Zählmaß - Counting measure

In der Mathematik , insbesondere in der Maßtheorie , ist das Zählmaß eine intuitive Möglichkeit, ein Maß für eine beliebige Menge festzulegen. Die "Größe" einer Teilmenge wird als Anzahl der Elemente in der Teilmenge angenommen, wenn die Teilmenge endlich viele Elemente enthält, und ∞ wenn die Teilmenge unendlich ist .

Das Zählmaß kann für jeden messbaren Raum definiert werden (dh für jede Menge zusammen mit einer Sigma-Algebra), wird jedoch meistens für zählbare Mengen verwendet. ${\ displaystyle X}$

In der formalen Notation können wir eine beliebige Menge drehen in einen Messraum durch die Einnahme Potenzmenge der als Sigma-Algebra , dh alle Untergruppen von messbar sind. Dann ist das Zählmaß auf diesem messbaren Raum das durch definierte positive Maß ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {case} \ vert A \ vert & {\ text {if}} A {\ text {ist endlich}} \\ + \ infty & {\ text {if}} Ein {\ Text {ist unendlich}} \ Ende {Fälle}}}$

für alle , wobei die Kardinalität der Menge bezeichnet . ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ vert A \ vert}$${\ displaystyle A}$

Die Zählmaß on ist σ-endlich , wenn und nur wenn der Raum ist zählbar . ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle X}$

Diskussion

Das Zählmaß ist ein Sonderfall einer allgemeineren Konstruktion. Mit der Notation wie oben definiert jede Funktion ein Maß für via ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

${\ displaystyle \ mu (A): = \ sum _ {a \ in A} f (a) \ quad \ forall A \ subseteq X,}$

wobei die möglicherweise unzählige Summe reeller Zahlen als das Höchste der Summen über alle endlichen Teilmengen definiert ist, dh

${\ displaystyle \ sum _ {y \, \ in \, Y \! \ \ subseteq \, \ mathbb {R}} y \: = \ \ sup _ {F \ subseteq Y, \, | F | <\ infty } \ left \ {\ sum _ {y \ in F} y \ right \}.}$

Wenn Sie f ( x ) = 1 für alle x in X nehmen, erhalten Sie das Zählmaß.

Verweise