Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) - Event (probability theory)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis eine Menge von Ergebnissen eines Experiments (eine Teilmenge des Stichprobenraums ), denen eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird. Ein einzelnes Ergebnis kann ein Element vieler verschiedener Ereignisse sein, und verschiedene Ereignisse in einem Experiment sind normalerweise nicht gleich wahrscheinlich, da sie sehr unterschiedliche Gruppen von Ergebnissen umfassen können. Ein Ereignis, das nur aus einem einzigen Ergebnis besteht, wird Elementarereignis oder atomares Ereignis genannt ; das heißt, es ist ein Singleton-Set . Ein Ereignis wird als eintreten bezeichnet, wenn es das Ergebnis des Experiments (oder des Versuchs) enthält (dh wenn ). Die Wahrscheinlichkeit (in Bezug auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß ), dass ein Ereignis eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit, die das Ergebnis eines Experiments enthält (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass ). Ein Ereignis definiert ein komplementäres Ereignis , nämlich die komplementäre Menge (das Ereignis tritt nicht ein ), und zusammen definieren diese einen Bernoulli-Versuch : Ist das Ereignis eingetreten oder nicht? $S$ $S$ $x$ $x\in S$ $S$ $S$ $x$ $x\in S$

Wenn der Abtastraum endlich ist, ist typischerweise jede Teilmenge des Abtastraums ein Ereignis (dh alle Elemente der Potenzmenge des Abtastraums werden als Ereignisse definiert). Dieser Ansatz funktioniert jedoch nicht gut in Fällen, in denen der Abtastraum überabzählbar unendlich ist . Bei der Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums ist es daher möglich und oft notwendig, bestimmte Teilmengen des Stichprobenraums von Ereignissen auszuschließen (siehe Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsräumen weiter unten).

Ein einfaches Beispiel

Wenn wir ein Deck aus 52 Spielkarten ohne Joker zusammenstellen und eine einzelne Karte vom Deck ziehen, dann ist der Musterraum ein Set mit 52 Elementen, da jede Karte ein mögliches Ergebnis ist. Ein Ereignis ist jedoch jede Teilmenge des Stichprobenraums, einschließlich jeder Singleton-Menge (ein elementares Ereignis ), die leere Menge (ein unmögliches Ereignis mit Wahrscheinlichkeit Null) und der Stichprobenraum selbst (ein bestimmtes Ereignis mit Wahrscheinlichkeit eins). Andere Ereignisse sind richtige Teilmengen des Probenraums, die mehrere Elemente enthalten. Mögliche Ereignisse sind beispielsweise:

Ein Euler-Diagramm eines Ereignisses. ist der Probenraum und ist ein Ereignis. Durch das Verhältnis ihrer Flächen beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 0,4.

B

A

A

"Rot und Schwarz gleichzeitig, ohne ein Joker zu sein" (0 Elemente),
"Die 5 der Herzen" (1 Element),
"Ein König" (4 Elemente),
"Eine Bildkarte" (12 Elemente),
"Ein Spaten" (13 Elemente),
"Eine Bildkarte oder eine rote Farbe" (32 Elemente),
"Eine Karte" (52 Elemente).

Da alle Ereignisse Mengen sind, werden sie normalerweise als Mengen geschrieben (z. B. {1, 2, 3}) und mithilfe von Venn-Diagrammen grafisch dargestellt . In der Situation, in der jedes Ergebnis im Stichprobenraum Ω gleich wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die folgende $P$ $A$ Formel :

\mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternativ:}}\ \Pr(A)={\ frac {|A|}{|\Omega |}}\right)

Diese Regel kann ohne weiteres auf jedes der obigen Beispielereignisse angewendet werden.

Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsräumen

Die Definition aller Teilmengen des Stichprobenraums als Ereignisse funktioniert gut, wenn es nur endlich viele Ergebnisse gibt, führt jedoch zu Problemen, wenn der Stichprobenraum unendlich ist. Für viele Standardwahrscheinlichkeitsverteilungen , wie die Normalverteilung , der Probenraum ist die Menge der reellen Zahlen oder eine Teilmenge der reellen Zahlen . Versuche, Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmengen der reellen Zahlen zu definieren , stoßen auf Schwierigkeiten, wenn man "schlecht verhaltene" Mengen betrachtet, wie beispielsweise solche, die nicht messbar sind . Daher ist es notwendig, die Aufmerksamkeit auf eine begrenztere Familie von Teilmengen zu beschränken. Damit die Standardwerkzeuge der Wahrscheinlichkeitstheorie wie gemeinsame und bedingte Wahrscheinlichkeiten funktionieren, ist es notwendig, eine σ-Algebra zu verwenden , d. h. eine Familie, die unter Komplementation und abzählbaren Vereinigungen ihrer Mitglieder geschlossen ist. Die natürlichste Wahl der σ-Algebra ist die Borel-messbare Menge, die aus Vereinigungen und Schnittmengen von Intervallen abgeleitet wird. In der Praxis erweist sich jedoch die größere Klasse der Lebesgue-Messwerte als nützlicher.

In der allgemeinen maßtheoretischen Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsräumen kann ein Ereignis als Element einer ausgewählten 𝜎-Algebra von Teilmengen des Stichprobenraums definiert werden. Unter dieser Definition ist jede Teilmenge des Abtastraums, die kein Element der 𝜎-Algebra ist, kein Ereignis und hat keine Wahrscheinlichkeit. Bei vernünftiger Spezifikation des Wahrscheinlichkeitsraums sind jedoch alle interessierenden Ereignisse Elemente der 𝜎-Algebra.

Ein Hinweis zur Notation

Obwohl Ereignisse Teilmengen eines Stichprobenraums sind, werden sie oft als Prädikate oder Indikatoren mit Zufallsvariablen geschrieben . Wenn beispielsweise eine reellwertige Zufallsvariable auf dem Stichprobenraum definiert ist, wird das Ereignis $\Omega,$ $X$ $\Omega,$