Grundlösung - Fundamental solution

In der Mathematik ist eine Fundamentallösung für einen linearen partiellen Differentialoperator L eine Formulierung in der Sprache der Verteilungstheorie der älteren Idee einer Greenschen Funktion (obwohl fundamentale Lösungen im Gegensatz zu Greens Funktionen keine Randbedingungen adressieren).

In Bezug auf die Dirac-Delta-"Funktion" δ ( x ) ist eine Fundamentallösung F eine Lösung der inhomogenen Gleichung

Hier F ist von vornherein nur angenommen , eine sein Verteilung .

Dieses Konzept wird seit langem für den Laplace in zwei und drei Dimensionen verwendet. Es wurde für alle Dimensionen für das Laplace-Operator von Marcel Riesz untersucht .

Die Existenz einer fundamentalen Lösung für jeden Operator mit konstanten Koeffizienten – der wichtigste Fall, der direkt mit der Möglichkeit verbunden ist, eine Faltung zu verwenden, um eine beliebige rechte Seite zu lösen – wurde von Bernard Malgrange und Leon Ehrenpreis gezeigt . Im Kontext der Funktionalanalyse werden grundlegende Lösungen normalerweise über die Fredholm-Alternative entwickelt und in der Fredholm-Theorie untersucht .

Beispiel

Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung Lf = sin( x ) mit

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$

Die Fundamentallösungen erhält man durch explizites Lösen von LF = δ ( x ) ,

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta(x)~.}$

Da für die Heaviside-Funktion H gilt

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}H(x)=\delta(x)~,}$

es gibt eine lösung

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C~.}$

Hier ist C eine beliebige Konstante, die durch die Integration eingeführt wird. Der Einfachheit halber setzen Sie C = −1/2 .

Nach Integration und Wahl der neuen Integrationskonstanten als Null gilt ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}}$

${\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.}$

Motivation

Sobald die Fundamentallösung gefunden ist, ist es einfach, durch Faltung der Fundamentallösung und der gewünschten rechten Seite eine Lösung der ursprünglichen Gleichung zu finden .

Fundamentale Lösungen spielen auch bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen nach der Randelementmethode eine wichtige Rolle .

Anwendung auf das Beispiel

Betrachten Sie den Operator L und die im Beispiel erwähnte Differentialgleichung,

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)~.}$

Wir können die Lösung der ursprünglichen Gleichung durch Faltung (gekennzeichnet durch ein Sternchen) der rechten Seite mit der Fundamentallösung finden : ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle\sin(x)}$${\displaystyle F(x)={\frac {|x|}{2}}}$

${\displaystyle f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|xy|\sin(y) \ dy~.}$

Dies zeigt, dass bei der Arbeit mit Funktionen, die nicht genügend Regularität haben (zB kompakter Träger, L ¹ Integrierbarkeit), Vorsicht geboten ist, da wir wissen, dass die gesuchte Lösung f  ( x ) = −sin( x ) ist , während das obige ganzzahlig divergiert für alle x . Die beiden Ausdrücke für f sind jedoch als Verteilungen gleich.

Ein Beispiel, das deutlicher funktioniert

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)~,}$

wobei I die charakteristische (Indikator-) Funktion des Einheitsintervalls [0,1] ist . In diesem Fall lässt sich leicht verifizieren, dass die Faltung I ∗ F mit F ( x ) = | x |/2 ist eine Lösung, dh hat die zweite Ableitung gleich I .

Beweis, dass die Faltung eine Lösung ist

Bezeichne die Faltung der Funktionen F und g als F ∗ g . Angenommen, wir versuchen, die Lösung von Lf = g ( x ) zu finden . Wir wollen beweisen , dass F * g eine Lösung der vorhergehenden Gleichung ist, dh wir das beweisen wollen , L ( F * g ) = g . Bei Anwendung des Differentialoperators L auf die Faltung ist bekannt, dass

${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g~,}$

vorausgesetzt, L hat konstante Koeffizienten.

Wenn F die Fundamentallösung ist, reduziert sich die rechte Seite der Gleichung auf

${\displaystyle \delta *g~.}$

Da aber die Deltafunktion ein Identitätselement für die Faltung ist, ist dies einfach g ( x ) . Zusammenfassen,

${\displaystyle L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty}\delta (xy)g(y)dy =g(x)~.}$

Wenn also F die Fundamentallösung ist, ist die Faltung F ∗ g eine Lösung von Lf = g ( x ) . Dies bedeutet nicht, dass es die einzige Lösung ist. Es können mehrere Lösungen für unterschiedliche Anfangsbedingungen gefunden werden.

Fundamentale Lösungen für einige partielle Differentialgleichungen

Mit der Fourier-Transformation erhält man:

Laplace-Gleichung

Für die Laplace-Gleichung gilt

${\displaystyle [-\Delta]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

die fundamentalen Lösungen in zwei bzw. drei Dimensionen sind

${\displaystyle \Phi_{2D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')=-{\frac{1}{2\pi}}\ln |\mathbf{x} -\mathbf {x } '|,\qquad\Phi_{3D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')={\frac{1}{4\pi |\mathbf{x} -\mathbf{x}' |}}~.}$

Geschirmte Poisson-Gleichung

Für die gerasterte Poisson-Gleichung gilt:

${\displaystyle [-\Delta +k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} '),\quad k\in\mathbb{R},}$

die grundlegenden Lösungen sind

${\displaystyle \Phi_{2D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')={\frac{1}{2\pi}}K_{0}(k|\mathbf{x} -\ mathbf {x} '|),\qquad \Phi_{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf { x} '|)}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}},}$

wobei eine modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art ist. ${\displaystyle K_{0}}$

In höheren Dimensionen ist die fundamentale Lösung der geschirmten Poisson-Gleichung durch das Bessel-Potential gegeben .

Biharmonische Gleichung

Für die biharmonische Gleichung gilt

${\displaystyle [-\Delta^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

die biharmonische Gleichung hat die Fundamentallösungen

${\displaystyle \Phi_{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8 \pi}}\ln |\mathbf{x} -\mathbf{x}'|,\qquad\Phi_{3D}(\mathbf{x},\mathbf{x}')={\frac {|\ mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}~.}$

Signalverarbeitung

In der Signalverarbeitung wird das Analoge der fundamentalen Lösung einer Differentialgleichung als Impulsantwort eines Filters bezeichnet.

Siehe auch

• Greens Funktion
• Impulsive Reaktion
• Parameter

Verweise

• "Grundlegende Lösung" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Zur Anpassung an Greens Funktion an der Grenze siehe Shijue Wu Anmerkungen .