Hyperkomplexe Zahl - Hypercomplex number

In der Mathematik ist hyperkomplexe Zahl ein traditioneller Begriff für ein Element einer endlichdimensionalen unitalen Algebra über dem Körper der reellen Zahlen . Die Erforschung hyperkomplexer Zahlen im späten 19. Jahrhundert bildet die Grundlage der modernen Gruppenrepräsentationstheorie .

Geschichte

Im neunzehnten Jahrhundert wurden Zahlensysteme, die Quaternionen , Tessarine , Coquaternionen , Biquaternionen und Oktonionen genannt werden, zu etablierten Konzepten in der mathematischen Literatur, die zu den reellen und komplexen Zahlen hinzugefügt wurden . Das Konzept einer hyperkomplexen Zahl deckte sie alle ab und erforderte eine Disziplin, um sie zu erklären und zu klassifizieren.

Das Katalogisierungsprojekt begann 1872, als Benjamin Peirce zum ersten Mal seine Lineare Assoziative Algebra veröffentlichte , und wurde von seinem Sohn Charles Sanders Peirce weitergeführt . Vor allem identifizierten sie die nilpotenten und die idempotenten Elemente als nützliche hyperkomplexe Zahlen für Klassifikationen. Die Cayley-Dickson-Konstruktion verwendet Involutionen , um komplexe Zahlen, Quaternionen und Oktonionen aus dem reellen Zahlensystem zu erzeugen. Hurwitz und Frobenius bewiesen Sätze , die Grenzen für Hyperkomplexität setzen: Hurwitz Theorem sagt endlich-dimensionale reale Zusammensetzung algebras die reellen Zahlen sind , die Komplexe , die Quaternionen und die Oktaven , und der Satz von Frobenius sagt , die einzigen wirklichen assoziativen Divisionalgebren sind , und . 1958 veröffentlichte J. Frank Adams eine weitere Verallgemeinerung hinsichtlich Hopf-Invarianten auf H- Räumen, die die Dimension noch immer auf 1, 2, 4 oder 8 beschränkt. ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{H}}$${\displaystyle \mathbb{O}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle\mathbb{H}}$

Es war die Matrixalgebra , die die hyperkomplexen Systeme nutzte. Erstens trugen Matrizen neue hyperkomplexe Zahlen wie 2 × 2 reelle Matrizen bei (siehe Split-Quaternion ). Bald begann das Matrixparadigma, die anderen zu erklären, als sie durch Matrizen und ihre Operationen repräsentiert wurden. 1907 zeigte Joseph Wedderburn , dass assoziative hyperkomplexe Systeme durch quadratische Matrizen oder direktes Produkt von Algebren quadratischer Matrizen dargestellt werden können. Ab diesem Zeitpunkt wurde der bevorzugte Begriff für ein hyperkomplexes System assoziative Algebra, wie der Titel von Wedderburns Dissertation an der University of Edinburgh zeigt . Beachten Sie jedoch, dass nicht-assoziative Systeme wie Oktonionen und hyperbolische Quaternionen eine andere Art von Hyperkomplexzahl darstellen.

Wie Hawkins erklärt, sind die hyperkomplexen Zahlen ein Sprungbrett zum Erlernen von Lügengruppen und der Gruppenrepräsentationstheorie . Emmy Noether schrieb beispielsweise 1929 über "hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie". 1973 veröffentlichten Kantor und Solodovnikov ein Lehrbuch über hyperkomplexe Zahlen, das 1989 übersetzt wurde.

Karen Parshall hat eine ausführliche Darstellung der Blütezeit der hyperkomplexen Zahlen verfasst, einschließlich der Rolle von Mathematikern wie Theodor Molien und Eduard Study . Für den Übergang zu modernen Algebra , Bartel van der Waerden widmet dreißig Seiten hyperkomplexen Zahlen in seiner Geschichte der Algebra .

Definition

Eine Definition einer hyperkomplexen Zahl wird von Kantor & Solodovnikov (1989) als Element einer endlichdimensionalen Algebra über die reellen Zahlen gegeben, die unital, aber nicht notwendigerweise assoziativ oder kommutativ ist . Elemente werden mit reellen Koeffizienten für eine Basis erzeugt . Wenn möglich, ist es üblich, die Basis so zu wählen, dass . Eine technische Herangehensweise an hyperkomplexe Zahlen lenkt die Aufmerksamkeit zunächst auf diejenigen der zweiten Dimension . ${\displaystyle (a_{0},\dots,a_{n})}$${\displaystyle \{1,i_{1},\dots,i_{n}\}}$${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

Zweidimensionale reelle Algebren

Satz: Bis auf Isomorphie gibt es genau drei 2-dimensionale unitale Algebren über den reellen Zahlen : die gewöhnlichen komplexen Zahlen , die geteilten komplexen Zahlen und die dualen Zahlen . Insbesondere ist jede 2-dimensionale unitale Algebra über den reellen Zahlen assoziativ und kommutativ.

Beweis: Da die Algebra zweidimensional ist, können wir eine Basis {1, u } wählen . Da die Algebra durch Quadrieren abgeschlossen ist, quadriert das nichtreelle Basiselement u zu einer Linearkombination von 1 und u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

für einige reelle Zahlen eine ₀ und eine ₁ . Unter Verwendung der üblichen Methode zur Vervollständigung des Quadrats durch Subtraktion von a ₁ u und Addition des quadratischen Komplements a²
₁ / 4 zu beiden Seiten ergibt

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}} {4}}.}$

Also wo Die drei Fälle hängen von diesem reellen Wert ab: ${\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$${\displaystyle {\tilde{u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}$

• Falls 4 a ₀ = − a ₁ ² , ergibt die obige Formel ũ ² = 0 . Somit kann ũ direkt mit dem nilpotenten Element der Basis der Dualzahlen identifiziert werden.${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \{1,~\epsilon\}}$
• Falls 4 a ₀ > − a ₁ ² , ergibt die obige Formel ũ ² > 0 . Dies führt zu den Split-komplexen Zahlen , die Basis normalisiert hat mit . Zu erhalten , j aus ũ , muss dieser durch die positive reelle Zahl geteilt werden , die den gleichen Platz hat wie ũ hat.${\displaystyle \{1,~j\}}$${\displaystyle j^{2}=+1}$${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$
• Falls 4 a ₀ < − a ₁ ² , ergibt die obige Formel ũ ² < 0 . Dies führt zu den komplexen Zahlen , die Basis normalisiert hat mit . Ergeben ich aus ũ weist diese durch eine positive reelle Zahl geteilt werden , welche Felder auf dem Negativ von ÷ ² .${\displaystyle \{1,~i\}}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$

Die komplexen Zahlen sind die einzige zweidimensionale hyperkomplexe Algebra, die ein Körper ist . Algebren wie die geteilten komplexen Zahlen, die nicht-reelle Wurzeln von 1 enthalten, enthalten auch Idempotenten und Nullteiler , daher können solche Algebren keine Divisionsalgebren sein . Diese Eigenschaften können sich jedoch als sehr aussagekräftig erweisen, beispielsweise bei der Beschreibung der Lorentz-Transformationen der Speziellen Relativitätstheorie . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

In einer Ausgabe des Mathematics Magazine aus dem Jahr 2004 wurden die zweidimensionalen reellen Algebren als "generalisierte komplexe Zahlen" bezeichnet. Die Idee des Kreuzverhältnisses von vier komplexen Zahlen kann auf die 2-dimensionalen reellen Algebren ausgedehnt werden.

Höherdimensionale Beispiele (mehr als eine nicht-reale Achse)

Clifford-Algebren

Eine Clifford-Algebra ist die unitale assoziative Algebra, die über einem zugrunde liegenden Vektorraum erzeugt wird, der mit einer quadratischen Form ausgestattet ist . Über den reellen Zahlen ist dies gleichbedeutend damit, ein symmetrisches Skalarprodukt definieren zu können, u ⋅ v = 1/2( uv + vu ) , die verwendet werden kann, um die quadratische Form zu orthogonalisieren , um eine Basis { e ₁ , ..., e _k } zu geben, so dass:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1&i =j,\\0&i\nicht =j.\end{matrix}}\right.}$

Das Auferlegen einer Schließung unter Multiplikation erzeugt einen Multivektorraum, der von einer Basis von 2 ^k Elementen aufgespannt wird , {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , . ..}. Diese können als Grundlage eines hyperkomplexen Zahlensystems interpretiert werden. Anders als die Basis { e ₁ , ..., e _k } müssen die restlichen Basiselemente nicht anti-kommutieren, je nachdem, wie viele einfache Austausche durchgeführt werden müssen, um die beiden Faktoren zu tauschen. Also e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ , aber e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Setzt man die Basen beiseite , die ein Element enthalten , e _i , so daß e _i ² = 0 (dh Richtungen in dem Raum ein, über die die quadratische Form war degeneriert ), kann der verbleibenden Clifford-Algebra durch das Etikett Cl identifiziert werden _{p , q} ( R ) , was anzeigt, dass die Algebra aus p einfachen Basiselementen mit e _i ² = +1 , q mit e _i ² = −1 konstruiert ist , und wobei R angibt, dass dies eine Clifford-Algebra über den reellen Zahlen ist – dh Koeffizienten von Elementen von die Algebra soll reelle Zahlen sein.

Diese Algebren, die als geometrische Algebren bezeichnet werden , bilden einen systematischen Satz, der sich bei physikalischen Problemen, die Rotationen , Phasen oder Spins betreffen , als sehr nützlich erweisen , insbesondere in der klassischen und Quantenmechanik , der elektromagnetischen Theorie und der Relativitätstheorie .

Beispiele sind: die komplexen Zahlen Cl _0,1 ( R ), Split-Komplex-Zahlen Cl _1,0 ( R ), Quaternionen Cl _0,2 ( R ), Split-Biquaternionen Cl _0,3 ( R ), Split-Quaternionen Cl _1,1 ( R ) Cl _2,0 ( R ) (die natürliche Algebra des zweidimensionalen Raums); Cl _3,0 ( R ) (die natürliche Algebra des dreidimensionalen Raums und die Algebra der Pauli-Matrizen ); und die Raumzeitalgebra Cl _1,3 ( R ).

Die Elemente der Algebra Cl _{p , q} ( R ) bilden eine gerade Subalgebra Cl^[0]
_{q +1, p}( R ) der Algebra Cl _{q +1, p} ( R ), die zur Parametrisierung von Rotationen in der größeren Algebra verwendet werden kann. Somit besteht ein enger Zusammenhang zwischen komplexen Zahlen und Drehungen im zweidimensionalen Raum; zwischen Quaternionen und Rotationen im dreidimensionalen Raum; zwischen gespaltenen komplexen Zahlen und (hyperbolischen) Drehungen ( Lorentz-Transformationen ) im 1+1-dimensionalen Raum und so weiter.

Während Cayley-Dickson- und Split-Complex-Konstrukte mit acht oder mehr Dimensionen bezüglich der Multiplikation nicht assoziativ sind, behalten Clifford-Algebren die Assoziativität in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen.

1995 schrieb Ian R. Porteous in seinem Buch über Clifford-Algebren über "Die Erkennung von Unteralgebren". Sein Satz 11.4 fasst die hyperkomplexen Fälle zusammen:

Sei A eine reelle assoziative Algebra mit Einheitselement 1. Dann

• 1 erzeugt R ( Algebra der reellen Zahlen ),
• jede zweidimensionale Subalgebra, die von einem Element e ₀ von A erzeugt wird, so dass e ₀ ² = −1 isomorph zu C ist ( Algebra der komplexen Zahlen ),
• jede zweidimensionale Subalgebra, die von einem Element e ₀ von A erzeugt wird, so dass e ₀ ² = 1 isomorph zu R ^{2 ist} (Paare reeller Zahlen mit komponentenweisem Produkt, isomorph zur Algebra der geteilten komplexen Zahlen ),
• jede vierdimensionale Subalgebra, die durch eine Menge { e ₀ , e ₁ } gegenseitig antikommutierender Elemente von A erzeugt wird, so dass sie isomorph zu H ist ( Algebra von Quaternionen ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$
• jede vierdimensionale Subalgebra, die von einer Menge { e ₀ , e ₁ } von gegenseitig antikommutierenden Elementen von A erzeugt wird, so dass sie isomorph zu M ₂ ( R ) ist (2 × 2 reelle Matrizen , Koquaternionen ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$
• jede achtdimensionale Subalgebra, die von einer Menge { e ₀ , e ₁ , e ₂ } gegenseitig antikommutierender Elemente von A erzeugt wird, so dass sie isomorph zu ² H ist ( Split-Biquaternionen ),${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$
• jede achtdimensionale Subalgebra, die durch eine Menge { e ₀ , e ₁ , e ₂ } von gegenseitig antikommutierenden Elementen von A erzeugt wird, so dass sie isomorph zu M ₂ ( C ) ist ( 2 × 2 komplexe Matrizen, Biquaternionen , Pauli-Algebra ).${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$

Für eine Erweiterung über die klassischen Algebren hinaus, siehe Klassifikation der Clifford-Algebren .

Cayley-Dickson-Konstruktion

Cayley Q8-Diagramm der Quaternionenmultiplikation, das Zyklen der Multiplikation von i (rot), j (grün) und k (blau) zeigt. Bewegen Sie in der SVG-Datei den Mauszeiger über oder klicken Sie auf einen Pfad, um ihn hervorzuheben.

Alle Clifford-Algebren Cl _{p , q} ( R ) außer den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen und den Quaternionen enthalten nicht-reelle Elemente, die zu +1 quadriert werden; und können daher keine Divisionsalgebren sein. Einen anderen Ansatz zur Erweiterung der komplexen Zahlen verfolgt die Cayley-Dickson-Konstruktion . Dies erzeugt Zahlensysteme der Dimension 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., mit Basen , in denen alle nicht-reellen Basiselemente antikommutieren und erfüllen . In 8 oder mehr Dimensionen ( n ≥ 3 ) sind diese Algebren nicht assoziativ. In 16 oder mehr Dimensionen ( n ≥ 4 ) haben diese Algebren auch Nullteiler . ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots,i_{2^{n}-1}\}}$${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$

Die ersten Algebren in dieser Sequenz sind die vierdimensionalen Quaternionen , die achtdimensionalen Oktonionen und die 16-dimensionalen Sedenionen . Mit jeder Dimensionszunahme geht eine algebraische Symmetrie verloren: Die Quaternion-Multiplikation ist nicht kommutativ , die Oktonion-Multiplikation ist nicht assoziativ und die Norm der Sedenionen ist nicht multiplikativ.

Die Cayley-Dickson-Konstruktion kann an einigen Stellen durch Einfügen eines zusätzlichen Schilds modifiziert werden. Es erzeugt dann die "Split-Algebren" in der Sammlung der Kompositionsalgebren anstelle der Divisionsalgebren:

Split-Komplex-Zahlen mit Basis erfüllend ,${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

gespaltene Quaternionen mit Basis erfüllend , und${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

Split-Octonionen mit Basis befriedigend ,${\displaystyle \{1,i_{1},\dots,i_{7}\}}$${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

Im Gegensatz zu den komplexen Zahlen sind die geteilten komplexen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen und enthalten weiterhin nichttriviale Nullteiler und nichttriviale Idempotenten . Wie die Quaternionen sind Split-Quaternionen nicht kommutativ, sondern enthalten weiterhin Nilpotenten ; sie sind isomorph zu den quadratischen Matrizen der Dimension zwei. Split-Octonionen sind nicht assoziativ und enthalten Nilpotente.

Tensor-Produkte

Das Tensorprodukt zweier beliebiger Algebren ist eine weitere Algebra, die verwendet werden kann, um viele weitere Beispiele für hyperkomplexe Zahlensysteme zu erzeugen.

Insbesondere die Tensorprodukte mit den komplexen Zahlen (als Algebren über den reellen Zahlen betrachtet) führt zu vierdimensionalen Tessarinen , achtdimensionalen Biquaternionen und 16-dimensionalen komplexen Oktonionen . ${\displaystyle \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}$ ${\displaystyle \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{H}}$ ${\displaystyle \mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{O}}$

Weitere Beispiele

• bikomplexe Zahlen : ein 4-dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen, 2-dimensional über den komplexen Zahlen
• multikomplexe Zahlen : 2 ^{n −1} -dimensionale Vektorräume über den komplexen Zahlen
• Kompositionsalgebra : Algebra mit quadratischer Form , die mit dem Produkt komponiert

Siehe auch

• Sedenions
• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Hyperkomplexe Analyse

Verweise

Weiterlesen

Externe Links

• "Hyperkomplexe Zahl" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Hyperkomplexe Zahl" . MathWorld .
• Studie, E., Über Systeme komplexer Zahlen und ihre Anwendung auf die Theorie der Transformationsgruppen (PDF) (Englische Übersetzung)
• Frobenius, G., Theorie hyperkomplexer Größen (PDF) (Englische Übersetzung)