Kristallimpuls - Crystal momentum

Es gibt unendlich viele sinusförmige Schwingungen, die perfekt zu einem Satz diskreter Oszillatoren passen, so dass es unmöglich ist, einen k-Vektor eindeutig zu definieren. Dies ist eine Beziehung der Abstände zwischen den Oszillatoren zur räumlichen Nyquist-Frequenz der Wellen im Gitter. Weitere Informationen zur Äquivalenz von k-Vektoren finden Sie unter Aliasing § Abtastung von Sinusfunktionen .

In der Festkörperphysik Kristallimpuls oder Quasiimpuls ist ein Impuls -ähnlichen Vektor assoziiert mit Elektronen in einem Kristallgitter . Es wird durch die zugehörigen Wellenvektoren dieses Gitters gemäß definiert ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {kristall}} \ equiv \ hbar {\ mathbf {k}}}$

(wo ist die reduzierte Plancksche Konstante ). Häufig wird Kristallimpuls erhalten wie mechanische Dynamik, ist es nützlich zu Physiker und Materialwissenschaftler als analytisches Werkzeug. ${\ displaystyle \ hbar}$

Ursprünge der Gittersymmetrie

Eine übliche Methode zur Modellierung der Kristallstruktur und des Kristallverhaltens besteht darin, Elektronen als quantenmechanische Teilchen zu betrachten, die sich durch ein festes unendliches periodisches Potential bewegen, so dass ${\ displaystyle V (x)}$

${\ displaystyle V ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = V ({\ mathbf {x}}),}$

wo ist ein beliebiger Gittervektor . Ein solches Modell ist sinnvoll , weil Kristallionen , die die Gitterstruktur bilden , typischerweise in der Größenordnung von mehreren zehntausend Mal mehr Masse als Elektronen sind, ist es sicher machen sie mit einem festen Potential Struktur zu ersetzen, und die makroskopischen Dimensionen eines Kristalls sind typischerweise weitaus größer als ein einzelner Gitterabstand, wodurch Kanteneffekte vernachlässigbar werden. Eine Konsequenz dieser potentiellen Energiefunktion ist, dass es möglich ist, die Anfangsposition eines Elektrons um einen beliebigen Gittervektor zu verschieben, ohne irgendeinen Aspekt des Problems zu ändern, wodurch eine diskrete Symmetrie definiert wird . Technisch gesehen impliziert ein unendliches periodisches Potential, dass der Gitterübersetzungsoperator mit dem Hamilton- Operator pendelt und eine einfache Form des kinetischen Pluspotentials annimmt. ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle T (a)}$

Diese Bedingungen implizieren den Satz von Bloch , der besagt

${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}}), \ qquad u_ {n {\ mathbf {k}}} ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = u_ {n {\ mathbf {k }}} ({\ mathbf {x}})}$,

oder dass ein Elektron in einem Gitter, das als einzelne Teilchenwellenfunktion modelliert werden kann , seine stationären Zustandslösungen in Form einer ebenen Welle multipliziert mit einer periodischen Funktion findet . Der Satz ergibt sich als direkte Folge der oben erwähnten Tatsache, dass der Gitter-Symmetrie-Übersetzungsoperator mit dem Hamilton-Operator des Systems pendelt. ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$

Einer der bemerkenswerten Aspekte des Blochschen Theorems ist, dass es direkt zeigt, dass stationäre Lösungen mit einem Wellenvektor identifiziert werden können , was bedeutet, dass diese Quantenzahl eine Bewegungskonstante bleibt. Der Kristallimpuls wird dann herkömmlicherweise definiert, indem dieser Wellenvektor mit der Planckschen Konstante multipliziert wird: ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {Crystal}} = \ hbar {\ mathbf {k}}.}$

Dies ist zwar identisch mit der Definition, die man für einen regelmäßigen Impuls geben könnte (z. B. indem die Auswirkungen des Translationsoperators durch die Auswirkungen eines Teilchens im freien Raum behandelt werden), es gibt jedoch wichtige theoretische Unterschiede. Während beispielsweise der reguläre Impuls vollständig erhalten bleibt, bleibt der Kristallimpuls nur innerhalb eines Gittervektors erhalten. Zum Beispiel kann ein Elektron nicht nur durch den Wellenvektor beschrieben werden , sondern auch mit jedem anderen Wellenvektor, so dass ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {k '}}$

${\ displaystyle \ mathbf {k '} = \ mathbf {k} + \ mathbf {K},}$

wo ist ein beliebiger reziproker Gittervektor . Dies ist eine Folge der Tatsache, dass die Gittersymmetrie im Gegensatz zur kontinuierlichen diskret ist und daher das zugehörige Erhaltungsgesetz nicht unter Verwendung des Noether-Theorems abgeleitet werden kann . ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$

Körperliche Bedeutung

Die Phasenmodulation des Bloch-Zustands ist die gleiche wie die eines freien Teilchens mit Impuls , dh es ergibt sich die Periodizität des Zustands, die nicht die gleiche wie die des Gitters ist. Diese Modulation trägt zur kinetischen Energie des Partikels bei (während die Modulation vollständig für die kinetische Energie eines freien Partikels verantwortlich ist). ${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}})}$${\ displaystyle \ hbar k}$${\ displaystyle k}$

In Regionen, in denen die Bande ungefähr parabolisch ist, ist der Kristallimpuls gleich dem Impuls eines freien Teilchens mit Impuls, wenn wir dem Teilchen eine effektive Masse zuweisen , die mit der Krümmung der Parabel zusammenhängt. ${\ displaystyle \ hbar k}$

Verhältnis zur Geschwindigkeit

Ein Wellenpaket mit Dispersion , das bewirkt, dass die Gruppengeschwindigkeit und die Phasengeschwindigkeit unterschiedlich sind. Dieses Bild ist eine eindimensionale reale Welle, aber Elektronenwellenpakete sind dreidimensionale komplexe Wellen.

Der Kristallimpuls entspricht dem physikalisch messbaren Geschwindigkeitskonzept nach

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}).}$

Dies ist die gleiche Formel wie die Gruppengeschwindigkeit einer Welle . Insbesondere kann ein Elektron in einem Kristall aufgrund des Heisenberg-Unsicherheitsprinzips nicht sowohl ein genau definiertes k als auch eine genaue Position im Kristall haben. Es kann jedoch ein Wellenpaket bilden, das auf dem Impuls k (mit geringer Unsicherheit) und auf einer bestimmten Position (mit geringer Unsicherheit) zentriert ist. Die Mittelposition dieses Wellenpakets ändert sich, wenn sich die Welle ausbreitet und sich mit der durch die obige Formel angegebenen Geschwindigkeit v durch den Kristall bewegt . In einem realen Kristall bewegt sich ein Elektron auf diese Weise - es bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit in eine bestimmte Richtung - nur für einen kurzen Zeitraum, bevor es mit einer Unvollkommenheit im Kristall kollidiert, die bewirkt, dass es sich in eine andere, zufällige Richtung bewegt. Diese als Elektronenstreuung bezeichneten Kollisionen werden am häufigsten durch kristallographische Defekte , die Kristalloberfläche und zufällige thermische Schwingungen der Atome im Kristall ( Phononen ) verursacht.

Reaktion auf elektrische und magnetische Felder

Der Kristallimpuls spielt auch eine wichtige Rolle im semiklassischen Modell der Elektronendynamik, wo er den Bewegungsgleichungen (in CGS-Einheiten) folgt:

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}),}$

${\ displaystyle {\ mathbf {\ dot {p}}} _ {\ text {kristall}} = - e \ left ({\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c}} {\ mathbf { v}} \ times {\ mathbf {H}} \ right)}$

Hier ist vielleicht die Analogie zwischen Kristallimpuls und wahrem Impuls am stärksten, denn dies sind genau die Gleichungen, denen ein Freiraumelektron ohne Kristallstruktur folgt. Der Kristallimpuls erhält auch die Chance, bei diesen Arten von Berechnungen zu glänzen, denn um die Bewegungsbahn eines Elektrons unter Verwendung der obigen Gleichungen zu berechnen, muss man nur externe Felder berücksichtigen, während man die Berechnung aus einem Satz von Bewegungsgleichungen basierend auf versucht Für einen echten Impuls müssten zusätzlich zum externen Feld die einzelnen Coulomb- und Lorentz-Kräfte jedes einzelnen Gitterions berücksichtigt werden.

Anwendungen

Winkelaufgelöste Photoemissionsspektroskopie (ARPES)

Bei der winkelaufgelösten Photoemissionsspektroskopie (ARPES) führt die Bestrahlung einer Kristallprobe mit Licht zum Ausstoß eines Elektrons vom Kristall weg. Im Verlauf der Wechselwirkung kann man die beiden Konzepte des Kristalls und des wahren Impulses miteinander verbinden und so direkte Kenntnisse über die Bandstruktur eines Kristalls gewinnen. Das heißt, der Kristallimpuls eines Elektrons innerhalb des Kristalls wird nach seinem Verlassen zu seinem wahren Impuls, und der wahre Impuls kann anschließend aus der Gleichung abgeleitet werden

${\ displaystyle {\ mathbf {p _ {\ parallel}}} = {\ sqrt {2mE _ {\ text {kin}}} \ sin \ theta}$

durch Messen des Winkels und der kinetischen Energie, unter der das Elektron aus dem Kristall austritt, wo sich die Masse eines einzelnen Elektrons befindet. Da die Kristallsymmetrie in der Richtung senkrecht zur Kristalloberfläche an der Kristallgrenze verloren geht, bleibt der Kristallimpuls in dieser Richtung nicht erhalten. Folglich sind die einzigen Richtungen, in denen nützliche ARPES-Daten erfasst werden können, Richtungen parallel zur Kristalloberfläche. ${\ displaystyle m}$

Verweise