Eine Gruppe - A-group

In der Mathematik ist im Bereich der abstrakten Algebra, die als Gruppentheorie bekannt ist , eine A-Gruppe ein Gruppentyp, der abelschen Gruppen ähnlich ist . Die Gruppen wurden erstmals in den 1940er Jahren von Philip Hall untersucht und werden bis heute untersucht. Über ihre Struktur ist viel bekannt.

Definition

Eine A-Gruppe ist eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft , dass alle seine Sylow Untergruppen sind abelian .

Geschichte

Der Begriff A-Gruppe wurde wahrscheinlich erstmals in ( Halle 1940 , Abschnitt 9) verwendet, wo die Aufmerksamkeit auf lösliche A-Gruppen beschränkt war. Halls Präsentation war ohne Beweise eher kurz, aber seine Bemerkungen wurden bald mit Beweisen in ( Taunt 1949 ) erweitert. Die Darstellungstheorie von A-Gruppen wurde in ( Itô 1952 ) untersucht. Carter veröffentlichte dann eine wichtige Beziehung zwischen Carter-Untergruppen und Halls Arbeit in ( Carter 1962 ). Die Arbeit von Hall, Taunt und Carter wurde in ( Huppert 1967 ) in Lehrbuchform vorgestellt . Der Fokus auf lösliche A-Gruppen wurde erweitert, mit der Klassifizierung endlicher einfacher A-Gruppen in ( Walter 1969 ), die es ermöglichte, Taunts Arbeit auf endliche Gruppen in ( Broshi 1971 ) zu verallgemeinern . Das Interesse an A-Gruppen auch durch eine wichtige Beziehung zu verbreiterten Sorten von Gruppen in (diskutiert Ol'šanskiĭ 1969 ). Das moderne Interesse an A-Gruppen wurde erneuert, als neue Aufzählungstechniken enge asymptotische Grenzen für die Anzahl unterschiedlicher Isomorphismusklassen von A-Gruppen in ermöglichten ( Venkataraman 1997 ).

Eigenschaften

Über A-Gruppen kann Folgendes gesagt werden:

• Jede Untergruppe , Quotientengruppe und jedes direkte Produkt von A-Gruppen sind A-Gruppen.
• Jede endliche abelsche Gruppe ist eine A-Gruppe.
• Eine endliche nilpotente Gruppe ist genau dann eine A-Gruppe, wenn sie abelisch ist.
• Die symmetrische Gruppe an drei Punkten ist eine A-Gruppe, die nicht abelsch ist.
• Jede Gruppe würfelfreier Bestellungen ist eine A-Gruppe.
• Die abgeleitete Länge einer A-Gruppe kann beliebig groß sein, aber nicht größer als die Anzahl der in ( Halle 1940 ) angegebenen und in Lehrbuchform als ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.16 ) dargestellten Anzahl von Hauptteilern der Ordnung ).
• Die untere nilpotente Reihe stimmt mit der abgeleiteten Reihe überein ( Halle 1940 ).
• Eine lösliche A-Gruppe hat eine einzigartige maximale abelsche normale Untergruppe ( Halle 1940 ).
• Die Montage Untergruppe einer auflösbar A-Gruppe auf das direkte Produkt der gleich Zentren der Bedingungen der abgeleiteten Reihen , zuerst in (angegeben Halle 1940 ), dann in (bewährte Taunt 1949 ), und in einem Lehrbuchform (presented Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.8).
• Eine nicht-abelsche endliche einfache Gruppe ist genau dann eine A-Gruppe, wenn sie isomorph zur ersten Janko-Gruppe oder zu PSL (2, q ) ist, wobei q > 3 und entweder q = 2 ⁿ oder q ≡ 3,5 mod 8 , wie in ( Walter 1969 ) gezeigt.
• Alle Gruppen in der Sorte, die von einer endlichen Gruppe erzeugt werden, sind genau dann endlich annähernd, wenn diese Gruppe eine A-Gruppe ist, wie in ( Ol'šanskiĭ 1969 ) gezeigt.
• Wie Z-Gruppen , deren Sylow-Untergruppen zyklisch sind, können A-Gruppen aufgrund der Einschränkungen der lokalen Struktur leichter zu studieren sein als allgemeine endliche Gruppen. Beispielsweise wurde eine genauere Aufzählung löslicher A-Gruppen nach einer Aufzählung löslicher Gruppen mit festen, aber willkürlichen Sylow-Untergruppen gefunden ( Venkataraman 1997 ). Eine gemächlichere Darstellung findet sich in ( Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007 , Kap. 12).

Verweise

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