Bicategory - Bicategory

In der Mathematik ist eine Bikategorie (oder eine schwache 2-Kategorie ) ein Konzept in der Kategorietheorie, das verwendet wird, um den Begriff der Kategorie zu erweitern, um die Fälle zu behandeln, in denen die Zusammensetzung von Morphismen nicht (streng) assoziativ , sondern nur bis zu einem Isomorphismus assoziativ ist . Der Begriff wurde 1967 von Jean Bénabou eingeführt .

Bikategorien können als Schwächung der Definition von 2 Kategorien angesehen werden . Ein ähnliches Verfahren für 3-Kategorien führen zu tricategories und generell zu schwach n - Kategorien für n - Kategorien .

Definition

Formal besteht eine Bikategorie B aus:

  • Objekte a , b , ... genannt 0- Zellen ;
  • Morphismen f , g , ... mit festen Quell- und Zielobjekten, die als 1- Zellen bezeichnet werden ;
  • "Morphismen zwischen Morphismen" ρ, σ, ... mit festen Quell- und Zielmorphismen (die selbst dieselbe Quelle und dasselbe Ziel haben sollten), genannt 2- Zellen ;

mit etwas mehr Struktur:

  • Bei zwei Objekten a und b gibt es eine Kategorie B ( a , b ), deren Objekte die 1-Zellen und Morphismen die 2-Zellen sind. Die Zusammensetzung in dieser Kategorie wird als vertikale Zusammensetzung bezeichnet .
  • Bei drei Objekten a , b und c gibt es einen Bifunktor, der als horizontale Komposition bezeichnet wird .

Die horizontale Zusammensetzung muss bis zu einem natürlichen Isomorphismus α zwischen Morphismen und assoziativ sein . Darüber hinaus müssen einige weitere Kohärenzaxiome gelten , die denen für monoidale Kategorien ähneln: Eine monoidale Kategorie entspricht einer Bikategorie mit einer 0-Zelle.

Verweise

  • J. Bénabou. "Einführung in Bikategorien, Teil I". In Reports of the Midwest Category Seminar , Lecture Notes in Mathematics 47, Seiten 1-77. Springer, 1967.

Externe Links