Endliche Unterteilungsregel - Finite subdivision rule

Eine perspektivische Projektion einer dodekaedrischen Tessellation in H ³ . Beachten Sie die rekursive Struktur: Jedes Fünfeck enthält kleinere Fünfecke, die kleinere Fünfecke enthalten. Dies ist ein Beispiel für eine Unterteilungsregel, die sich aus einem endlichen Universum (dh einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit ) ergibt .

In der Mathematik ist eine endliche Unterteilungsregel eine rekursive Methode, um ein Polygon oder eine andere zweidimensionale Form in immer kleinere Teile zu unterteilen. Unterteilungsregeln sind gewissermaßen Verallgemeinerungen regelmäßiger geometrischer Fraktale . Anstatt immer wieder genau das gleiche Design zu wiederholen, weisen sie in jeder Phase leichte Variationen auf, was eine reichhaltigere Struktur ermöglicht, während der elegante Stil der Fraktale beibehalten wird. Unterteilungsregeln wurden in der Architektur, Biologie und Informatik sowie beim Studium hyperbolischer Mannigfaltigkeiten verwendet . Substitutions-Kacheln sind eine gut untersuchte Art von Unterteilungsregel.

Definition

Eine Unterteilungsregel nimmt eine Kachelung der Ebene durch Polygone und wandelt sie in eine neue Kachelung um, indem jedes Polygon in kleinere Polygone unterteilt wird. Es ist endlich, wenn es nur endlich viele Möglichkeiten gibt, wie sich jedes Polygon unterteilen kann. Jede Art der Unterteilung einer Kachel wird Kacheltyp genannt . Jeder Kacheltyp wird durch ein Etikett (normalerweise ein Buchstabe) repräsentiert. Jeder Kacheltyp unterteilt sich in kleinere Kacheltypen. Jede Kante wird außerdem nach endlich vielen Kantentypen unterteilt . Regeln für endliche Unterteilung können nur Kacheln unterteilen, die aus Polygonen bestehen, die nach Kacheltypen beschriftet sind. Solche Pflasterungen werden als Unterteilung Komplexe für die Unterteilung der Regel. Bei einem gegebenen Unterteilungskomplex für eine Unterteilungsregel können wir ihn immer wieder unterteilen, um eine Folge von Kacheln zu erhalten.

Die binäre Unterteilung hat beispielsweise einen Kacheltyp und einen Kantentyp:

Da der einzige Kacheltyp ein Viereck ist, kann die binäre Unterteilung nur Kacheln aus Vierecken unterteilen. Dies bedeutet, dass die einzigen Unterteilungskomplexe Kacheln durch Vierecke sind. Die Kachelung kann regelmäßig sein , muss aber nicht:

Hier beginnen wir mit einem Komplex aus vier Vierecken und unterteilen ihn zweimal. Alle Vierecke sind Kacheln vom Typ A.

Beispiele für endliche Unterteilungsregeln

Die baryzentrische Unterteilung ist ein Beispiel für eine Unterteilungsregel mit einem Kantentyp (der in zwei Kanten unterteilt wird) und einem Kacheltyp (ein Dreieck, das in 6 kleinere Dreiecke unterteilt wird). Jede triangulierte Fläche ist ein baryzentrischer Unterteilungskomplex.

Die Penrose-Kachelung kann durch eine Unterteilungsregel für einen Satz von vier Kacheltypen erzeugt werden (die geschwungenen Linien in der folgenden Tabelle helfen nur, um zu zeigen, wie die Kacheln zusammenpassen):

Name	Anfangsplättchen	Generation 1	Generation 2	Generation 3
Halbdrachen
Halbpfeil
Sonne
Stern

Bestimmte rationale Abbildungen führen zu endlichen Unterteilungsregeln. Dazu gehören die meisten Lattès-Karten .

Jeder Primzahl, nicht geteilte alternierende Knoten- oder Linkergänzung hat eine Unterteilungsregel mit einigen Kacheln, die sich nicht unterteilen, entsprechend der Grenze des Linkergänzungsmittels. Die Unterteilungsregeln zeigen, wie der Nachthimmel für jemanden aussehen würde, der in einem Knoten-Komplement lebt ; weil sich das Universum um sich selbst wickelt (dh nicht einfach verbunden ist ), würde ein Beobachter sehen, dass sich das sichtbare Universum in einem unendlichen Muster wiederholt. Die Unterteilungsregel beschreibt dieses Muster.

Die Unterteilungsregel sieht für verschiedene Geometrien unterschiedlich aus. Dies ist eine Unterteilungsregel für den Kleeblattknoten , der kein hyperbolischer Knoten ist :

Und dies ist die Unterteilungsregel für die Borromäischen Ringe , die hyperbolisch ist:

In jedem Fall würde sich die Unterteilungsregel auf eine Kachelung einer Kugel (dh des Nachthimmels) auswirken, aber es ist einfacher, nur einen kleinen Teil des Nachthimmels zu zeichnen, der einer wiederholten Unterteilung einer einzelnen Kachel entspricht. Das passiert beim Kleeblattknoten:

Und für die Borromäischen Ringe:

Unterteilungsregeln in höheren Dimensionen

Unterteilungsregeln können leicht auf andere Dimensionen verallgemeinert werden. Zum Beispiel wird die baryzentrische Unterteilung in allen Dimensionen verwendet. Außerdem kann die binäre Unterteilung auf andere Dimensionen verallgemeinert werden (wo Hyperwürfel durch jede Mittelebene geteilt werden), wie im Beweis des Heine-Borel-Theorems .

Strenge Definition

Eine Unterteilungsregel für den Vierer-Torus. Die Seiten der B-Plättchen, die sich unterteilen, können nur C-Plättchen berühren, und die Seiten der B-Plättchen, die nicht nur A-Plättchen berühren.

Eine endliche Unterteilungsregel besteht aus dem Folgenden. ${\displaystyle R}$

1. Ein endlicher 2-dimensionaler CW-Komplex , genannt Unterteilungskomplex , mit einer festen Zellstruktur, die die Vereinigung seiner geschlossenen 2-Zellen ist. Wir nehmen an, dass es für jede abgeschlossene 2-Zelle von eine CW-Struktur auf einer geschlossenen 2-Scheibe mit mindestens zwei Ecken gibt, deren Ecken und Kanten in enthalten sind , und die charakteristische Abbildung, die auf abbildet, beschränkt sich auf einen Homöomorphismus auf jede offene Zelle. ${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle {\tilde{s}}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \partial s}$${\displaystyle \psi_{s}:s\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle {\tilde{s}}}$

2. Ein endlicher zweidimensionaler CW-Komplex , der eine Unterteilung von ist . ${\displaystyle R(S_{R})}$${\displaystyle S_{R}}$

3. Eine kontinuierliche zelluläre Karte , die als Unterteilungskarte bezeichnet wird und deren Beschränkung auf jede offene Zelle ein Homöomorphismus auf eine offene Zelle ist. ${\displaystyle \phi_{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$

Jeder CW-Komplex in der obigen Definition (mit seiner gegebenen charakteristischen Karte ) wird als Kacheltyp bezeichnet . ${\displaystyle s}$${\displaystyle \psi_{s}}$

Ein -Komplex für eine Unterteilungsregel ist ein 2-dimensionaler CW-Komplex, der die Vereinigung seiner geschlossenen 2-Zellen zusammen mit einer kontinuierlichen Zellkarte ist, deren Beschränkung auf jede offene Zelle ein Homöomorphismus ist. Wir können in einen Komplex unterteilen, indem wir verlangen, dass sich die induzierte Karte auf einen Homöomorphismus auf jede offene Zelle beschränkt. ist wieder ein -komplex mit Karte . Durch Wiederholen dieses Vorgangs erhalten wir eine Folge von unterteilten -Komplexen mit Abbildungen . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi_{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle \phi_{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$

Binäre Unterteilung ist ein Beispiel:

Der Unterteilungskomplex kann durch Zusammenkleben der gegenüberliegenden Kanten des Quadrats erstellt werden, wodurch der Unterteilungskomplex zu einem Torus wird . Die Unterteilungskarte ist die sich verdoppelnde Karte auf dem Torus, die den Meridian zweimal um sich selbst und den Längengrad zweimal um sich selbst wickelt. Dies ist eine vierfache Deckkarte . Die durch Quadrate gekachelte Ebene ist ein Unterteilungskomplex für diese Unterteilungsregel, wobei die Strukturkarte durch die Standardüberdeckungskarte gegeben ist. Bei der Unterteilung wird jedes Quadrat in der Ebene in Quadrate von einem Viertel der Größe unterteilt. ${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})}$

Quasi-Isometrie-Eigenschaften

Der Verlaufsgraph der Unterteilungsregel für das mittlere Drittel .

Unterteilungsregeln können verwendet werden, um die Quasi-Isometrieeigenschaften bestimmter Räume zu untersuchen. Bei einer gegebenen Unterteilungsregel und einem Unterteilungskomplex können wir einen Graphen namens Verlaufsgraph konstruieren , der die Aktion der Unterteilungsregel aufzeichnet. Der Graph besteht aus den dualen Graphen jeder Stufe , zusammen mit Kanten, die jede Kachel mit ihren Unterteilungen in verbinden . ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n+1}(X)}$

Die Quasi-Isometrieeigenschaften des Verlaufsgraphen können mit Unterteilungsregeln untersucht werden. Zum Beispiel ist der Verlaufsgraph genau dann quasi isometrisch zum hyperbolischen Raum , wenn die Unterteilungsregel konform ist , wie im kombinatorischen Riemannschen Abbildungssatz beschrieben .

Anwendungen

Anwendungen der Unterteilungsregeln.

Ein Beispiel für eine Unterteilungsregel, die in der islamischen Kunst als girih verwendet wird .

Erste drei Schritte der Catmull-Clark-Unterteilung eines Würfels mit Unterteilungsfläche darunter.

Die Verzweigungsnatur von Bronchien kann durch endliche Unterteilungsregeln modelliert werden.

Islamische Girih- Fliesen in der islamischen Architektur sind selbstähnliche Fliesen, die mit endlichen Unterteilungsregeln modelliert werden können. 2007 veröffentlichten Peter J. Lu von der Harvard University und Professor Paul J. Steinhardt von der Princeton University in der Zeitschrift Science einen Artikel, der darauf hindeutet, dass girih-Fliesen Eigenschaften besitzen, die mit selbstähnlichen fraktalen quasikristallinen Fliesen wie Penrose- Fliesen übereinstimmen (Präsentation 1974, Vorgängerwerke .). ab etwa 1964) fünf Jahrhunderte älter.

Unterteilungsoberflächen in der Computergrafik verwenden Unterteilungsregeln, um eine Oberfläche auf einen bestimmten Genauigkeitsgrad zu verfeinern. Diese Unterteilungsflächen (wie die Catmull-Clark-Unterteilungsfläche ) nehmen ein Polygonnetz (wie es in 3D-Animationsfilmen verwendet wird) und verfeinern es zu einem Netz mit mehr Polygonen, indem Punkte gemäß verschiedenen rekursiven Formeln hinzugefügt und verschoben werden. Obwohl bei diesem Vorgang viele Punkte verschoben werden, ist jedes neue Netz kombinatorisch eine Unterteilung des alten Netzes (d. h. Sie können für jede Kante und jeden Scheitelpunkt des alten Netzes eine entsprechende Kante und einen entsprechenden Scheitelpunkt im neuen sowie mehrere weitere Kanten identifizieren und Eckpunkte).

Unterteilungsregeln wurden von Cannon, Floyd und Parry (2000) auf die Untersuchung großräumiger Wachstumsmuster biologischer Organismen angewendet. Cannon, Floyd und Parry erstellten ein mathematisches Wachstumsmodell, das zeigte, dass einige durch einfache endliche Unterteilungsregeln bestimmte Systeme zu Objekten (in ihrem Beispiel einem Baumstamm) führen können, deren großräumige Form im Laufe der Zeit wild oszilliert, obwohl die lokalen Unterteilungsgesetze bestehen bleiben das gleiche. Cannon, Floyd und Parry wandten ihr Modell auch auf die Analyse der Wachstumsmuster von Rattengewebe an. Sie schlugen vor, dass die "negativ gekrümmte" (oder nicht-euklidische) Natur der mikroskopischen Wachstumsmuster biologischer Organismen einer der Hauptgründe dafür ist, warum Großorganismen nicht wie Kristalle oder polyedrische Formen aussehen, sondern in vielen Fällen selbst- ähnliche Fraktale . Insbesondere schlugen sie vor, dass eine solche "negativ gekrümmte" lokale Struktur sich in einer stark gefalteten und stark verbundenen Natur des Gehirns und des Lungengewebes manifestiert.

Kanonenvermutung

Cannon , Floyd und Parry untersuchten zuerst endliche Unterteilungsregeln, um die folgende Vermutung zu beweisen:

Cannons Vermutung : Jede hyperbolische Gruppe von Gromov mit einer 2-Sphäre im Unendlichen wirkt geometrisch auf den hyperbolischen 3-Raum .

Eine geometrische Wirkung ist hier eine kokompakte, richtig diskontinuierliche Wirkung durch Isometrien. Diese Vermutung wurde teilweise von Grigori Perelman in seinem Beweis der Geometrisierungsvermutung gelöst , der (teilweise) besagt, dass jede hyperbolische Gruppe von Gromov, die eine 3-Mannigfaltigkeitsgruppe ist, geometrisch auf den hyperbolischen 3-Raum wirken muss. Es bleibt jedoch noch zu zeigen, dass eine hyperbolische Gromov-Gruppe mit einer 2-Sphäre im Unendlichen eine 3-Mannigfaltigkeitsgruppe ist.

Cannon und Swenson zeigten, dass eine hyperbolische Gruppe mit einer 2-Sphäre im Unendlichen eine zugehörige Unterteilungsregel hat. Wenn diese Unterteilungsregel in gewissem Sinne konform ist, wird die Gruppe eine 3-Mannigfaltigkeitsgruppe mit der Geometrie des hyperbolischen 3-Raums sein.

Kombinatorischer Riemann-Abbildungssatz

Unterteilungsregeln geben eine Abfolge von Kacheln einer Oberfläche an, und Kacheln geben eine Vorstellung von Abstand, Länge und Fläche (indem jede Kachel Länge und Fläche 1 hat). Im Grenzfall können die Abstände, die sich aus diesen Kacheln ergeben, in gewisser Weise zu einer analytischen Struktur auf der Oberfläche konvergieren . Das kombinatorische Riemann-Abbildungstheorem liefert notwendige und hinreichende Bedingungen dafür.

Seine Aussage braucht einige Hintergrundinformationen. Eine Kachelung eines Rings (dh eines geschlossenen Kreisrings) ergibt zwei Invarianten und , die als Näherungsmodule bezeichnet werden . Diese ähneln dem klassischen Modul eines Rings . Sie werden durch die Verwendung von Gewichtsfunktionen definiert . Eine Gewichtungsfunktion weist jeder Kachel von eine nicht negative Zahl zu, die als Gewichtung bezeichnet wird . Jedem Pfad im Pfad kann eine Länge zugewiesen werden, die als Summe der Gewichte aller Kacheln im Pfad definiert ist. Definieren Sie die Höhe von under als die Unendlichkeit der Länge aller möglichen Pfade, die die innere Begrenzung von mit der äußeren Begrenzung verbinden. Der Umfang von under ist das Infimum der Länge aller möglichen Bahnen, die den Ring umkreisen (dh nicht nullhomotop in R). Die Fläche von under ist definiert als die Summe der Quadrate aller Gewichte in . Dann definiere ${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup}(R,T)}$${\displaystyle m_{\inf}(R,T)}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H(\rho)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C(\rho)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A(\rho)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle M_{\sup}(R,T)=\sup{\frac {H(\rho)^{2}}{A(\rho)}},}$

${\displaystyle m_{\inf}(R,T)=\inf {\frac{A(\rho)}{C(\rho)^{2}}}.}$

Beachten Sie, dass sie bei der Skalierung der Metrik invariant sind.

Eine Folge von Kacheln ist konform ( ), wenn das Netz gegen 0 geht und: ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots}$${\displaystyle K}$

1. Für jeden Ring liegen die ungefähren Moduli und , für alle genügend groß, in einem einzigen Intervall der Form ; und${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup}(R,T_{i})}$${\displaystyle m_{\inf}(R,T_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [r,Kr]}$
2. Gegeben einen Punkt in der Oberfläche, eine Umgebung von und eine ganze Zahl , gibt es einen Ring beim Trennen von x vom Komplement von , so dass für alle großen die angenäherten Moduli von alle größer sind als .${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

Aussage des Theorems

Wenn eine Folge von Kacheln einer Fläche konform ( ) im obigen Sinne ist, dann gibt es eine konforme Struktur auf der Fläche und eine Konstante, die nur davon abhängt, in welchen klassischen Moduli und ungefähren Moduli (von für ausreichend groß) eines gegebenen Kreisrings sind -vergleichbar, dh sie liegen in einem einzigen Intervall . ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle [r,K'r]}$

Folgen

Der kombinatorische Riemann-Abbildungssatz impliziert, dass eine Gruppe genau dann geometrisch auf sie einwirkt, wenn sie nach Gromov hyperbolisch ist, eine Kugel im Unendlichen hat und die natürliche Unterteilungsregel auf der Kugel eine Folge von Kacheln ergibt, die im obigen Sinne konform ist . Somit wäre die Vermutung von Cannon wahr, wenn alle diese Unterteilungsregeln konform wären. ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb{H} ^{3}}$

Verweise

Externe Links

• Die Forschungsseite von Bill Floyd . Diese Seite enthält die meisten Forschungsarbeiten von Cannon, Floyd und Parry zu Unterteilungsregeln sowie eine Galerie mit Unterteilungsregeln.