Duale Basis - Dual basis

In der linearen Algebra , einen gegebenen Vektorraum V mit einer Basis B von Vektoren nach einer indexierten Indexmenge I (die Kardinalität von I ist die Dimensionalität V ), der doppelte Satz von B ist eine Gruppe B ^* von Vektoren in der dualen Raum V ^∗ mit der gleichen Indexmenge I, so dass B und B ^∗ ein biorthogonales System bilden . Das Dual - Set ist immer linear unabhängig , aber nicht notwendigerweise Spanne V ^* . Wenn es Spanne tut V ^* , dann B ^* wird die genannte duale Basis oder Grundlage der Gegenseitigkeit für die Basis B .

Die Bezeichnung der indizierten Vektormengen als und , bedeutet, dass die Elementepaare ein inneres Produkt haben, das gleich 1 ist, wenn die Indizes gleich sind, und andernfalls gleich 0. Symbolische Auswertung eines dualen Vektors in V ^∗ auf einem Vektor im ursprünglichen Raum V : ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta_{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{ wenn }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}$

wo ist das Kronecker-Delta- Symbol. ${\displaystyle \delta_{j}^{i}}$

Einführung

Um Operationen mit einem Vektor durchzuführen, müssen wir eine einfache Methode zur Berechnung seiner Komponenten haben. In einem kartesischen Rahmen ist die notwendige Operation das Skalarprodukt des Vektors und des Basisvektors. Z.B,

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _ {3}}$

wo sind die Basen in einem kartesischen Rahmen. Die Komponenten von finden Sie unter ${\displaystyle \mathbf {i} _{k}}$${\displaystyle\mathbf{x}}$

${\displaystyle x^{k}=\mathbf{x}\cdot\mathbf{i}_{k}.}$

In einem nichtkartesischen Rahmen gilt nicht notwendigerweise e _i · e _j = 0 für alle i ≠ j . Es ist jedoch immer möglich, einen Vektor e ⁱ zu finden, so dass

${\displaystyle x^{i}=\mathbf{x}\cdot\mathbf{e}^{i}\qquad (i=1,2,3).}$

Die Gleichheit gilt, wenn e ⁱ die duale Basis von e _{i ist} . Beachten Sie den Unterschied in der Position des Index i.

In einem kartesischen Rahmen haben wir ${\displaystyle \mathbf{e}^{k}=\mathbf{e} _{k}=\mathbf{i}_{k}.}$

Existenz und Einzigartigkeit

Das Dual - Set besteht immer und gibt eine Injektion von V in V ^* , nämlich die Zuordnung , die sendet v _i bis v ⁱ . Dies besagt insbesondere, dass der Dualraum eine Dimension hat, die größer oder gleich der von V ist .

Die duale Menge eines unendlichdimensionalen V spannt jedoch nicht seinen dualen Raum V ^{∗ auf} . Betrachten Sie zum Beispiel die Abbildung w in V ^∗ von V in die zugrunde liegenden Skalare F gegeben durch w ( v _i ) = 1 für alle i . Diese Abbildung ist auf allen v _i eindeutig von Null verschieden . Wäre w eine endliche Linearkombination der dualen Basisvektoren v ⁱ , etwa für eine endliche Teilmenge K von I , dann für jedes j nicht in K , , was der Definition von w widerspricht . Dieses w liegt also nicht in der Spanne der dualen Menge. ${\textstyle w=\sum_{i\in K}\alpha_{i}v^{i}}$${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum_{i\in K}\alpha_{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$

Das Dual eines unendlich-dimensionalen Raums hat eine größere Dimensionalität (dies ist eine größere unendliche Kardinalität) als der ursprüngliche Raum, und daher können diese keine Basis mit derselben Indexierungsmenge haben. Es existiert jedoch ein dualer Satz von Vektoren, der einen Unterraum des dualen Isomorphen zum ursprünglichen Raum definiert. Weiterhin kann für topologische Vektorräume ein stetiger dualer Raum definiert werden, in welchem ​​Fall eine duale Basis existieren kann.

Endlichdimensionale Vektorräume

Bei endlichdimensionalen Vektorräumen ist die duale Menge immer eine duale Basis und eindeutig. Diese Basen werden mit B = { e ₁ , …, e _n } und B ^∗ = { e ¹ , …, e ⁿ } bezeichnet . Bezeichnet man die Auswertung eines Kovektors auf einem Vektor als Paarung, so lautet die Bioorthogonalitätsbedingung:

${\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta_{j}^{i}.}$

Die Assoziation einer Dualbasis mit einer Basis ergibt eine Abbildung vom Basenraum von V in den Basenraum von V ^∗ , und dies ist ebenfalls ein Isomorphismus. Für topologische Körper wie die reellen Zahlen ist der Raum der Dualen ein topologischer Raum , und dies ergibt einen Homöomorphismus zwischen den Stiefel-Mannigfaltigkeiten der Basen dieser Räume.

Eine kategoriale und algebraische Konstruktion des Dualraums

Eine andere Möglichkeit, den dualen Raum eines Vektorraums ( Modul ) einzuführen, besteht darin, ihn im kategorialen Sinne einzuführen. Dazu sei ein über den Ring definiertes Modul (also ein Objekt der Kategorie ). Dann definieren wir den dualen Raum von , bezeichnet mit , dem Modul, das aus allen linearen Modulhomomorphismen von in gebildet wird . Beachten Sie dann, dass wir ein Dual zum Dual definieren können, das als das Doppel-Dual von bezeichnet , als geschrieben und als definiert wird . ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\ast}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\ast \ast }}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast},R)}$

Um formal eine Basis für den dualen Raum zu konstruieren, beschränken wir uns nun auf den Fall, dass ein endlichdimensionaler freier (links) -Modul ist, wo ein Ring der Einheit ist. Dann nehmen wir an, dass die Menge eine Basis für ist . Von hier aus definieren wir die Kronecker-Delta-Funktion über die Basis durch if und if . Dann beschreibt die Menge mit jeder eine linear unabhängige Menge . Da endlichdimensional ist, ist die Basis endlicher Kardinalität. Dann ist die Menge eine Basis und ein freier (richtiger) -Modul. ${\displaystyle F}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \delta_{xy}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta_{xy}=1}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \delta_{xy}=0}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta_{xy}\rbrace}$${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F^{\ast}}$${\displaystyle F^{\ast}}$${\displaystyle R}$

Beispiele

Zum Beispiel sind die Standardbasisvektoren von R ² (der kartesischen Ebene )

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} },{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

und die Standardbasisvektoren seines Dualraums R ² * sind

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{ \begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

Im 3-dimensionalen euklidischen Raum können Sie für eine gegebene Basis { e ₁ , e ₂ , e ₃ } die biorthogonale (duale) Basis { e ¹ , e ² , e ³ } durch die folgenden Formeln finden:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{ \mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}} \right)^{\mathsf{T}},\\mathbf{e}^{3}=\left({\frac{\mathbf{e}_{1}\times \mathbf{e}_{2} }{V}}\right)^{\mathsf{T}}.}$

wobei ^T die Transponierte bezeichnet und

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf{e}_{1};\mathbf{e}_{2};\mathbf{e}_{3}\right)\,=\,\ mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\ mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

ist das Volumen des Parallelepipeds, das durch die Basisvektoren gebildet wird und${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf{e}_{3}.}$

Im Allgemeinen lässt sich die duale Basis einer Basis in einem endlichdimensionalen Vektorraum leicht wie folgt berechnen: Gegeben der Basis und der entsprechenden dualen Basis können wir Matrizen bilden ${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{n}}$${\displaystyle f^{1},\ldots,f^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}& \cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{ausgerichtet}}}$

Dann besagt die definierende Eigenschaft der dualen Basis, dass

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

Daher kann die Matrix für die duale Basis berechnet werden als ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

Siehe auch

• Reziprokes Gitter
• Miller-Index
• Zonenachse

Anmerkungen

Verweise

• Lebedew, Leonid P.; Wolke, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensoranalyse mit Anwendungen in der Mechanik . Weltwissenschaft. ISBN 978-981431312-4.
• "Die duale Basis finden" . Stapelaustausch . 27.05.2012.