't Hooft-Operator - 't Hooft operator

In der theoretischen Physik ist ein 't Hooft-Operator , der 1978 von Gerard 't Hooft in der Arbeit "On the phase Transition to permanent Quark Confinement" eingeführt wurde, eine duale Version der Wilson-Schleife, in der das elektromagnetische Potential A durch sein elektromagnetisches ersetzt wird dual A mag , wobei die äußere Ableitung von A gleich dem Hodge - Dual der äußeren Ableitung von A mag ist . In d-Raumzeit-Dimensionen ist A mag eine (d-3) -Form und somit ist der 't Hooft-Operator das Integral von A mag über eine (d-3)-dimensionale Fläche.

Störungsoperator

Während die Wilson-Schleife ein Ordnungsoperator ist , ist der 't-Hooft-Operator ein Beispiel für einen Unordnungsoperator, da er eine Singularität oder eine Diskontinuität in den Fundamentalfeldern wie dem elektromagnetischen Potential A erzeugt . Zum Beispiel erzeugt in einer SU(N) -Yang-Mills-Eichtheorie ein 't-Hooft-Operator einen magnetischen Dirac-Monopol in Bezug auf das Zentrum von SU(N). Liegt ein Kondensat vor, das sich in eine unter der Wirkung des Zentrums invariante Darstellung von SU(N) umwandelt , wie die adjungierte Darstellung , dann wird der magnetische Monopol durch einen entlang einer Dirac-Schnur vom Monopol nach liegenden Wirbel begrenzt entweder ein Antimonopol oder bis ins Unendliche. Dieser Wirbel ähnelt einem Nielsen-Olesen-Wirbel , trägt jedoch eine Ladung unter dem Zentrum von SU(N), und so können N solche Wirbel vernichten.

In seiner Arbeit von 1978 zeigte 't Hooft, dass Wilson-Schleifen und 't-Hooft-Operatoren bis zu einer Phase kommutieren, die eine n-te Einheitswurzel ist . Die Wahl der Einheitswurzel hängt von der Verknüpfungszahl der Wilson-Schleife und des Wirbels ab. 't Hooft behauptete, dass diese scheinbar nicht-lokale Kommutierungsbeziehung impliziert, dass jede Phase einer Yang-Mills-Eichtheorie entweder masselose Teilchen enthalten muss, die für die Wechselwirkungen zwischen dem 't Hooft-Operator und der Wilson-Schleife verantwortlich sind, oder zumindest eine von die beiden Operatoren müssen durch ein eine Dimension höher liegendes Objekt begrenzt werden. Er identifizierte die Phase, in der der 't-Hooft-Operator eingeschlossen ist, als die Higgs-Phase , in der die Eingrenzung magnetischer Monopole durch Wirbel eine bekannte Folge des bereits in Typ-II- Supraleitern beobachteten Meissner-Effekts war . Er identifizierte die Phase, in der die Wilson-Schleife eingeschlossen ist, als die Einschlussphase, da eine Wilson-Schleife die Wirkung einer elektrischen Ladung ist. Schließlich ließ er die Möglichkeit von Mischphasen offen, in denen beide eingeschlossen sind. Obwohl solche Mischphasen damals in der Quantenfeldtheorie noch nicht gesehen wurden, sind sie heute beispielsweise in der konformen Feldtheorie von Argyres-Douglas bekannt. Daher argumentierte er, dass Eichtheorien sich notwendigerweise in einer dieser vier möglichen Phasen befinden.

't Hooft hat eine einfache Formel für die Skalierungen der Wilson- und 't Hooft-Operatoren in den verschiedenen Phasen gefunden. Wenn ein gegebener Operator eingeschränkt ist, wird eine endliche Spannungsfläche erzeugt, deren Grenze der Operator ist. Die Wirkung der Konfiguration im Grenzbereich, in dem die Konfiguration groß ist, skaliert daher mit dem Volumen dieser Oberfläche. In der eingrenzenden Phase werden die Wilson-Schleifen durch eine zweidimensionale Fläche begrenzt, und so skaliert die Wirkung einer Wilson-Schleife mit der Fläche dieser Fläche. In der Higgs-Phase ist der (d-3)-dimensionale 't Hooft-Operator beschränkt, und so skaliert die Aktion als die Fläche der (d-2)-dimensionalen Begrenzungsfläche. Zum Beispiel skaliert in der eingrenzenden Phase in 4 Raum-Zeit-Dimensionen die Aktion des 't Hooft-Operators mit dem Quadrat der Entfernung. In der gemischten Phase sind beide Operatoren beschränkt, und daher gehorchen beide dieser Skalierung.

Andererseits behauptete er, dass, wenn ein gegebener Operator Higgsed ist, die entsprechenden Gluonen massiv sind und die Aktion daher exponentiell vom Operator abfällt. Daher ist die Aktion proportional zum Volumen der Oberfläche, auf der der Operator selbst ausgewertet wird. In der Higgs-Phase ist das Eichfeld beispielsweise Higgsed, und daher ist die Wilson-Schleifenaktion proportional zur Länge der Schleife, die linear mit der Entfernung skaliert. In der eingrenzenden Phase wird der 't Hooft-Operator Higgsed, so dass die entsprechende Aktion als Fläche der entsprechenden (d-3)-dimensionalen Fläche, zB linear in 4 Raumzeit-Dimensionen, fehlschlägt. Insbesondere 't Hooft kam zu dem Schluss, dass in 4 Dimensionen, wenn sowohl die Aktionen der Wilson- als auch der 't Hooft-Schleife linear skalieren, beide Higgsed sind und daher masselose Teilchen im Spektrum vorhanden sein müssen.

Heute ist 't Hoofts Phasenklassierung die Grundlage für die Klassifizierung des QCD-Phasendiagramms , wobei sich die Higgs-Phase bei den kalten Temperaturen und niedrigen Dichten manifestiert, die normalerweise auf der Erde zu finden sind, masselose Teilchen und Dekonfinierung bei Hochtemperaturexperimenten am RHIC und bald am LHC und möglicherweise gemischte Phasen, die in den Kernen von Neutronensternen existieren .

Im Jahr 2009 kam eine Studie von J. Gomis et al. zu dem Schluss, dass der 't Hooft-Operator die Ergebnisse der dualen Wilson-Schleife exakt reproduziert und die Vorhersagen bestätigt.

Siehe auch

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