Vierbeschleunigung - Four-acceleration

In der Relativitätstheorie ist die Vierbeschleunigung ein Viervektor (Vektor in vierdimensionaler Raumzeit ), der der klassischen Beschleunigung analog ist (ein dreidimensionaler Vektor, siehe Dreibeschleunigung in spezieller Relativitätstheorie ). Die Vierbeschleunigung findet Anwendung in Bereichen wie der Vernichtung von Antiprotonen , der Resonanz fremder Teilchen und der Strahlung einer beschleunigten Ladung.

Vierbeschleunigung in Trägheitskoordinaten

In Trägheitskoordinaten in speziellen Relativitätsvier Beschleunigung wird als die Änderungsrate definiert in Vierergeschwindigkeit in Bezug auf den des Partikels richtige Zeit entlang seiner World . Wir können sagen: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} = {\ frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} & = \ left (\ gamma _ {u} {\ dot {\ gamma} } _ {u} c, \, \ gamma _ {u} ^ {2} \ mathbf {a} + \ gamma _ {u} {\ dot {\ gamma}} _ {u} \ mathbf {u} \ right ) \\ & = \ left (\ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}, \, \ gamma _ {u} ^ { 2} \ mathbf {a} + \ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ mathbf {u} \ right ) \\ & = \ left (\ gamma _ {u} ^ {4} {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}, \, \ gamma _ {u} ^ { 4} \ left (\ mathbf {a} + {\ frac {\ mathbf {u} \ times \ left (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {a} \ right)} {c ^ {2}}} \ rechts) \ rechts), \ end {ausgerichtet}}}$

wo

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {d \ mathbf {u} \ over dt}}$ mit der Drei-Beschleunigung und der Drei-Geschwindigkeit und ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = {\ frac {\ mathbf {a \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ gamma _ {u} ^ {3} = {\ frac {\ mathbf {a \ cdot u}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ rechts) ^ {\ frac {3} {2}}}},}$ und

${\ displaystyle \ gamma _ {u}}$ ist der Lorentz-Faktor für die Geschwindigkeit (mit ). Ein Punkt über einer Variablen zeigt eine Ableitung in Bezug auf die Koordinatenzeit in einem gegebenen Referenzrahmen an, nicht die richtige Zeit (mit anderen Worten ). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle | \ mathbf {u} | = u}$${\ displaystyle \ tau}$${\ textstyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = {d \ gamma _ {u} \ over dt}}$

In einer momentan mitbewegten Trägheitsreferenzrahmen , und , das heißt in einem solchen Bezugssystem ${\ displaystyle \ mathbf {u} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {u} = 1}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {u} = 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (0, \ mathbf {a} \ right).}$

Geometrisch ist die Vierbeschleunigung ein Krümmungsvektor einer Weltlinie.

Daher ist die Größe der Vierbeschleunigung (die ein invarianter Skalar ist) gleich der richtigen Beschleunigung , die ein sich bewegendes Teilchen "fühlt", wenn es sich entlang einer Weltlinie bewegt. Eine Weltlinie mit konstanter Vierbeschleunigung ist ein Minkowski-Kreis, dh eine Hyperbel (siehe hyperbolische Bewegung ).

Das Skalarprodukt der Viergeschwindigkeit und der Vierbeschleunigung eines Teilchens ist immer 0.

Selbst bei relativistischen Geschwindigkeiten hängt die Vierbeschleunigung mit der Vierkraft zusammen :

${\ displaystyle F ^ {\ mu} = mA ^ {\ mu},}$

Dabei ist m die invariante Masse eines Teilchens.

Wenn die Vierkraft Null ist, beeinflusst nur die Gravitation die Flugbahn eines Teilchens, und das Vier-Vektor-Äquivalent des obigen zweiten Newtonschen Gesetzes reduziert sich auf die geodätische Gleichung . Die Vierbeschleunigung eines Teilchens, das eine geodätische Bewegung ausführt, ist Null. Dies entspricht, dass die Schwerkraft keine Kraft ist. Die Vierbeschleunigung unterscheidet sich von dem, was wir unter Beschleunigung verstehen, wie sie in der Newtonschen Physik definiert ist, wo die Schwerkraft als Kraft behandelt wird.

Vierbeschleunigung in nicht trägen Koordinaten

In nicht-trägen Koordinaten, die beschleunigte Koordinaten in der speziellen Relativitätstheorie und alle Koordinaten in der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten , wird der Beschleunigungs-Vier-Vektor durch eine absolute Ableitung in Bezug auf die richtige Zeit mit der Vier-Geschwindigkeit in Beziehung gesetzt.

${\ displaystyle A ^ {\ lambda}: = {\ frac {DU ^ {\ lambda}} {d \ tau}} = {\ frac {dU ^ {\ lambda}} {d \ tau}} + \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} U ^ {\ nu}}$

In Trägheitskoordinaten sind die Christoffel-Symbole alle Null, daher ist diese Formel mit der zuvor angegebenen Formel kompatibel. ${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu}}$

In der speziellen Relativitätstheorie sind die Koordinaten die eines geradlinigen Trägheitsrahmens, so dass der Begriff der Christoffel-Symbole verschwindet. Wenn Autoren jedoch gekrümmte Koordinaten verwenden, um einen beschleunigten Rahmen zu beschreiben, ist der Bezugsrahmen nicht träge, sondern beschreibt die Physik als besonders relativistisch, weil die Metrik nur eine Rahmentransformation der Minkowski- Raummetrik ist. In diesem Fall muss dieser Ausdruck verwendet werden, da die Christoffel-Symbole nicht mehr alle Null sind.

Siehe auch

• Vier-Vektor
• Viergeschwindigkeit
• Vier-Momentum
• Vier-Kraft
• Vier Gradienten
• Richtige Beschleunigung

Verweise

• Papapetrou A. (1974). Vorlesungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie . D. Reidel Verlag. ISBN   90-277-0514-3 .
• Rindler, Wolfgang (1991). Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie (2.) . Oxford: Oxford University Press. ISBN   0-19-853952-5 .

Externe Links

• Krümmungsvektor auf Britannica