Cauchys Konvergenztest - Cauchy's convergence test

Der Cauchy-Konvergenztest ist eine Methode, um unendliche Reihen auf Konvergenz zu testen . Es beruht auf begrenzenden Summen von Termen in der Reihe. Dieses Konvergenzkriterium ist nach Augustin-Louis Cauchy benannt , der es in seinem Lehrbuch Cours d'Analyse 1821 veröffentlicht hat.

Stellungnahme

Eine Serie

${\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}}$ist genau dann konvergent, wenn es für jede eine natürliche Zahl N gibt mit${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon}$

gilt für alle n > N und alle p ≥ 1 .

Erläuterung

(a) Der blau dargestellte Plot einer Cauchy- Folge im Vergleich Wenn der Raum, der die Folge enthält, vollständig ist, existiert das "ultimative Ziel" dieser Folge (d. h. die Grenze).${\displaystyle (x_{n}),}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n}$

(b) Eine Folge, die nicht Cauchy ist. Die Elemente der Sequenz kommen sich im Verlauf der Sequenz nicht beliebig nahe.

Der Test funktioniert, weil der Raum R der reellen Zahlen und der Raum C der komplexen Zahlen (mit der durch den Absolutwert gegebenen Metrik) beide vollständig sind . Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn die Teilsumme

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

ist eine Cauchy-Folge .

Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn sie konvergiert (gegen einen Punkt a in R oder C ). Die formale Definition heißt es für jeden , dass es eine Zahl N , so dass für alle n , m > N hält ${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .}$

Wir nehmen m > n an und setzen daher p = m  −  n .

${\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .}$

Es ist nützlich zu zeigen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist, da wir den Grenzwert der fraglichen Folge nicht kennen müssen. Der Konvergenztest von Cauchy kann nur in vollständigen metrischen Räumen (wie R und C ) verwendet werden, die Räume sind, in denen alle Cauchy-Folgen konvergieren. Wir brauchen nur zu zeigen, dass seine Elemente nach einem endlichen Fortschreiten in der Folge beliebig nahe beieinander kommen. Es gibt Computeranwendungen der Cauchy-Sequenz, in denen ein iterativer Prozess eingerichtet werden kann, um solche Sequenzen zu erstellen.

Nachweisen

Wir können die Ergebnisse über die Konvergenz der Folge von Teilsummen der unendlichen Reihe verwenden und auf die Konvergenz der unendlichen Reihe selbst anwenden. Der Cauchy-Kriterium-Test ist eine solche Anwendung. Für jede reelle Folge implizieren die obigen Ergebnisse zur Konvergenz, dass die unendliche Reihe${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}}$

konvergiert genau dann, wenn es für jedes eine Zahl N gibt , so dass ${\displaystyle \varepsilon >0}$

m ≥ n ≥ N implizieren

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon}$

Der wahrscheinlich interessanteste Teil [dieses Satzes] ist, dass die Cauchy-Bedingung die Existenz des Grenzwerts impliziert: Dies hängt tatsächlich mit der Vollständigkeit der reellen Geraden zusammen. Das Cauchy-Kriterium kann auf eine Vielzahl von Situationen verallgemeinert werden, die alle lose zusammengefasst werden können als "eine verschwindende Oszillationsbedingung ist äquivalent zur Konvergenz".

Dieser Artikel enthält Material aus dem Cauchy-Kriterium für Konvergenz auf PlanetMath , das unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen lizenziert ist .

Verweise