Bombieri-Lang-Vermutung - Bombieri–Lang conjecture

In arithmetischer Geometrie , die Bombieri-Lang Vermutung ist ein ungelöstes Problem von gemutmaßt Enrico Bombieri und Serge Lang über die Zariski Dichte des Satzes von rationalen Punkten einer algebraischen Varietät von allgemeiner Art .

Aussage

Die schwache Bombieri-Lang Vermutung für Oberflächen besagt , dass wenn eine glatte Oberfläche von allgemeiner Art über ein Nummernfeld definiert , so werden die -rationalen Punkte des nicht eine Form dichte Menge in der Zariski Topologie auf . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Die allgemeine Form der Bombieri-Lang-Vermutung besagt, dass, wenn eine algebraische Variante des allgemeinen Typs über ein Zahlenfeld definiert ist , die rationalen Punkte von keine dichte Menge in der Zariski-Topologie bilden. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$

Die verfeinerte Form der Bombieri-Lang-Vermutung besagt, dass, wenn eine algebraische Variante des allgemeinen Typs über ein Zahlenfeld definiert ist , es eine dichte offene Teilmenge davon gibt, so dass für alle Zahlenfelderweiterungen über die Menge der -rationalen Punkte in ist endlich. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k '}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k '}$${\ displaystyle U}$

Geschichte

Die Bombieri-Lang-Vermutung wurde unabhängig von Enrico Bombieri und Serge Lang aufgestellt. In einem Vortrag von 1980 an der Universität von Chicago warf Enrico Bombieri ein Problem hinsichtlich der Entartung rationaler Punkte für Oberflächen allgemeinen Typs auf. Unabhängig davon vermutete Serge Lang in einer Reihe von Arbeiten ab 1971 eine allgemeinere Beziehung zwischen der Verteilung rationaler Punkte und der algebraischen Hyperbolizität , die in der "verfeinerten Form" der Bombieri-Lang-Vermutung formuliert wurde.

Verallgemeinerungen und Implikationen

Die Bombieri-Lang-Vermutung ist ein Analogon für Oberflächen des Satzes von Faltings , wonach algebraische Kurven einer Gattung größer als eins nur endlich viele rationale Punkte haben.

Wenn dies zutrifft, würde die Bombieri-Lang-Vermutung das Erdős-Ulam-Problem lösen , da dies bedeuten würde, dass es keine dichten Teilmengen der euklidischen Ebene gibt, deren paarweise Abstände alle rational sind.

Im Jahr 1997, Lucia Caporaso , Barry Mazur , Joe Harris zeigten, und Patricia Pacelli , dass die Bombieri-Lang Vermutung eine impliziert einheitliche Beschränkt Vermutung für rationale Punkte : Es gibt eine Konstante ist nur abhängig und so , dass die Anzahl der rationalen Punkte von jeder Gattung Kurve über jedes Gradzahlfeld ist höchstens . ${\ displaystyle B_ {g, d}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle B_ {g, d}}$

Verweise

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