Heine-Borel-Theorem - Heine–Borel theorem

In der realen Analyse besagt das Heine-Borel-Theorem , benannt nach Eduard Heine und Émile Borel :

Für eine Teilmenge S des euklidischen Raums R ⁿ sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

• S ist abgeschlossen und beschränkt
• S ist kompakt , d. h. jede offene Überdeckung von S hat eine endliche Teilüberdeckung.

Geschichte und Motivation

Die Geschichte des heutigen Heine-Borel-Theorems beginnt im 19. Jahrhundert mit der Suche nach soliden Grundlagen der realen Analyse. Im Mittelpunkt der Theorie standen das Konzept der gleichmäßigen Stetigkeit und der Satz, der besagt, dass jede stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall gleichmäßig stetig ist. Peter Gustav Lejeune Dirichlet war der erste, der dies bewies und implizit in seinem Beweis die Existenz einer endlichen Teilüberdeckung einer gegebenen offenen Überdeckung eines geschlossenen Intervalls benutzte. Diesen Beweis verwendete er in seinen Vorlesungen von 1852, die erst 1904 veröffentlicht wurden. Später verwendeten Eduard Heine , Karl Weierstrass und Salvatore Pincherle ähnliche Techniken. Émile Borel war 1895 der erste, der eine Form des sogenannten Heine-Borel-Theorems feststellte und bewies. Seine Formulierung beschränkte sich auf zählbare Umschläge. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) und Schoenflies (1900) verallgemeinerten es auf willkürliche Hüllen.

Nachweisen

Wenn eine Menge kompakt ist, muss sie abgeschlossen sein.

Sei S eine Teilmenge von R ⁿ . Beachten Sie zunächst Folgendes: Wenn a ein Grenzpunkt von S ist , dann ist jede endliche Menge C offener Mengen, so dass jede offene Menge U ∈ C von einer Umgebung V _U von a disjunkt ist , keine Überdeckung von S . Tatsächlich ist der Durchschnitt der endlichen Menge von Mengen V _U eine Umgebung W von a in R ⁿ . Da a ein Grenzpunkt von S ist , muss W einen Punkt x in S enthalten . Dieses x ∈ S wird nicht von der Familie C abgedeckt , da jedes U in C disjunkt von V _U und damit disjunkt von W ist , das x enthält .

Wenn S kompakt, aber nicht abgeschlossen ist, dann hat es einen Grenzpunkt a nicht in S . Betrachten wir eine Sammlung C  ' , bestehend aus einer offenen Umgebung N ( x ) für jedes x ∈ S , gewählt klein genug , um sich nicht schneiden einer Umgebung V _x von a . Dann ist C  ′ eine offene Überdeckung von S , aber jede endliche Untersammlung von C  ′ hat die zuvor besprochene Form von C und kann daher keine offene Unterüberdeckung von S sein . Dies widerspricht der Kompaktheit von S . Somit liegt jeder Grenzpunkt von S in S , also ist S abgeschlossen.

Der obige Beweis gilt fast unverändert für den Nachweis, dass jede kompakte Teilmenge S eines topologischen Hausdorff- Raums X in X abgeschlossen ist .

Ist eine Menge kompakt, dann ist sie beschränkt.

Sei eine kompakte Menge in und eine Kugel mit Radius 1 zentriert bei . Dann ist die Menge all dieser Kugeln, die bei zentriert sind, eindeutig eine offene Abdeckung von , da sie alle enthält . Da kompakt ist, nehmen Sie eine endliche Teilüberdeckung dieser Überdeckung. Diese Teilüberdeckung ist die endliche Vereinigung von Kugeln mit Radius 1. Betrachte alle Mittelpunktspaare dieser (endlich vielen) Kugeln (mit Radius 1) und sei das Maximum der Abstände zwischen ihnen. Dann, wenn und sind die Mittelpunkte (bzw.) von Einheitskugeln, die beliebige enthalten , sagt die Dreiecksungleichung: ${\displaystyle S}$${\displaystyle\mathbf{R}^{n}}$${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle x\in\mathbf{R}^{n}}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \cup_{x\in S}U_{x}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle C_{q}}$${\displaystyle p,q\in S}$

${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1 =M+2.}$

Der Durchmesser von ist also begrenzt durch . ${\displaystyle S}$${\displaystyle M+2}$

Eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.

Sei K eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge T in R ⁿ und C _K eine offene Hülle von K . Dann ist U = R ⁿ \ K eine offene Menge und

${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$

ist eine offene Abdeckung von T . Da T kompakt ist, hat C _T eine endliche Teilüberdeckung , die auch die kleinere Menge K überdeckt . Da U keinen Punkt von K enthält , ist die Menge K bereits von einer endlichen Untersammlung der ursprünglichen Sammlung C _K abgedeckt . Somit ist es möglich, aus jeder offenen Hülle C _K von K eine endliche Teilhülle zu extrahieren. ${\displaystyle C_{T}',}$${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},}$

Wenn eine Menge abgeschlossen und beschränkt ist, dann ist sie kompakt.

Ist eine Menge S in R ⁿ beschränkt, dann kann sie in eine n -Box eingeschlossen werden

${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$

wobei a > 0. Nach obiger Eigenschaft genügt es zu zeigen, dass T ₀ kompakt ist.

Nehmen Sie als Widerspruch an, dass T ₀ nicht kompakt ist. Dann existiert eine unendliche offene Überdeckung C von T ₀ , die keine endliche Teilüberdeckung zulässt. Durch Halbieren jeder der Seiten von T ₀ kann die Box T ₀ in 2 ⁿ Unter- n- Boxen aufgeteilt werden, von denen jede einen Durchmesser gleich dem halben Durchmesser von T _{0 hat} . Dann muss mindestens einer der 2 ⁿ Abschnitte von T ₀ eine unendliche Teilüberdeckung von C erfordern , sonst hätte C selbst eine endliche Teilüberdeckung, indem man die endlichen Überdeckungen der Abschnitte zusammenfügt. Nennen Sie diesen Abschnitt T ₁ .

Ebenso können die Seiten von T ₁ halbiert werden, was 2 ⁿ Abschnitte von T ₁ ergibt , von denen mindestens einer eine unendliche Teilüberdeckung von C erfordern muss . Wenn man in gleicher Weise fortfährt , erhält man eine abnehmende Folge von verschachtelten n -Boxen:

${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots}$

wobei die Seitenlänge von T _k ist (2  a ) / 2 ^k , das dazu neigt , auf 0 als k gegen Unendlich tendiert. Nehmen wir eine Sequenz (define x _k ) , so dass jede x _k IS in T _k . Diese Folge ist Cauchy, muss also gegen einen Grenzwert L konvergieren . Da jeder T _k geschlossen ist, und für jedes k die Folge ( x _k ) ist schließlich immer in T _k , sehen wir , dass L  ∈  T _k für jedes k .

Da C deckt T ₀ , dann hat es einiges Mitglied U  ∈ C , so dass L  ∈ U . Da U offen ist, gibt es eine n- Kugel B ( L ) U . Für k groß genug ist T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , aber dann kann die unendliche Anzahl von Mitgliedern von C, die benötigt wird, um T _k abzudecken , durch nur eins ersetzt werden: U , ein Widerspruch.

Somit ist T ₀ kompakt. Da S abgeschlossen und Teilmenge der kompakten Menge T _{0 ist} , ist auch S kompakt (siehe oben).

Heine-Borel-Eigenschaft

Der Satz von Heine-Borel gilt nicht wie gesagt für allgemeine metrische und topologische Vektorräume , und dies führt zu der Notwendigkeit, spezielle Klassen von Räumen zu betrachten, in denen dieser Satz wahr ist. Sie werden die Räume mit der Heine-Borel-Eigenschaft genannt .

In der Theorie der metrischen Räume

Ein metrischer Raum hat die Heine-Borel-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene beschränkte Menge in kompakt ist. ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$

Viele metrische Räume haben die Heine-Borel-Eigenschaft nicht, wie der metrische Raum der rationalen Zahlen (oder sogar jeder unvollständige metrische Raum). Vollständige metrische Räume verfügen möglicherweise auch nicht über die Eigenschaft; zum Beispiel haben keine unendlich-dimensionalen Banach-Räume die Heine-Borel-Eigenschaft (als metrische Räume). Noch trivialer ist, dass die reelle Gerade, wenn sie nicht mit der üblichen Metrik ausgestattet ist, möglicherweise nicht die Heine-Borel-Eigenschaft besitzt.

Ein metrischer Raum hat eine Heine-Borel-Metrik, die genau dann mit Cauchy lokal identisch ist, wenn sie vollständig , -kompakt und lokal kompakt ist . ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \sigma}$

In der Theorie der topologischen Vektorräume

Ein topologischer Vektorraum hat die Heine-Borel-Eigenschaft (RE Edwards verwendet den Begriff beschränkt kompakter Raum ), wenn jede abgeschlossene beschränkte Menge in kompakt ist. Keine unendlichdimensionalen Banachräume haben die Heine-Borel-Eigenschaft (als topologische Vektorräume). Aber einige unendlichdimensionale Fréchet-Räume haben zum Beispiel den Raum glatter Funktionen auf einer offenen Menge und den Raum holomorpher Funktionen auf einer offenen Menge . Allgemeiner gesagt hat jeder quasi-vollständige Kernraum die Heine-Borel-Eigenschaft. Alle Montelräume haben auch die Heine-Borel-Eigenschaft. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\infty}(\Omega)}$${\displaystyle \Omega\subset\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle H(\Omega)}$${\displaystyle \Omega\subset\mathbb{C}^{n}}$

Siehe auch

• Satz von Bozen-Weierstraß

Anmerkungen

Verweise

• P. Dugac (1989). „Sur la Correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue“. Bogen. Int. Hist. Sci . 39 : 69–110.
• BookOfProofs: Heine-Borel-Eigenschaft
• Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1988). Methoden der mathematischen Physik . Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.
• Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Konstruktionsmetriken mit der Heine-Borel-Eigenschaft" . Proz. AMS . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Kirillow, AA; Gvishiani, AD (1982). Theoreme und Probleme der Funktionalanalysis . Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Edwards, RE (1965). Funktionsanalyse . Holt, Rinehart und Winston. ISBN 0030505356.

Externe Links

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). Der Heine-Borel-Satz . Hannover: Leibniz-Universität. Archiviert vom Original (avi • mp4 • mov • swf • gestreamtes Video) am 2011-07-19.
• "Borel-Lebesgue-Abdeckungstheorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld "Heine-Borel-Theorem"
• "Eine Analyse der ersten Beweise des Heine-Borel-Theorems - Lebesgues Beweis"