Bell's Raumschiff-Paradoxon - Bell's spaceship paradox

Oben : In S bleibt der Abstand zwischen den Raumschiffen gleich, während sich die Schnur zusammenzieht. Unten : In S 'nimmt der Abstand zwischen den Raumschiffen zu, während die Saitenlänge gleich bleibt.

Bell's Raumschiff-Paradoxon ist ein Gedankenexperiment zur speziellen Relativitätstheorie . Es wurde 1959 von E. Dewan und M. Beran entworfen und wurde bekannter, als JS Bell eine modifizierte Version enthielt. Ein zarter Faden hängt zwischen zwei Raumschiffen . Sie beginnen gleichzeitig und gleichmäßig zu beschleunigen, wie im Trägheitsrahmen S gemessen , und haben somit zu jeder Zeit die gleiche Geschwindigkeit wie von S. aus gesehen. Daher unterliegen sie alle der gleichen Lorentz-Kontraktion , so dass die gesamte Baugruppe im S Rahmen in Bezug auf die Länge am Anfang. Auf den ersten Blick scheint es, dass der Faden beim Beschleunigen nicht reißt.

Dieses Argument ist jedoch falsch, wie Dewan, Beran und Bell gezeigt haben. Der Abstand zwischen den Raumschiffen unterliegt keiner Lorentz-Kontraktion in Bezug auf den Abstand zu Beginn, da in S aufgrund der gleichen und gleichzeitigen Beschleunigung beider Raumschiffe in S effektiv definiert wird, dass er gleich bleibt Die Ruhelänge zwischen den beiden hat in den Rahmen, in denen sie sich momentan in Ruhe befinden (S '), zugenommen, da die Beschleunigungen der Raumschiffe hier aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit nicht gleichzeitig sind . Der Faden hingegen ist ein physikalisches Objekt, das durch elektrostatische Kräfte zusammengehalten wird , und behält die gleiche Ruhelänge bei. In Rahmen S muss es sich also um eine Lorentz-Kontraktion handeln, deren Ergebnis auch abgeleitet werden kann, wenn die elektromagnetischen Felder der bewegten Körper berücksichtigt werden. Berechnungen in beiden Frames zeigen also, dass der Thread reißt. in S 'aufgrund der nicht gleichzeitigen Beschleunigung und des zunehmenden Abstands zwischen den Raumschiffen und in S aufgrund der Längenkontraktion des Fadens.

Im Folgenden ist die Ruhelänge oder die richtige Länge eines Objekts seine Länge, die im Ruherahmen des Objekts gemessen wird. (Diese Länge entspricht im richtigen Fall dem richtigen Abstand zwischen zwei Ereignissen, wenn diese Ereignisse gleichzeitig an den Endpunkten im Ruhezustand des Objekts gemessen werden.)

Dewan und Beran

Dewan und Beran erklärten das Gedankenexperiment schriftlich:

"Betrachten Sie zwei identisch konstruierte Raketen, die in einem Trägheitsrahmen S in Ruhe sind. Lassen Sie sie in die gleiche Richtung weisen und sich hintereinander befinden. Wenn wir annehmen, dass zu einem vorher festgelegten Zeitpunkt beide Raketen gleichzeitig (in Bezug auf S) abgefeuert werden, dann Ihre Geschwindigkeiten in Bezug auf S sind während des restlichen Versuchs immer gleich (obwohl sie Funktionen der Zeit sind). Dies bedeutet per Definition, dass sich in Bezug auf S der Abstand zwischen den beiden Raketen nicht ändert, selbst wenn sie schneller werden zu relativistischen Geschwindigkeiten. "

Dann wird dieser Aufbau noch einmal wiederholt, aber diesmal ist die Rückseite der ersten Rakete durch einen Seidenfaden mit der Vorderseite der zweiten Rakete verbunden. Sie kamen zu dem Schluss:

"Nach der speziellen Theorie muss sich der Faden in Bezug auf S zusammenziehen, da er eine Geschwindigkeit in Bezug auf S hat. Da die Raketen jedoch einen konstanten Abstand zu S einhalten, ist der Faden (von dem wir angenommen haben, dass er gespannt ist) der Start) kann sich nicht zusammenziehen: daher muss sich eine Spannung bilden, bis der Faden bei ausreichend hohen Geschwindigkeiten endlich seine Elastizitätsgrenze erreicht und reißt. "

Dewan und Beran diskutierten das Ergebnis auch unter dem Gesichtspunkt von Trägheitsrahmen, die momentan mit der ersten Rakete einhergehen, indem sie eine Lorentz-Transformation anwendeten :

"Da (..) jeder hier verwendete Rahmen aufgrund des Faktors ein anderes Synchronisationsschema hat . Es kann gezeigt werden, dass die vordere Rakete mit zunehmender Geschwindigkeit nicht nur in Bezug auf einen Moment einen größeren Abstand von der hinteren Rakete zu haben scheint Trägheitsrahmen, aber auch zu einem früheren Zeitpunkt begonnen zu haben. " ${\ displaystyle \ scriptstyle t '= (t-vx / c ^ {2}) / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$${\ displaystyle vx / c ^ {2}}$${\ displaystyle v}$

Sie kamen zu dem Schluss:

Man kann daraus schließen, dass ein Körper immer dann, wenn er gezwungen ist, sich so zu bewegen, dass alle Teile von ihm die gleiche Beschleunigung in Bezug auf einen Trägheitsrahmen haben (oder alternativ so, dass in Bezug auf einen Trägheitsrahmen seine Abmessungen sind fest, und es gibt keine Rotation), dann muss ein solcher Körper im Allgemeinen relativistische Belastungen erfahren. "

Dann diskutierten sie den Einwand, dass es keinen Unterschied zwischen a) dem Abstand zwischen zwei Enden eines verbundenen Stabes und b) dem Abstand zwischen zwei nicht verbundenen Objekten geben sollte, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit in Bezug auf einen Trägheitsrahmen bewegen. Dewan und Beran entfernten diese Einwände, indem sie argumentierten:

• Da die Raketen genau gleich aufgebaut sind und im gleichen Moment in S mit der gleichen Beschleunigung beginnen, müssen sie in S immer die gleiche Geschwindigkeit haben. Somit legen sie in S die gleichen Entfernungen zurück, also ihre gegenseitige Entfernung kann sich in diesem Rahmen nicht ändern. Andernfalls würde sich die Entfernung in S zusammenziehen, was ebenfalls unterschiedliche Geschwindigkeiten der Raketen in diesem Rahmen implizieren würde, was der ursprünglichen Annahme einer gleichen Konstruktion und Beschleunigung widerspricht.
• Sie argumentierten auch, dass es tatsächlich einen Unterschied zwischen a) und b) gibt: Fall a) ist der gewöhnliche Fall der Längenkontraktion, basierend auf dem Konzept der Ruhelänge l ₀ des Stabes in S ₀ , die immer gleich bleibt, solange Die Stange kann als starr angesehen werden. Unter diesen Umständen ist die Stange in S zusammengezogen. Der Abstand kann jedoch in Fall b) nicht als starr angesehen werden, da er aufgrund ungleicher Beschleunigungen in S ₀ zunimmt und die Raketen Informationen miteinander austauschen und ihre Geschwindigkeiten anpassen müssten um dies zu kompensieren - all diese Komplikationen treten in Fall a) nicht auf.

Glocke

Vertikale Anordnung wie von Bell vorgeschlagen.

In Bells Version des Gedankenexperiments ruhen drei Raumschiffe A, B und C zunächst in einem gemeinsamen Trägheitsreferenzrahmen , wobei B und C gleich weit von A entfernt sind. Dann wird ein Signal von A gesendet, um B und C gleichzeitig zu erreichen, was dazu führt B und C beginnen in vertikaler Richtung zu beschleunigen (wurden mit identischen Beschleunigungsprofilen vorprogrammiert), während A in seinem ursprünglichen Referenzrahmen in Ruhe bleibt. Laut Bell bedeutet dies, dass B und C (wie in A's Ruhebild zu sehen) "in jedem Moment die gleiche Geschwindigkeit haben und so um einen festen Abstand voneinander versetzt bleiben". Wenn nun ein zerbrechlicher Faden zwischen B und C gebunden wird, ist er aufgrund von Längenkontraktionen nicht mehr lang genug, sodass er reißt. Er kam zu dem Schluss, dass "die künstliche Verhinderung der natürlichen Kontraktion unerträglichen Stress verursacht".

Bell berichtete, dass er bei der Präsentation des Paradoxons auf große Skepsis von "einem angesehenen Experimentator" gestoßen sei. Um zu versuchen, den Streit beizulegen, wurde am CERN eine informelle und nicht systematische Meinungsumfrage durchgeführt . Laut Bell gab es einen "klaren Konsens", der fälschlicherweise behauptete, dass die Saite nicht reißen würde. Bell fügt hinzu,

"Natürlich erhalten viele Menschen, die zuerst die falsche Antwort erhalten, bei weiteren Überlegungen die richtige Antwort. Normalerweise fühlen sie sich verpflichtet, herauszufinden, wie die Dinge für die Beobachter B oder C aussehen. Sie stellen fest, dass B zum Beispiel sieht, dass C weiter driftet und weiter hinten, so dass ein bestimmtes Stück Faden die Distanz nicht mehr überspannen kann. Erst nachdem dies herausgearbeitet wurde und vielleicht nur mit einem verbleibenden Gefühl des Unbehagens, akzeptieren solche Leute schließlich eine Schlussfolgerung, die in Bezug auf A vollkommen trivial ist Bericht über Dinge, einschließlich der Fitzgerald-Kontraktion. "

Bedeutung der Längenkontraktion

Im Allgemeinen wurde von Dewan & Beran und Bell der Schluss gezogen, dass relativistische Spannungen auftreten, wenn alle Teile eines Objekts in Bezug auf einen Trägheitsrahmen auf die gleiche Weise beschleunigt werden und dass die Längenkontraktion reale physikalische Konsequenzen hat. Zum Beispiel argumentierte Bell, dass die Längenkontraktion von Objekten sowie das Fehlen einer Längenkontraktion zwischen Objekten in Rahmen S mit relativistischem Elektromagnetismus erklärt werden können . Die verzerrten elektromagnetischen intermolekularen Felder führen dazu, dass sich bewegte Objekte zusammenziehen oder gestresst werden, wenn sie daran gehindert werden. Im Gegensatz dazu wirken keine solchen Kräfte auf den Raum zwischen Objekten. (Im Allgemeinen demonstrierte Richard Feynman , wie die Lorentz-Transformation aus dem Fall des Potentials einer Ladung abgeleitet werden kann, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (dargestellt durch das Liénard-Wiechert-Potential ). Bezüglich des historischen Aspekts spielte Feynman auf den Umstand an, dass Hendrik Lorentz kam im Wesentlichen auf die gleiche Weise zur Lorentz-Transformation, siehe auch Geschichte der Lorentz-Transformationen .)

Petkov (2009) und Franklin (2009) interpretieren dieses Paradoxon jedoch unterschiedlich. Sie stimmten dem Ergebnis zu, dass die Saite aufgrund ungleicher Beschleunigungen in den Raketenrahmen reißt, wodurch sich die Ruhelänge zwischen ihnen erhöht (siehe das Minkowski-Diagramm im Analyseabschnitt ). Sie bestritten jedoch die Idee, dass diese Spannungen durch Längenkontraktion in S verursacht werden. Dies liegt daran, dass Längenkontraktion ihrer Meinung nach keine "physikalische Realität" hat, sondern lediglich das Ergebnis einer Lorentz-Transformation ist, dh einer Rotation in vier. Dimensionsraum, der für sich genommen überhaupt keinen Stress verursachen kann. Daher soll das Auftreten solcher Spannungen in allen Referenzrahmen einschließlich S und das Brechen des Strings allein der Effekt der relativistischen Beschleunigung sein.

Diskussionen und Veröffentlichungen

Paul Nawrocki (1962) gibt drei Argumente an, warum die Saite nicht reißen sollte, während Edmond Dewan (1963) in einer Antwort zeigte, dass seine ursprüngliche Analyse weiterhin gültig ist. Viele Jahre später und nach Bells Buch gaben Matsuda und Kinoshita an, viel Kritik erhalten zu haben, nachdem sie einen Artikel über ihre unabhängig wiederentdeckte Version des Paradoxons in einer japanischen Zeitschrift veröffentlicht hatten. Matsuda und Kinoshita zitieren jedoch keine spezifischen Artikel, in denen lediglich angegeben wird, dass diese Einwände auf Japanisch verfasst wurden.

In den meisten Veröffentlichungen wird jedoch vereinbart, dass mit einigen Umformulierungen, Modifikationen und unterschiedlichen Szenarien Spannungen in der Saite auftreten, wie beispielsweise von Evett & Wangsness (1960), Dewan (1963), Romain (1963), Evett (1972), Gershtein & Logunov (1998), Tartaglia & Ruggiero (2003), Cornwell (2005), Flores (2005), Semay (2006), Styer (2007), Freund (2008), Redzic (2008), Peregoudov (2009), Redžić ( 2009), Gu (2009), Petkov (2009), Franklin (2009), Miller (2010), Fernflores (2011), Kassner (2012), Natario (2014), Lewis, Barnes & Sticka (2018), Bokor (2018) ). Ein ähnliches Problem wurde auch in Bezug auf Winkelbeschleunigungen diskutiert : Grøn (1979), MacGregor (1981), Grøn (1982, 2003).

Relativistische Lösung des Problems

Rotierende Scheibe

Bei Bells Raumschiff-Paradoxon geht es nicht darum, die Restlänge zwischen Objekten beizubehalten (wie bei der Born-Starrheit ), sondern darum, den Abstand in einem Trägheitsrahmen beizubehalten, relativ zu dem sich die Objekte bewegen, wofür das Ehrenfest-Paradoxon ein Beispiel ist. Historisch gesehen hatte Albert Einstein bereits im Verlauf seiner Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie erkannt , dass der Umfang einer rotierenden Scheibe im Korotationsrahmen größer ist als der in einem Trägheitsrahmen gemessene. Einstein erklärte 1916:

"Wir nehmen an, dass der Umfang und der Durchmesser eines Kreises mit einem Standardmessstab gemessen wurden, der im Vergleich zum Radius unendlich klein ist, und dass wir den Quotienten der beiden Ergebnisse haben. Wenn dieses Experiment mit Messstäben in Ruhe relativ zum durchgeführt würde Galiläisches System K ', der Quotient wäre π. Wenn Messstäbe relativ zu K in Ruhe sind, wäre der Quotient größer als π. Dies ist leicht zu verstehen, wenn wir den gesamten Prozess des Messens vom "stationären" System K' und aus betrachten Berücksichtigen Sie, dass die an der Peripherie angebrachten Messstäbe eine Lorentz-Kontraktion erfahren , während diejenigen, die entlang des Radius angelegt werden, dies nicht tun. Daher gilt die euklidische Geometrie nicht für K. "

Wie Einstein 1919 genauer ausführte, ist die Beziehung gegeben

${\ displaystyle U = \ gamma U_ {0}}$ ,

${\ displaystyle U}$ Der Lorentz-Faktor ist der Umfang im Korotationsrahmen, im Laborrahmen . Daher ist es unmöglich, eine Scheibe aus dem Ruhezustand auf eine starre Weise in Rotation zu bringen. Stattdessen treten während der Phase der beschleunigten Rotation Spannungen auf, bis die Scheibe in den Zustand der gleichmäßigen Rotation übergeht. ${\ displaystyle U_ {0}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

Sofortige Beschleunigung

Minkowski-Diagramm : Die Länge zwischen den Schiffen in S 'nach der Beschleunigung ist länger als die vorherige Länge in S' und länger als die unveränderte Länge in S. Die dünnen Linien sind "Gleichzeitigkeitslinien". ${\ displaystyle L '}$${\ displaystyle L '_ {old}}$${\ displaystyle L}$

Loedel-Diagramm des gleichen Szenarios

In ähnlicher Weise ist im Fall von Bells Raumschiff-Paradoxon die Beziehung zwischen der anfänglichen Ruhelänge zwischen den Schiffen (identisch mit der Bewegungslänge in S nach dem Beschleunigen) und der neuen Ruhelänge in S 'nach dem Beschleunigen: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L '}$

${\ displaystyle L '= \ gamma L}$ .

Diese Längenzunahme kann auf verschiedene Arten berechnet werden. Wenn beispielsweise die Beschleunigung beendet ist, bleiben die Schiffe im letzten Ruhezustand S 'konstant an derselben Stelle, so dass nur der Abstand zwischen den von S nach S' transformierten x-Koordinaten berechnet werden muss. Wenn und die Positionen der Schiffe in S sind, sind die Positionen in ihrem neuen Ruherahmen S ': ${\ displaystyle x_ {A}}$${\ displaystyle x_ {B} = x_ {A} + L}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x '_ {A} & = \ gamma \ left (x_ {A} -vt \ right) \\ x' _ {B} & = \ gamma \ left (x_ {A} + L-vt \ rechts) \\ L '& = x' _ {B} -x '_ {A} \\ & = \ gamma L \ end {align}}}$

Eine andere Methode wurde von Dewan (1963) gezeigt, der die Bedeutung der Relativität der Gleichzeitigkeit demonstrierte . Es wird die Perspektive des Rahmens S 'beschrieben, in der beide Schiffe nach Beendigung der Beschleunigung in Ruhe sind. Die Schiffe beschleunigen gleichzeitig in S (unter der Annahme einer Beschleunigung in infinitesimaler kleiner Zeit), obwohl B aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit in S 'vor A beschleunigt und anhält, mit der Zeitdifferenz: ${\ displaystyle t_ {A} = t_ {B}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta t '& = t' _ {B} -t '_ {A} = \ gamma \ left (t_ {B} - {\ frac {vx_ {B}} {c ^ {2}}} \ right) - \ gamma \ left (t_ {A} - {\ frac {vx_ {A}} {c ^ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {\ gamma vL} {c ^ {2}}} \ end {align}}}$

Da sich die Schiffe vor dem Beschleunigen mit der gleichen Geschwindigkeit in S 'bewegen, wird die anfängliche Ruhelänge in S in S' aufgrund der Längenkontraktion verkürzt . Ab dem Rahmen von S 'beginnt B vor A zu beschleunigen und hört auch vor A auf zu beschleunigen. Aus diesem Grund hat B immer eine höhere Geschwindigkeit als A, bis auch das Beschleunigen von A beendet ist und beide in Bezug auf ruhen S '. Der Abstand zwischen B und A nimmt weiter zu, bis A nicht mehr beschleunigt. Obwohl die Beschleunigungszeitachse von A um einen Versatz von verzögert ist, legen sowohl A als auch B in ihren jeweiligen Beschleunigungen dieselbe Strecke zurück. Aber Bs Zeitachse enthält Beschleunigung und ist auch in S` in Ruhe, bis A aufhört zu beschleunigen. Daher kann die zusätzliche Strecke, die B während des gesamten Kurses zurücklegt, berechnet werden, indem die von B während dieser Phase zurückgelegte Strecke gemessen wird. Dewan kam zu der Beziehung (in anderer Notation): ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L '_ {old} = L / \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta t '}$${\ displaystyle \ Delta t '}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L '& = L' _ {old} + v \ Delta t '= {\ frac {L} {\ gamma}} + {\ frac {\ gamma v ^ {2} L. } {c ^ {2}}} \\ & = \ gamma L \ end {align}}}$

Es wurde auch von mehreren Autoren festgestellt, dass die konstante Länge in S und die erhöhte Länge in S 'mit der Längenkontraktionsformel übereinstimmen , da die anfängliche Ruhelänge um in S' erhöht wird , das in S um den gleichen Faktor zusammengezogen wird. so bleibt es in S gleich: ${\ displaystyle L = L '/ \ gamma}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle L_ {contr.} = L '/ \ gamma = \ gamma L / \ gamma = L}$

Zusammenfassend: Während sich der Ruheabstand zwischen den Schiffen auf in S ' erhöht, erfordert das Relativitätsprinzip, dass die Saite (deren physikalische Konstitution unverändert bleibt) ihre Ruhelänge in ihrem neuen Ruhesystem S' beibehält . Daher bricht es aufgrund des zunehmenden Abstandes zwischen den Schiffen in S 'ein. Wie oben erläutert , wird dasselbe auch erhalten, indem nur der Startrahmen S unter Verwendung der Längenkontraktion der Saite (oder der Kontraktion ihrer sich bewegenden molekularen Felder) betrachtet wird, während der Abstand zwischen den Schiffen aufgrund der gleichen Beschleunigung gleich bleibt. ${\ displaystyle \ gamma L}$${\ displaystyle L}$

Konstante richtige Beschleunigung

Die Weltlinien (dunkelblaue Kurven) von zwei Beobachtern A und B, die in derselben Richtung mit derselben Eigenbeschleunigung konstanter Größe beschleunigen (hyperbolische Bewegung). Bei A 'und B' hören die Beobachter auf zu beschleunigen.

Zwei Beobachter in Born starrer Beschleunigung mit demselben Rindler-Horizont . Sie können die richtige Zeit von einem von ihnen als Koordinatenzeit des Rindler-Rahmens wählen.

Zwei Beobachter mit der gleichen Beschleunigung (Bell-Raumschiffe). Sie ruhen nicht im selben Rindler-Rahmen und haben daher unterschiedliche Rindler-Horizonte

Anstelle von sofortigen Richtungsänderungen ermöglicht die spezielle Relativitätstheorie auch die Beschreibung des realistischeren Szenarios einer konstanten Eigenbeschleunigung , dh der Beschleunigung, die von einem kommenden Beschleunigungsmesser angezeigt wird. Dies führt zu einer hyperbolischen Bewegung , bei der der Betrachter die momentanen Trägheitsrahmen kontinuierlich ändert

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ left ({\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c}}) \ right) ^ {2}}} - 1 \ right) = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ left (\ cosh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}} - 1 \ right) \\ c \ tau & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ operatorname {asinh} {\ frac {\ alpha t} {c}}, \ quad ct = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ sinh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}} \ end {align}}}$

wo ist die Koordinatenzeit im externen Trägheitsrahmen und die richtige Zeit im momentanen Rahmen und die momentane Geschwindigkeit ist gegeben durch ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle v = {\ frac {\ alpha t} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c}} \ right) ^ {2}}} = c \ tanh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}}}$

Die mathematische Behandlung dieses Paradoxons ähnelt der Behandlung der starren Bewegung von Born . Anstatt jedoch nach der Trennung von Raumschiffen mit der gleichen Beschleunigung in einem Trägheitsrahmen zu fragen, fragt das Problem der starren Born-Bewegung: "Welches Beschleunigungsprofil wird vom zweiten Raumschiff benötigt, damit der Abstand zwischen den Raumschiffen in ihrem richtigen Rahmen konstant bleibt ? " Damit die beiden Raumschiffe, die anfänglich in einem Trägheitsrahmen ruhen, einen konstanten richtigen Abstand einhalten können, muss das führende Raumschiff eine geringere richtige Beschleunigung aufweisen.

Dieser geborene starre Rahmen kann unter Verwendung von Rindler-Koordinaten (Kottler-Møller-Koordinaten) beschrieben werden.

${\ displaystyle {\ begin {align} ct & = \ left (x '+ {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ right) \ sinh {\ frac {\ alpha t'} {c}} , & y & = y ', \\ x & = \ left (x' + {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ right) \ cosh {\ frac {\ alpha t '} {c}} - {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}}, & z & = z '. \ end {align}} \ (t' = \ tau)}$

Der Zustand der Born-Steifheit erfordert, dass sich die richtige Beschleunigung der Raumschiffe um unterscheidet

${\ displaystyle \ alpha _ {2} = {\ frac {\ alpha _ {1}} {1 + {\ frac {\ alpha _ {1} L '} {c ^ {2}}}}$

und die von einem der Beobachter im Rindler-Rahmen (oder momentanen Trägheitsrahmen) gemessene Länge wird von Lorentz im äußeren Trägheitsrahmen durch zusammengezogen ${\ displaystyle L '= x_ {2} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1}}$

${\ displaystyle L = {\ frac {L '} {\ cosh {\ frac {\ alpha t'} {c}}} = L '{\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}}$

Das ist das gleiche Ergebnis wie oben. Folglich impliziert im Fall der Born-Steifheit die Konstanz der Länge L 'im momentanen Rahmen, dass L im äußeren Rahmen ständig abnimmt und der Faden nicht reißt. Im Fall von Bell's Raumschiff-Paradoxon ist jedoch die Bedingung der Born-Starrheit gebrochen, weil die Konstanz der Länge L im äußeren Rahmen impliziert, dass L 'im momentanen Rahmen zunimmt, der Faden reißt (zusätzlich nimmt der Ausdruck für den Abstand zu zwischen zwei Beobachtern mit der gleichen richtigen Beschleunigung wird im momentanen Rahmen ebenfalls komplizierter.

Siehe auch

• Hyperbolische Bewegung (Relativitätstheorie)
• Physisches Paradoxon
• Rindler-Koordinaten
• Supplees Paradoxon
• Zwillingsparadoxon

Verweise

Externe Links

• Michael Weiss; Don Koks (1995-2017): Bell's Raumschiff-Paradoxon , USENET Relativity FAQ