gibt, liegt das Problem in der "gleichmäßigen Verteilung". In jeder ganzzahligen Partition von 5 Dingen in 2 Teile hat entweder einer der Teile der Partition mehr Elemente als der andere, oder es gibt einen Rest (geschrieben als5/2= 2 r1). Oder das Problem mit 5 Keksen und 2 Personen kann gelöst werden, indem man einen Keks halbiert, was die Idee der Brüche einführt (5/2= 2+1/2) . Das Problem mit 5 Cookies und 0 Personen kann dagegen nicht so gelöst werden, dass die Bedeutung von "teilt" gewahrt wird.

In der elementaren Algebra kann man die Division durch Null auch so betrachten, dass die Division immer durch Multiplikation überprüft werden kann. Unter Berücksichtigung der10/0Beispiel oben, Einstellung x =10/0, wenn x gleich zehn geteilt durch null ist, dann ist x mal null gleich zehn, aber es gibt kein x , das, wenn es mit null multipliziert wird, zehn ergibt (oder eine andere Zahl als null). Wenn statt x =10/0, x =0/0, dann erfüllt jedes x die Frage 'Welche Zahl x ergibt, multipliziert mit Null, Null?'

Frühe Versuche

Das Brāhmasphuṭasiddhānta von Brahmagupta (ca. 598–668) ist der früheste Text, der Null als eine eigene Zahl behandelt und Operationen mit Null definiert. Die Division durch Null konnte der Autor in seinen Texten nicht erklären: Seine Definition führt nachweislich zu algebraischen Absurditäten. Laut Brahmagupta,

Eine positive oder negative Zahl, wenn sie durch Null geteilt wird, ist ein Bruch mit der Null als Nenner. Null geteilt durch eine negative oder positive Zahl ist entweder Null oder wird als Bruch mit Null als Zähler und der endlichen Größe als Nenner ausgedrückt. Null geteilt durch Null ist Null.

Im Jahr 830 versuchte Mahāvīra erfolglos, Brahmaguptas Fehler in seinem Buch in Ganita Sara Samgraha zu korrigieren : "Eine Zahl bleibt unverändert, wenn sie durch Null geteilt wird."

Algebra

Die vier Grundoperationen – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division –, wie sie auf ganze Zahlen (positive ganze Zahlen) angewendet werden, mit einigen Einschränkungen, in der elementaren Arithmetik werden als Rahmen verwendet, um die Erweiterung des Zahlenbereichs zu unterstützen, für den sie gelten. Um zum Beispiel jede ganze Zahl von einer anderen subtrahieren zu können, muss der Zahlenbereich auf die gesamte Menge der ganzen Zahlen erweitert werden, um die negativen ganzen Zahlen einzubeziehen. Um die Division einer ganzen Zahl durch eine andere zu unterstützen, muss der Zahlenbereich auf die rationalen Zahlen erweitert werden . Bei dieser schrittweisen Erweiterung des Nummernsystems wird darauf geachtet, dass die "erweiterten Operationen" bei den älteren Nummern nicht zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Da die Division durch Null in der Ganzzahleinstellung keine Bedeutung hat ( undefiniert ist ), bleibt dies, grob gesagt, so , wie die Einstellung auf die reellen oder sogar komplexen Zahlen erweitert wird .

Mit der Erweiterung des Zahlenbereichs, auf den diese Operationen angewendet werden können, ändert sich auch die Ansicht der Operationen. Im Bereich der ganzen Zahlen wird die Subtraktion beispielsweise nicht mehr als grundlegende Operation angesehen, da sie durch die Addition von vorzeichenbehafteten Zahlen ersetzt werden kann. In ähnlicher Weise wird die Division durch die Multiplikation mit bestimmten rationalen Zahlen ersetzt, wenn der Zahlenbereich um die rationalen Zahlen erweitert wird. Entsprechend dieser veränderten Sichtweise wird die Frage „Warum können wir nicht durch Null dividieren?“ zu „Warum kann eine rationale Zahl keinen Nenner Null haben?“. Die genaue Beantwortung dieser überarbeiteten Frage erfordert eine genaue Prüfung der Definition der rationalen Zahlen.

Im modernen Ansatz zur Konstruktion des Körpers der reellen Zahlen erscheinen die rationalen Zahlen als Zwischenschritt in der mengentheoretisch begründeten Entwicklung. Zunächst werden die natürlichen Zahlen (einschließlich Null) auf axiomatischer Basis wie dem Peano-Axiomensystem erstellt und dann auf den Ring der ganzen Zahlen erweitert . Der nächste Schritt besteht darin, die rationalen Zahlen zu definieren, wobei zu beachten ist, dass dies nur mit den bereits etablierten Mengen und Operationen erfolgen muss, nämlich Addition, Multiplikation und Ganzzahlen. Beginnen Sie mit der Menge geordneter Paare von ganzen Zahlen, {( a , b )} mit b 0 , definieren Sie eine binäre Relation auf dieser Menge durch ( a , b ) ( c , d ) genau dann, wenn ad = bc . Diese Relation wird als Äquivalenzrelation gezeigt und ihre Äquivalenzklassen werden dann als rationale Zahlen definiert. Im formalen Beweis, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist, wird die Forderung benötigt, dass die zweite Koordinate nicht Null ist (zum Nachweis der Transitivität ).

Die obige Erklärung mag für viele Zwecke zu abstrakt und technisch sein, aber wenn man die Existenz und Eigenschaften der rationalen Zahlen annimmt, wie es in der elementaren Mathematik üblich ist, wird der "Grund", dass die Division durch Null nicht erlaubt ist, verborgen. Dennoch kann in diesem Kontext eine (nicht strenge) Begründung gegeben werden.

Aus den Eigenschaften des von uns verwendeten Zahlensystems (d. h. ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen usw.) folgt, wenn b ≠ 0 ist, dann gilt die Gleichungein/B= c entspricht a = b × c . Vorausgesetzt, dassein/0eine Zahl c ist , dann muss a = 0 × c = 0 sein . Allerdings müsste dann die einzelne Zahl c durch die Gleichung 0 = 0 × c bestimmt werden , aber jede Zahl erfüllt diese Gleichung, sodass wir keinen Zahlenwert zuordnen können0/0.

Division als Kehrwert der Multiplikation

Das Konzept, das die Division in der Algebra erklärt, ist, dass sie die Umkehrung der Multiplikation ist. Zum Beispiel,

da 2 der Wert ist, für den die unbekannte Größe in
ist wahr. Aber der Ausdruck
erfordert einen Wert für die unbekannte Größe in
Aber jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ist 0 und daher gibt es keine Zahl, die die Gleichung löst.

Der Ausdruck

erfordert einen Wert für die unbekannte Größe in
Auch hier ist jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, 0 und daher löst dieses Mal jede Zahl die Gleichung, anstatt dass es eine einzige Zahl gibt, die als Wert von genommen werden kann0/0.

Im Allgemeinen kann einem Bruch mit dem Nenner 0 kein einzelner Wert zugewiesen werden, sodass der Wert undefiniert bleibt.

Irrtümer

Ein zwingender Grund, die Division durch Null nicht zuzulassen, besteht darin, dass, wenn sie erlaubt wäre, viele absurde Ergebnisse (dh Trugschlüsse ) auftreten würden. Beim Arbeiten mit numerischen Größen lässt sich leicht feststellen, wann ein unzulässiger Versuch einer Division durch Null unternommen wird. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Berechnung.

Mit den Annahmen:

folgendes ist wahr:

Dividiert man beide Seiten durch Null, erhält man:

Vereinfacht ergibt sich daraus:

Der Trugschluss hier ist die Annahme, dass das Teilen von 0 durch 0 eine legitime Operation mit denselben Eigenschaften wie das Teilen durch jede andere Zahl ist.

Es ist jedoch möglich, eine Division durch Null in einem algebraischen Argument zu verschleiern , was zu ungültigen Beweisen führt , die beispielsweise 1 = 2 wie die folgenden sind:

Sei 1 = x .

Multipliziere mit x , um zu erhalten

Subtrahiere 1 von jeder Seite, um zu erhalten
Teilen Sie beide Seiten durch x − 1
was vereinfacht zu
Aber da x = 1 ist ,

Die verdeckte Division durch Null tritt auf, da x − 1 = 0 ist, wenn x = 1 ist .

Analyse

Erweiterte Reallinie

Auf den ersten Blick scheint es möglich, a /0 zu definieren, indem man den Grenzwert von a / b betrachtet, wenn b gegen 0 geht.

Für jedes positive a ist der Grenzwert von rechts

der Grenzwert von links ist jedoch

und somit ist der undefiniert (der Grenzwert ist auch für negatives a undefiniert ).

Darüber hinaus gibt es keine offensichtliche Definition von 0/0 , die sich aus der Betrachtung des Grenzwertes eines Verhältnisses ableiten lässt. Das Limit

ist nicht vorhanden. Grenzen der Form
wobei sowohl f ( x ) als auch g ( x ) sich 0 nähern, wenn x sich 0 annähert, jeden reellen oder unendlichen Wert haben oder überhaupt nicht existieren können, abhängig von den speziellen Funktionen f und g .

Betrachten Sie zum Beispiel:

Dies erscheint zunächst unbestimmt. Jedoch:

und somit existiert der Grenzwert und ist gleich .

Diese und andere ähnliche Tatsachen zeigen, dass der Ausdruck als Grenze nicht gut definiert werden kann.

Formale Operationen

Eine formale Berechnung wird nach arithmetischen Regeln durchgeführt, ohne zu berücksichtigen, ob das Ergebnis der Berechnung wohldefiniert ist. Daher ist es manchmal nützlich, sich a /0 mit a  0 als vorzustellen . Diese Unendlichkeit kann je nach Kontext entweder positiv, negativ oder ohne Vorzeichen sein. Formal zum Beispiel:

Wie bei jeder formalen Berechnung können ungültige Ergebnisse erhalten werden. Eine logisch rigorose (im Gegensatz zu einer formalen) Berechnung würde nur behaupten, dass

Da die einseitigen Grenzen unterschiedlich sind, existiert die zweiseitige Grenze im Standardrahmen der reellen Zahlen nicht. Außerdem bleibt der Bruch 1/0 in der erweiterten reellen Geraden undefiniert , daher ist und

sind sinnlose Ausdrücke .

Projektiv verlängerte Reallinie

Die Menge ist die projektiv verlängerte reelle Gerade , die eine Einpunktkompaktifizierung der reellen Geraden ist. Hier bedeutet eine vorzeichenlose Unendlichkeit , eine unendliche Größe, die weder positiv noch negativ ist. Diese Menge genügt , was in diesem Zusammenhang erforderlich ist. In dieser Struktur kann für Nicht - Null definiert werden ein , und wenn ein nicht . Es ist die natürliche Weise, den Bereich der Tangensfunktion und der Kotangensfunktionen der Trigonometrie zu betrachten : tan( x ) nähert sich dem einzelnen Punkt im Unendlichen, wenn x sich entweder + . nähertπ/2oder π/2 aus beiden Richtungen.

Diese Definition führt zu vielen interessanten Ergebnissen. Die resultierende algebraische Struktur ist jedoch kein Feld , und es sollte nicht erwartet werden, dass es sich wie eines verhält. Beispielsweise ist in dieser Verlängerung die reelle Linie undefiniert.

Riemann-Kugel

Die Menge ist die Riemannsche Kugel , die in der komplexen Analysis von großer Bedeutung ist . Auch hier ist eine Unendlichkeit ohne Vorzeichen – oder, wie es in diesem Zusammenhang oft genannt wird, der Punkt im Unendlichen . Diese Menge ist der projektiv erweiterten reellen Geraden analog, basiert jedoch auf dem Körper der komplexen Zahlen . In der Riemannschen Sphäre sind und , aber und undefiniert.

Erweiterter nicht-negativer reeller Zahlenstrahl

Die negativen reellen Zahlen können verworfen und Unendlich eingeführt werden, was zu der Menge [0, ∞] führt , wobei die Division durch Null natürlich definiert werden kann alsein/0= ∞ für positives  a . Während dadurch die Division in mehr Fällen als üblich definiert wird, bleibt die Subtraktion in vielen Fällen undefiniert, da es keine negativen Zahlen gibt.

Höhere Mathematik

Obwohl die Division durch Null mit reellen Zahlen und ganzen Zahlen nicht sinnvoll definiert werden kann, ist es möglich, sie oder ähnliche Operationen in anderen mathematischen Strukturen konsistent zu definieren.

Nicht-Standard-Analyse

Bei den hyperrealen Zahlen und den surrealen Zahlen ist eine Division durch Null immer noch unmöglich, aber eine Division durch Infinitesimals ungleich Null ist möglich.

Verteilungstheorie

In der Verteilungstheorie kann man die Funktion auf eine Verteilung auf dem ganzen Raum der reellen Zahlen erweitern (in der Tat durch Verwendung von Cauchy-Hauptwerten ). Es macht jedoch keinen Sinn, nach einem "Wert" dieser Verteilung bei x  = 0 zu fragen ; eine ausgeklügelte Antwort bezieht sich auf die singuläre Unterstützung der Verteilung.

Lineare Algebra

In der Matrixalgebra (oder allgemein der linearen Algebra ) kann man eine Pseudodivision definieren, indem man a / b  =  ab + setzt , wobei b + die Pseudoinverse von b darstellt . Es kann bewiesen werden, dass wenn b −1 existiert, dann b + = b −1 . Wenn b gleich 0 ist, dann ist b + = 0.

Abstrakte Algebra

Jedes Zahlensystem, das einen kommutativen Ring bildet – zum Beispiel die ganzen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen – kann zu einem Rad erweitert werden, in dem eine Division durch Null immer möglich ist; in einem solchen Fall hat "Teilung" jedoch eine etwas andere Bedeutung.

Die auf die Standardarithmetik angewendeten Konzepte ähneln denen in allgemeineren algebraischen Strukturen wie Ringen und Feldern . In einem Körper ist jedes Element ungleich Null unter Multiplikation invertierbar; wie oben wirft die Division nur dann Probleme auf, wenn versucht wird, durch Null zu dividieren. Dies gilt auch in einem Schrägfeld (das aus diesem Grund als Teilungsring bezeichnet wird ). In anderen Ringen kann die Division durch Elemente ungleich null jedoch auch Probleme aufwerfen. Zum Beispiel der Ring Z /6 Z der ganzen Zahlen mod 6. Die Bedeutung des Ausdrucks sollte die Lösung x der Gleichung sein . Aber im Ring Z /6 Z ist 2 ein Nullteiler . Diese Gleichung hat zwei unterschiedliche Lösungen, x = 1 und x = 4 , so dass der Ausdruck ist nicht definiert .

In der Feldtheorie ist der Ausdruck nur eine Abkürzung für den formalen Ausdruck ab −1 , wobei b −1 die multiplikative Inverse von b ist . Da die Körperaxiome nur die Existenz solcher Inversen für Elemente ungleich null garantieren, hat dieser Ausdruck keine Bedeutung, wenn b null ist. Moderne Texte, die Felder als einen speziellen Ringtyp definieren, enthalten das Axiom 0 ≠ 1 für Felder (oder dessen Äquivalent), damit der Nullring als Feld ausgeschlossen wird. Im Nullring ist eine Division durch Null möglich, was zeigt, dass die anderen Körper-Axiome nicht ausreichen, um eine Division durch Null in einem Körper auszuschließen.

Computerarithmetik

Die meisten Taschenrechner, wie dieser Texas Instruments TI-86 , stoppen die Ausführung und zeigen eine Fehlermeldung an, wenn der Benutzer oder ein laufendes Programm versucht, durch Null zu dividieren.
Die Division durch Null auf dem Android 2.2.1-Rechner zeigt das Symbol der Unendlichkeit.

Der IEEE-Gleitkomma-Standard , der von fast allen modernen Gleitkomma-Einheiten unterstützt wird , legt fest, dass jede Gleitkomma- Rechenoperation, einschließlich der Division durch Null, ein wohldefiniertes Ergebnis hat. Der Standard unterstützt Null mit Vorzeichen , sowie Unendlich und NaN ( keine Zahl ). Es gibt zwei Nullen: +0 ( positive Null ) und –0 ( negative Null ) und dies beseitigt jede Mehrdeutigkeit beim Dividieren. In der IEEE 754- Arithmetik ist a  +0 positiv unendlich, wenn a positiv ist, negativ unendlich, wenn a negativ ist, und NaN, wenn a  = ±0 ist. Die Unendlichkeitszeichen ändern sich stattdessen, wenn durch −0 geteilt wird.

Die Begründung für diese Definition besteht darin, das Vorzeichen des Ergebnisses im Falle eines arithmetischen Unterlaufs zu erhalten . Bei der Berechnung mit einfacher Genauigkeit 1/( x /2), wobei x = ±2 −149 , läuft die Berechnung x /2 beispielsweise unter und erzeugt ±0 mit Vorzeichenübereinstimmung x , und das Ergebnis ist ±∞ mit Vorzeichenübereinstimmung x . Das Vorzeichen stimmt mit dem des exakten Ergebnisses ±2 150 überein , aber die Größe des exakten Ergebnisses ist zu groß, um es darzustellen, daher wird unendlich verwendet, um einen Überlauf anzuzeigen.

Ganzzahldivision durch Null wird normalerweise anders gehandhabt als Gleitkomma, da es keine Ganzzahldarstellung für das Ergebnis gibt. Einige Prozessoren erzeugen eine Ausnahme, wenn versucht wird, eine ganze Zahl durch Null zu dividieren, während andere einfach fortfahren und ein falsches Ergebnis für die Division erzeugen. Das Ergebnis hängt davon ab, wie die Division implementiert wird, und kann entweder Null oder manchmal die größtmögliche Ganzzahl sein.

Wegen der unsachgemäßen algebraischen Ergebnisse von beliebigem Wert Division durch Null zuweisen, viel Computer - Programmiersprachen (einschließlich dem von verwendeten Rechnern ) explizit die Ausführung der Operation verbieten und ein Programm vorzeitig stoppen kann , dass Versuche, manchmal Berichterstattung eine „Division durch Null " Error. Wenn in diesen Fällen ein spezielles Verhalten für die Division durch Null erwünscht ist, muss die Bedingung explizit getestet werden (z. B. mit einer if-Anweisung ). Einige Programme (insbesondere diejenigen, die Festkomma-Arithmetik verwenden, für die keine dedizierte Gleitkomma-Hardware verfügbar ist) verwenden ein Verhalten ähnlich dem IEEE-Standard und verwenden große positive und negative Zahlen, um Unendlichkeiten anzunähern. In einigen Programmiersprachen führt der Versuch, durch Null zu dividieren, zu undefiniertem Verhalten . Die in vielen Schulen verwendete grafische Programmiersprache Scratch 2.0 und 3.0 gibt je nach Vorzeichen der Dividende Infinity oder −Infinity zurück.

Bei der Zweierkomplement- Arithmetik sind Versuche, die kleinste ganze Zahl mit Vorzeichen durch −1 zu teilen, mit ähnlichen Problemen verbunden und werden mit dem gleichen Lösungsbereich behandelt, von expliziten Fehlerbedingungen bis hin zu undefiniertem Verhalten .

Die meisten Rechner geben entweder einen Fehler zurück oder geben an, dass 1/0 nicht definiert ist; Einige TI- und HP- Grafikrechner werten jedoch (1/0) 2 bis aus.

Microsoft Math und Mathematica kehren ComplexInfinityfür 1/0 zurück. Maple und SageMath geben eine Fehlermeldung für 1/0 und unendlich für 1/0.0 zurück (0.0 weist diese Systeme an, Gleitkommaarithmetik anstelle von algebraischer Arithmetik zu verwenden).

Einige moderne Taschenrechner erlauben in besonderen Fällen die Division durch Null, wo sie für Studenten nützlich ist und vermutlich von Mathematikern im Kontext verstanden wird. Einige Rechner, der Online- Desmos- Rechner ist ein Beispiel, erlauben Arkustangens(1/0). Den Schülern wird oft beigebracht, dass die inverse Kotangensfunktion arccotangens berechnet werden sollte, indem der Arkustangens des Kehrwerts genommen wird, und so kann ein Taschenrechner arctangens(1/0) zulassen , was den korrekten Wert von arccotangens 0 liefert mathematische Begründung ist, dass die Grenze, wenn x gegen Null geht, von Arkustangens 1/x ist .

Historische Unfälle

  • Am 21. September 1997 brachte eine Division durch Null Fehler im "Remote Data Base Manager" an Bord der USS Yorktown (CG-48) alle Maschinen im Netzwerk zum Stillstand, wodurch das Antriebssystem des Schiffes versagte.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Quellen

  • Bunch, Bryan (1997) [1982], Mathematische Irrtümer und Paradoxe , Dover, ISBN 978-0-486-29664-7
  • Klein, Felix (1925), Elementare Mathematik von einem fortgeschrittenen Standpunkt / Arithmetik, Algebra, Analysis , übersetzt von Hedrick, ER; Noble, CA (3. Aufl.), Dover
  • Hamilton, AG (1982), Zahlen, Sätze und Axiome , Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
  • Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
  • Patrick Suppes 1957 (Ausgabe 1999 in Dover), Einführung in die Logik , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN  0-486-40687-3 (Pbk.). Dieses Buch ist in gedruckter Form und sofort verfügbar. Suppes' §8.5 Das Problem der Division durch Null beginnt so: "Dass in dieser besten aller möglichen Welten, selbst in der Mathematik, nicht alles zum Besten ist, wird gut durch das leidige Problem der Definition der Divisionsoperation in der Elementartheorie veranschaulicht der Arithmetik" (S. 163). In seinem §8.7 Five Approaches to Division by Zero bemerkt er, dass "...es keine einheitlich zufriedenstellende Lösung gibt" (S. 166)
  • Schumacher, Carol (1996), Kapitel Null: Grundbegriffe der abstrakten Mathematik , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea , Penguin Books, NY, ISBN  0-14-029647-6 (Pbk.). Dieses preisgekrönte Buch ist sehr zugänglich. Beschreibt zusammen mit der faszinierenden Geschichte einer (für manche) abscheulichen Vorstellung und anderen ein Kulturgut, wie die Null in Bezug auf Multiplikation und Division falsch angewendet wird.
  • Alfred Tarski 1941 (Ausgabe 1995 in Dover), Einführung in die Logik und die Methodik der Deduktiven Wissenschaften , Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN  0-486-28462-X (Pbk.). Tarskis §53 Definitionen, deren Definition das Identitätszeichen enthält, diskutiert, wie Fehler gemacht werden (zumindest in Bezug auf Null). Er beendet sein Kapitel "(Eine Diskussion dieses ziemlich schwierigen Problems [genau eine Zahl, die ein definiens erfüllt] wird hier weggelassen.*)" (S. 183). Das * weist auf Übung #24 (S. 189) hin, in der er um einen Beweis bittet: "In Abschnitt 53 wurde die Definition der Zahl '0' beispielhaft angegeben zu einem Widerspruch führen, sollte ihm folgender Satz vorangestellt werden: Es gibt genau eine Zahl x, so dass für jede Zahl y gilt: y + x = y "

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