Satz von Wedderburn-Artin - Wedderburn–Artin theorem

In der Algebra ist der Satz von Wedderburn-Artin ein Klassifikationssatz für halbeinfache Ringe und halbeinfache Algebren . Der Satz besagt, dass ein (Artinscher) halbeinfacher Ring R isomorph zu einem Produkt von endlich vielen n _i -by- n _i Matrixringen über Teilungsringen D _{i ist} , für einige ganze Zahlen n _i , die beide bis auf die Permutation von eindeutig bestimmt sind der Index i . Insbesondere ist jeder einfache linke oder rechte Artinsche Ring isomorph zu einem n- mal- n- Matrixring über einem Teilungsring D , wobei sowohl n als auch D eindeutig bestimmt sind.

Satz

Sei R ein halbeinfacher Ring . Dann ist R isomorph zu einem Produkt von endlich vielen n _i -mal- n _i Matrixringen über Teilungsringen D _i für einige ganze Zahlen n _i , die beide bis auf die Permutation des Index i eindeutig bestimmt sind . ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$

Wenn R eine endlichdimensionale halbeinfache k - Algebra ist , dann ist jedes D _i in der obigen Aussage eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über k . Der Mittelpunkt jedes D _i muss nicht k sein ; es könnte eine endliche Erweiterung von k sein .

Beachten Sie, dass , wenn R eine endlich-dimensionale einfache Algebra über einen Teilungsring ist E , D muss nicht in enthalten sein E . Zum Beispiel sind Matrixringe über den komplexen Zahlen endlichdimensionale einfache Algebren über den reellen Zahlen .

Folgerung 1

Der Satz von Wedderburn-Artin impliziert, dass jeder einfache Ring , der über einem Teilungsring endlichdimensional ist, isomorph zu einem n- mal- n- Matrixring über einem Teilungsring D ist , wobei sowohl n als auch D eindeutig bestimmt sind. Dies ist das ursprüngliche Ergebnis von Joseph Wedderburn . Emil Artin verallgemeinerte es später auf den Fall von linken oder rechten Artinian-Ringen . Wenn es sich insbesondere um einen algebraisch abgeschlossenen Körper handelt, dann ist der Matrixring mit Einträgen von die einzige endlichdimensionale Divisionsalgebra über . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Folgerung 2

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Sei R ein halbeinfacher Ring, der eine endlichdimensionale k- Algebra ist. Dann ist R ein endliches Produkt mit positiven ganzen Zahlen und ist die Algebra der Matrizen über k . ${\displaystyle \textstyle \prod_{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle M_{n_{i}}(k)}$${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$

Folge

Der Satz von Wedderburn-Artin reduziert das Problem der Klassifizierung endlichdimensionaler zentraler einfacher Algebren über einem Körper K auf das Problem der Klassifizierung endlichdimensionaler zentraler Divisionsalgebren über K .

Siehe auch

• Maschkes Theorem
• Brauer-Gruppe
• Jacobson-Dichtesatz
• Hyperkomplexe Zahl

Verweise

• PM Cohn (2003) Basic Algebra: Groups, Rings, and Fields , Seiten 137–9.
• JHM Wedderburn (1908). "Über hyperkomplexe Zahlen" . Proceedings of the London Mathematical Society . 6 : 77–118. doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77 .
• Artin, E. (1927). "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen". 5 : 251–260. Cite Journal erfordert |journal=( Hilfe )