Differential (Mathematik) - Differential (mathematics)

In der Mathematik , Differential bezieht sich auf infinitesimal Differenzen oder den Derivaten von Funktionen. Der Begriff wird in verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet, z. B. in der Analysis , der Differentialgeometrie , der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie .

Grundbegriffe

• Im Kalkül repräsentiert das Differential eine Änderung der Linearisierung einer Funktion .
  • Das Gesamtdifferential ist seine Verallgemeinerung für Funktionen mehrerer Variablen.
• In traditionellen Ansätzen zur Analysis werden die Differentiale (z. B. dx , dy , dt usw.) als Infinitesimale interpretiert . Es gibt verschiedene Methoden, um Infinitesimale rigoros zu definieren, aber es reicht zu sagen, dass eine Infinitesimalzahl im absoluten Wert kleiner ist als jede positive reelle Zahl, genauso wie eine unendlich große Zahl größer ist als jede reelle Zahl.
• Das Differential ist ein anderer Name für die Jacobi - Matrix der partiellen Ableitungen einer Funktion von R ⁿ zu R ^m (vor allem , wenn diese Matrix als eine betrachteten lineare Abbildung ).
• Allgemeiner bezieht sich das Differential oder Pushforward auf die Ableitung einer Abbildung zwischen glatten Verteilern und den von ihm definierten Pushforward-Operationen. Das Differential wird auch verwendet, um das duale Konzept des Pullbacks zu definieren .
• Der stochastische Kalkül liefert einen Begriff des stochastischen Differentials und einen zugehörigen Kalkül für stochastische Prozesse .
• Der Integrator in einem Stieltjes-Integral wird als Differential einer Funktion dargestellt. Formal verhält sich das unter dem Integral erscheinende Differential genau wie ein Differential: Somit entspricht die Integration durch Substitution und Integration durch Teilformeln für das Stieltjes-Integral jeweils der Kettenregel bzw. der Produktregel für das Differential.

Differentialgeometrie

Der Begriff eines Differentials motiviert verschiedene Konzepte in der Differentialgeometrie (und der Differentialtopologie ).

• Das Differential (Pushforward) einer Abbildung zwischen Verteilern.
• Differentialformen bieten einen Rahmen, der die Multiplikation und Differenzierung von Differentialen ermöglicht.
• Die äußere Ableitung ist ein Begriff der Differenzierung von Differentialformen, der das Differential einer Funktion (die eine Differential-1-Form ist ) verallgemeinert .
• Pullback ist insbesondere ein geometrischer Name für die Kettenregel zum Erstellen einer Karte zwischen Verteilern mit einer Differentialform auf dem Zielverteiler.
• Kovariante Ableitungen oder Differentiale liefern einen allgemeinen Begriff zur Unterscheidung von Vektorfeldern und Tensorfeldern auf einer Mannigfaltigkeit oder allgemeiner Abschnitten eines Vektorbündels : siehe Verbindung (Vektorbündel) . Dies führt letztendlich zum allgemeinen Konzept einer Verbindung .

Algebraische Geometrie

Differentiale sind auch in der algebraischen Geometrie wichtig , und es gibt mehrere wichtige Begriffe.

• Abelsche Differentiale bedeuten normalerweise differentielle Einformen auf einer algebraischen Kurve oder einer Riemannschen Oberfläche .
• Quadratische Differentiale (die sich wie "Quadrate" abelscher Differentiale verhalten) sind auch in der Theorie der Riemannschen Oberflächen wichtig.
• Kähler-Differentiale liefern einen allgemeinen Begriff des Differentials in der algebraischen Geometrie.

Andere Bedeutungen

Der Begriff Differential wurde auch in der homologischen Algebra und der algebraischen Topologie übernommen, da die äußere Ableitung in der De-Rham-Kohomologie eine Rolle spielt: In einem Cochain-Komplex werden die Karten (oder Coboundary-Operatoren ) d _i häufig als Differentiale bezeichnet. Doppelt werden die Grenzoperatoren in einem Kettenkomplex manchmal als Codifferentiale bezeichnet . ${\ Anzeigestil (C _ {\ Kugel}, d _ {\ Kugel})}$

Die Eigenschaften des Differentials motivieren auch die algebraischen Begriffe einer Ableitung und einer Differentialalgebra .

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Differentiale" . MathWorld .

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