Pushforward (Differential) - Pushforward (differential)

Wenn eine Abbildung φ jeden Punkt auf der Mannigfaltigkeit M auf die Mannigfaltigkeit N überträgt, dann trägt die Vorwärtsbewegung von φ Vektoren im Tangentialraum an jedem Punkt in M zu einem Tangentialraum an jedem Punkt in N .

In der Differentialgeometrie ist Pushforward eine lineare Approximation glatter Abbildungen auf Tangentialräumen. Angenommen, φ  : M → N ist eine glatte Abbildung zwischen glatten Verteilern ; dann ist das Differential von , ,${\displaystyle d\varphi}$ an einem Punkt x gewissermaßen die beste lineare Näherung von φ in der Nähe von x . Es kann als eine Verallgemeinerung der totalen Ableitung der gewöhnlichen Infinitesimalrechnung angesehen werden. Explizit ist das Differential eine lineare Abbildung vom Tangentenraum von M bei x zum Tangensraum von N bei φ ( x ), . Daher kann es verwendet werden, um Tangentenvektoren auf M nach vorne zu Tangentenvektoren auf N zu schieben . Das Differential einer Abbildung φ wird von verschiedenen Autoren auch als Ableitung oder totale Ableitung von φ bezeichnet . ${\displaystyle d\varphi :T_{x}M\to T_{\varphi(x)}N}$

Motivation

Sei φ  : U → V eine glatte Abbildung von einer offenen Teilmenge U von auf eine offene Teilmenge V von . Für jeden Punkt x in U ist die Jacobilinie von φ bei x (bezogen auf die Standardkoordinaten) die Matrixdarstellung der gesamten Ableitung von φ bei x , die eine lineare Abbildung ist${\displaystyle \mathbb{R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi_{x}:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}.}$

Wir wollen dies auf den Fall verallgemeinern, dass φ eine glatte Funktion zwischen beliebigen glatten Mannigfaltigkeiten M und N ist .

Das Differential einer glatten Abbildung

Sei φ  : M → N eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten. Gegeben x ∈ M ist das Differential von φ bei x eine lineare Abbildung

${\displaystyle d\varphi_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi(x)}N\,}$

vom Tangentialraum von M bei x zum Tangentialraum von N bei φ ( x ). Die Anwendung von dφ _x auf einen Tangentenvektor X wird manchmal als Pushforward von X um φ bezeichnet . Die genaue Definition dieses Pushforward hängt von der Definition ab, die man für Tangentenvektoren verwendet (für die verschiedenen Definitionen siehe Tangentialraum ).

Wenn Tangentenvektoren als Äquivalenzklassen von Kurven durch x definiert sind, dann ist das Differential gegeben durch ${\displaystyle\gamma}$

${\displaystyle d\varphi_{x}(\gamma '(0))=(\varphi\circ\gamma)'(0).}$

Hier ist γ eine Kurve in M mit γ (0) = x und Tangentenvektor an die Kurve γ bei 0. Mit anderen Worten, das Vorschieben des Tangentenvektors an die Kurve γ bei 0 ist der Tangentenvektor an die Kurve bei 0 . ${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle\varphi\circ\gamma}$

Wenn alternativ Tangentenvektoren als Ableitungen definiert sind, die auf glatte reellwertige Funktionen wirken, dann ist das Differential gegeben durch

${\displaystyle d\varphi_{x}(X)(f)=X(f\circ\varphi),}$

für eine beliebige Funktion und eine beliebige Ableitung am Punkt (eine Ableitung ist definiert als eine lineare Abbildung , die die Leibniz-Regel erfüllt , siehe: Definition des Tangentialraums über Ableitungen ). Der Pushforward von ist per Definition in und daher selbst eine Ableitung, . ${\displaystyle f\in C^{\infty}(N)}$${\displaystyle X\in T_{x}M}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty}(M)\to\mathbb{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{\varphi(x)}N}$${\displaystyle d\varphi_{x}(X):C^{\infty}(N)\to\mathbb{R}}$

Nach Auswahl zweier Karten um x und um φ ( x ) wird φ lokal durch eine glatte Karte bestimmt

${\displaystyle {\widehat {\varphi}}:U\to V}$

zwischen offenen Mengen von und , und dφ _x hat Darstellung (bei x ) ${\displaystyle \mathbb{R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi_{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi}}^{ b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial}{\partial v^{b}}},}$

in der Einstein-Summationsnotation , wobei die partiellen Ableitungen an dem Punkt in U berechnet werden , der x im gegebenen Diagramm entspricht.

Die Erweiterung um Linearität ergibt die folgende Matrix

${\displaystyle \left(d\varphi_{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi}}^{b}}{\partial u ^{a}}}.}$

Somit ist das Differential eine lineare Transformation zwischen Tangentenräumen, die der glatten Abbildung φ an jedem Punkt zugeordnet ist. Daher wird sie in einigen ausgewählten lokalen Koordinaten durch die Jacobi-Matrix der entsprechenden glatten Abbildung von bis dargestellt . Im Allgemeinen muss das Differential nicht invertierbar sein. Wenn φ a lokaler Diffeomorphismus , dann an der Pushforward x invertierbar ist und sein Inverses gibt den Rücksetzer von T _{φ ( x )} N . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Das Differential wird häufig mit einer Vielzahl anderer Notationen ausgedrückt, wie z

${\displaystyle D\varphi_{x},\left(\varphi_{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

Aus der Definition folgt, dass das Differential einer Zusammensetzung die Zusammensetzung der Differentiale ist (dh funktorielles Verhalten). Dies ist die Kettenregel für glatte Karten.

Auch das Differential eines lokalen Diffeomorphismus ist ein linearer Isomorphismus von Tangentialräumen.

Das Differential am Tangentenbündel

Das Differential einer glatten Abbildung φ induziert auf offensichtliche Weise eine Bündelabbildung (eigentlich einen Vektorbündelhomomorphismus ) vom Tangentenbündel von M zum Tangentenbündel von N , bezeichnet mit dφ oder φ _∗ , die in folgendes passt: Kommutatives Diagramm :

wobei π _M und π _N die Bündelprojektionen der Tangentenbündel von M bzw. N bezeichnen.

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$induziert eine Bündelabbildung von TM zum Pullback-Bündel φ ^∗ TN über M via

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (m,\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

wobei und Letztere Abbildung kann wiederum als ein Abschnitt des Vektorbündels Hom( TM , φ ^∗ TN ) über M betrachtet werden . Die Bündelabbildung dφ wird auch mit Tφ bezeichnet und Tangentenabbildung genannt . Auf diese Weise ist T ein Funktor . ${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$

Pushforward von Vektorfeldern

Bei einer glatten Abbildung φ  : M → N und einem Vektorfeld X auf M ist es normalerweise nicht möglich, einen Pushforward von X um φ mit einem Vektorfeld Y auf N zu identifizieren . Wenn zum Beispiel die Abbildung φ nicht surjektiv ist, gibt es keinen natürlichen Weg, einen solchen Pushforward außerhalb des Bildes von φ zu definieren . Auch wenn φ nicht injektiv ist, kann es an einem bestimmten Punkt mehr als eine Wahlmöglichkeit für Pushforward geben. Dennoch kann man diese Schwierigkeit präzisieren, indem man den Begriff eines Vektorfeldes entlang einer Karte verwendet.

Ein Abschnitt von φ ^∗ TN über M heißt Vektorfeld entlang φ . Wenn beispielsweise M eine Untermannigfaltigkeit von N und φ die Inklusion ist, dann ist ein Vektorfeld entlang φ nur ein Abschnitt des Tangentenbündels von N entlang M ; insbesondere definiert ein Vektorfeld auf M einen solchen Abschnitt über die Aufnahme von TM in TN . Diese Idee lässt sich auf beliebige glatte Abbildungen verallgemeinern.

Angenommen, X ist ein Vektorfeld auf M , dh ein Abschnitt von TM . Dann ergibt sich im obigen Sinne das pushforward φ _∗ X , das ein Vektorfeld entlang φ ist , dh ein Abschnitt von φ ^∗ TN über M . ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Alle Vektorfeld Y für N definiert einen Rücksetzer Abschnitt φ ^* Y von φ ^* TN mit ( φ ^* Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Ein Vektorfeld X auf M und ein Vektorfeld Y auf N gesagt werden sollen φ -bezogene wenn φ _* X = φ ^* Y als Vektorfelder entlang φ . Mit anderen Worten, für alle x in M gilt dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

In einigen Situationen kann ein gegebenes X auf Vektorfeld M , gibt es ein eindeutiges Vektorfeld Y für N welche φ -bezogene bis X . Dies gilt insbesondere dann, wenn φ ein Diffeomorphismus ist . In diesem Fall definiert der Pushforward ein Vektorfeld Y auf N , gegeben durch

${\displaystyle Y_{y}=\phi_{*}\left(X_{\phi^{-1}(y)}\right).}$

Eine allgemeinere Situation ergibt sich, wenn φ surjektiv ist (zB die Bündelprojektion eines Faserbündels). Dann wird ein Vektorfeld X auf M wird gesagt, dass projizierbar , wenn für alle y in N , d & PHgr; _x ( X _x ) unabhängig von der Wahl von x in φ ^-1 ({ y }). Dies ist genau die Bedingung, die garantiert, dass ein Pushforward von X als Vektorfeld auf N wohldefiniert ist.

Siehe auch

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Verweise

• Lee, John M. (2003). Einführung in glatte Verteiler . Springer Graduate Texts in Mathematics. 218 .
• Jost, Jürgen (2002). Riemannsche Geometrie und geometrische Analysis . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Siehe Abschnitt 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlagen der Mechanik . London: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Siehe Abschnitt 1.7 und 2.3 .