Geflochtene monoidale Kategorie - Braided monoidal category

In der Mathematik ist eine Kommutativitätsbeschränkung für eine monoidale Kategorie eine Wahl des Isomorphismus für jedes Paar von Objekten A und B, die eine "natürliche Familie" bilden. Um eine Kommutativitätsbeschränkung zu haben, muss dies insbesondere für alle Objektpaare gelten . ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {A, B}: A \ otimes B \ rightarrow B \ otimes A}$${\ displaystyle A \ otimes B \ cong B \ otimes A}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {C}}}$

Eine geflochtene monoidale Kategorie ist eine monoidale Kategorie, die mit einem Geflecht ausgestattet ist - das heißt, eine Kommutativitätsbeschränkung , die Axiome einschließlich der unten definierten Sechseckidentitäten erfüllt. Der Begriff geflochten bezieht sich auf die Tatsache, dass die geflochtene Gruppe eine wichtige Rolle in der Theorie der geflochtenen monoidalen Kategorien spielt. Teilweise aus diesem Grund sind geflochtene monoidale Kategorien und andere Themen in der Theorie der Knoteninvarianten verwandt . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Alternativ kann eine geflochtene monoidale Kategorie als Trikategorie mit einer 0-Zelle und einer 1-Zelle angesehen werden.

Geflochtene monoidale Kategorien wurden 1986 von André Joyal und Ross Street in einem Preprint eingeführt. Eine modifizierte Version dieses Papiers wurde 1993 veröffentlicht.

Die Sechseckidentitäten

Für zusammen mit dem commutativity Zwang zu einer geflochtenen monoidal Kategorie genannt zu werden, müssen die folgenden hexagonal Diagramme für alle Objekte pendeln . Hier ist der Assoziativität Isomorphismus von der kommenden monoidal Struktur auf : ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

,

Eigenschaften

Kohärenz

Es kann gezeigt werden, dass der natürliche Isomorphismus zusammen mit den Karten, die von der monoidalen Struktur in der Kategorie stammen , verschiedene Kohärenzbedingungen erfüllen , die besagen, dass verschiedene Zusammensetzungen von Strukturkarten gleich sind. Bestimmtes: ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha, \ lambda, \ rho}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

• Das Geflecht pendelt mit den Einheiten. Das folgende Diagramm pendelt:

• Die Wirkung auf ein- faches Tensorprodukt wirkt durch die Geflechtgruppe . Bestimmtes, ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle (\ gamma _ {B, C} \ otimes {\ text {Id}}) \ circ ({\ text {Id}} \ otimes \ gamma _ {A, C}) \ circ (\ gamma _ { A, B} \ otimes {\ text {Id}}) = ({\ text {Id}} \ otimes \ gamma _ {A, B}) \ circ (\ gamma _ {A, C} \ otimes {\ text {Id}}) \ circ ({\ text {Id}} \ otimes \ gamma _ {B, C})}$

als Karten . Hier haben wir die Assoziator-Maps weggelassen. ${\ displaystyle A \ otimes B \ otimes C \ rightarrow C \ otimes B \ otimes A}$

Variationen

Es gibt verschiedene Varianten geflochtener monoidaler Kategorien, die in verschiedenen Kontexten verwendet werden. Siehe zum Beispiel das Expository Paper von Savage (2009) für eine Erklärung der symmetrischen und koboundären monoidalen Kategorien und das Buch von Chari und Pressley (1995) für Bandkategorien.

Symmetrische monoidale Kategorien

Eine geflochtene monoidale Kategorie wird als symmetrisch bezeichnet, wenn sie auch für alle Objektpaare und erfüllt ist . In diesem Fall beeinflusst die Wirkung eines Tensorprodukts auf ein Falten durch die symmetrische Gruppe . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {B, A} \ circ \ gamma _ {A, B} = Id}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle N}$

Farbbandkategorien

Eine geflochtene monoidale Kategorie ist eine Bandkategorie, wenn sie starr ist , und sie kann Quantenspur und Co-Quantenspur bewahren. Bandkategorien sind besonders nützlich beim Konstruieren von Knoteninvarianten .

Monoide Coboundary-Kategorien

Eine koboundäre oder "Kaktus" -Monoidkategorie ist eine Monoidkategorie zusammen mit einer Familie natürlicher Isomorphismen mit den folgenden Eigenschaften: ${\ displaystyle (C, \ otimes, {\ text {Id}})}$${\ displaystyle \ gamma _ {A, B}: A \ otimes B \ bis B \ otimes A}$

• ${\ displaystyle \ gamma _ {B, A} \ circ \ gamma _ {A, B} = {\ text {Id}}}$ für alle Objektpaare und . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$
• ${\ displaystyle \ gamma _ {B \ otimes A, C} \ circ (\ gamma _ {A, B} \ otimes {\ text {Id}}) = \ gamma _ {A, C \ otimes B} \ circ ( {\ text {Id}} \ otimes \ gamma _ {B, C})}$

Die erste Eigenschaft zeigt uns dies , sodass wir das Analogon zum zweiten Definitionsdiagramm einer geflochtenen monoidalen Kategorie weglassen und die Assoziator-Maps wie impliziert ignorieren können. ${\ displaystyle \ gamma _ {A, B} ^ {- 1} = \ gamma _ {B, A}}$

Beispiele

• Die Kategorie der Darstellungen einer Gruppe (oder einer Lie-Algebra ) ist eine symmetrische monoidale Kategorie, in der . ${\ displaystyle \ gamma (v \ otimes w) = w \ otimes v}$
• Die Kategorie der Darstellungen einer quantisierten universellen Hüllalgebra ist eine geflochtene monoidale Kategorie, die unter Verwendung der universellen R- Matrix konstruiert wird . Tatsächlich ist dieses Beispiel auch eine Farbbandkategorie. ${\ displaystyle U_ {q} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ gamma}$

Anwendungen

• Knoteninvarianten .
• Symmetrische geschlossene monoidale Kategorien werden in Bezeichnungsmodellen linearer Logik und linearer Typen verwendet .
• Beschreibung und Klassifizierung topologisch geordneter Quantensysteme.

Verweise

• Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew. "Ein Leitfaden für Quantengruppen". Cambridge University Press. 1995.
• Savage, Alistair. Geflochtene und koboundäre monoidale Kategorien. Algebren, Darstellungen und Anwendungen, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Mathematik. Soc., Providence, RI, 2009. Verfügbar auf dem arXiv

Externe Links

• Geflochtene monoidale Kategorie in nLab
• John Baez (1999), Eine Einführung in geflochtene monoidale Kategorien , Funde dieser Woche in der mathematischen Physik 137.