Fraktales Derivat - Fractal derivative

In der angewandten Mathematik und mathematischen Analysis ist die fraktale Ableitung oder Hausdorff-Ableitung eine nicht-Newtonsche Verallgemeinerung der Ableitung, die sich mit der Messung von Fraktalen befasst , definiert in der fraktalen Geometrie. Fraktale Derivate wurden für das Studium der anomalen Diffusion geschaffen, bei der traditionelle Ansätze die fraktale Natur der Medien nicht berücksichtigen. Ein fraktales Maß t wird gemäß t ^α skaliert . Eine solche Ableitung ist lokal, im Gegensatz zur ähnlich angewendeten fraktionalen Ableitung .

Physischer Hintergrund

Poröse Medien , Grundwasserleiter , Turbulenzen und andere Medien weisen normalerweise fraktale Eigenschaften auf. Klassische Diffusions- oder Dispersionsgesetze basierend auf Zufallswanderungen im freien Raum (im Wesentlichen das gleiche Ergebnis, das verschiedentlich als Fick-Diffusionsgesetz , Darcy-Gesetz und Fourier-Gesetz bekannt ist ) sind auf fraktale Medien nicht anwendbar. Um dies anzugehen, müssen Konzepte wie Distanz und Geschwindigkeit für fraktale Medien neu definiert werden; insbesondere sollen Skalen für Raum und Zeit nach ( x ^β , t ^α ) transformiert werden . Elementare physikalische Konzepte wie Geschwindigkeit werden für die fraktale Raumzeit ( x ^β , t ^α ) wie folgt neu definiert :

${\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta}}{dt^{\alpha}}}\,,\quad\alpha,\beta > 0}$,

wobei S ^α,β die fraktale Raumzeit mit den Skalierungsindizes α und β darstellt . Die traditionelle Definition von Geschwindigkeit macht in der nicht differenzierbaren fraktalen Raumzeit keinen Sinn.

Definition

Basierend auf der obigen Diskussion wurde das Konzept der fraktalen Ableitung einer Funktion u ( t ) in Bezug auf ein fraktales Maß t wie folgt eingeführt:

${\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha}}}=\lim_{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})- f(t)}{t_{1}^{\alpha}-t^{\alpha}}}\,,\quad\alpha >0}$,

Eine allgemeinere Definition ist gegeben durch

${\displaystyle {\frac {\partial^{\beta}f(t)}{\partial t^{\alpha}}}=\lim_{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{ \beta}(t_{1})-f^{\beta}(t)}{t_{1}^{\alpha}-t^{\alpha}}}\,,\quad\alpha >0,\ Beta >0}$.

Motivation

Die Ableitungen einer Funktion f lassen sich über die Koeffizienten a _k in der Taylor-Reihenentwicklung definieren :

${\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum_{k=1}^{ \infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{ 0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}$

Aus diesem Ansatz kann man direkt erhalten:

${\displaystyle f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x \to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}}$

Dies kann durch Näherung von f mit Funktionen (x ^α -(x ₀ ) ^α ) ^k verallgemeinert werden :

${\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\cdot (x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha})^{k}= f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha})+o(x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha })}$

Hinweis: Der Koeffizient niedrigster Ordnung muss immer noch b ₀ =f(x ₀ ) sein, da er immer noch die konstante Näherung der Funktion f bei x _{0 ist} .

Auch hier kann man direkt erhalten:

${\displaystyle b_{1}=\lim_{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha}}(x_{0})}$

Eigenschaften

Ausdehnungskoeffizienten

Genau wie bei der Taylor-Reihenentwicklung können die Koeffizienten b _k durch die fraktalen Ableitungen der Ordnung k von f ausgedrückt werden:

${\displaystyle b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha}}{\biggr)}^{k}f(x=x_{0})}$

Beweisidee: Angenommen existiert, kann b _k geschrieben werden als${\textstyle ({d\over dx^{\alpha}})^{k}f(x=x_{0})}$${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d\over dx^{\alpha}})^{k}f(x=x_{0})}$

kann man jetzt gebrauchen und da${\textstyle f(x)=(x^{\alpha}-x_{0}^{\alpha})^{n}\Rightarrow ({d\over dx^{\alpha}})^{k}f (x=x_{0})=n!\delta_{n}^{k}}$${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Verbindung mit Derivat

Existiert für eine gegebene Funktion f sowohl die Ableitung Df als auch die fraktale Ableitung D _α f, kann man ein Analogon zur Kettenregel finden:

${\displaystyle {df\overdx^{\alpha}}={df\overdx}{dx\overdx^{\alpha}}={1\over\alpha}x^{1-\alpha }{df \über dx}}$

Der letzte Schritt wird durch den impliziten Funktionssatz motiviert , der uns unter geeigneten Bedingungen dx/dx ^α = (dx ^α /dx) ⁻¹

Ähnlich für die allgemeinere Definition:

${\displaystyle {d^{\beta}f\overd^{\alpha}x}={d(f^{\beta})\overd^{\alpha}x}={1\over\alpha} x^{1-\alpha}\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}$

Anwendung bei anomaler Diffusion

Als Alternative Modellierungsansatz zu dem zweiten Hauptsatz der klassischen Fick, wird die fraktale Derivat verwendet herzuleiten eine lineare anomalen Transport-Diffusionsgleichung zugrundeliegenden anomale Diffusion Prozess,

${\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha}}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta}}}\left({\frac { \partial u(x,t)}{\partial x^{\beta}}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)}$

${\displaystyle u(x,0)=\delta(x).}$

wobei 0 < α < 2, 0 < β < 1 und δ ( x ) die Dirac-Deltafunktion ist .

Um die Fundamentallösung zu erhalten , wenden wir die Variablentransformation an

${\displaystyle t'=t^{\alpha}\,,\quad x'=x^{\beta}.}$

dann wird die Gleichung (1) zur normalen Diffusionsformgleichung, die Lösung von (1) hat die gestreckte Gaußsche Form:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha}}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }} {4t^{\alpha}}}}}$

Die mittlere quadratische Verschiebung der obigen fraktalen Ableitungs-Diffusionsgleichung hat die Asymptote :

${\displaystyle \left\langle x^{2}(t)\right\rangle\propto t^{(3\alpha -\alpha\beta)/2\beta}.}$

Fraktal-Bruchrechnung

Die fraktale Ableitung ist mit der klassischen Ableitung verbunden, wenn die erste Ableitung der untersuchten Funktion existiert. In diesem Fall,

${\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha}}}=\lim_{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})- f(t)}{t_{1}^{\alpha}-t^{\alpha}}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^ {\alpha -1}}},\quad\alpha >0}$.

Aufgrund der Differenzierbarkeitseigenschaft eines Integrals sind gebrochene Ableitungen jedoch differenzierbar, daher wurde das folgende neue Konzept eingeführt

Die folgenden Differentialoperatoren wurden vor kurzem eingeführt und angewendet. Angenommen, y(t) sei stetig und fraktal differenzierbar auf (a, b) mit der Ordnung β , dann gelten mehrere Definitionen einer fraktal-fraktionalen Ableitung von y(t) mit der Ordnung α im Sinne von Riemann-Liouville:

• Mit einem Kernel vom Typ Potenzgesetz:

${\displaystyle ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Groß (}y(t){\Groß)}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta}}}\int _{0}^{t}(ts)^{m-\alpha -1}y(s)ds}$

• Mit exponentiell zerfallendem Kernel:

${\displaystyle ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta}{\Groß (}y(t){\Groß)}={\dfrac {M(\alpha)}{1-\ alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta}}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }} (ts){\Groß)}y(s)ds}$,

• Nach dem verallgemeinerten Kernel vom Mittag-Leffler-Typ:

${\displaystyle {}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha}f(t)={\frac {AB(\alpha)}{1-\alpha}}{\frac {d} {dt^{\beta}}}\int _{a}^{t}f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau\right)^ {\alpha}}{1-\alpha}}\rechts)\,d\tau\,.}$

Die obigen Differentialoperatoren haben jeweils einen zugeordneten fraktal-fraktionalen Integraloperator, wie folgt:

• Kernel vom Typ Potenzgesetz:

${\displaystyle ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta}{\Groß (}y(t){\Groß)}={\dfrac {\beta}{\Gamma (\alpha ) }}\int _{0}^{t}(ts)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}$

• Exponentiell zerfallender Kernel:

${\displaystyle ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Groß (}y(t){\Groß)}={\dfrac {\alpha\beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\alpha -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t) }{M(\alpha)}}}$.

• Verallgemeinerter Kernel vom Mittag-Leffler-Typ:

${\displaystyle ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta}{\Groß (}y(t){\Groß)}={\dfrac {\alpha\beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\alpha -1}y(s)(ts)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^ {\beta -1}y(t)}{AB(\alpha)}}}$. FFM wird mit dem verallgemeinerten Mittag-Leffler-Kernel als fraktal-fraktional bezeichnet.

Siehe auch

• Bruchrechnung
• Fractional-Order-System
• Multifraktales System

Verweise

Externe Links

• Potenzgesetz & Bruchdynamik
• Nicht-Newtonsche Infinitesimalrechnungs-Website