Banach-Funktionalgebra - Banach function algebra

In Funktionsanalyse , ein Banachschen Funktion Algebra auf einem kompakten Hausdorff - Raum X ist unital Subalgebra , A , der kommutativen C * -Algebra C (X) alle kontinuierlichen , komplexer -wertige Funktionen von X , zusammen mit einer Norm zu A Das macht es ist eine Banach-Algebra .

Eine Funktionsalgebra soll an einem Punkt p verschwinden, wenn f ( p ) = 0 für alle ist . Eine Funktionsalgebra trennt Punkte, wenn es für jedes verschiedene Punktpaar eine Funktion gibt, so dass . ${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle f(p)\neq f(q)}$

Für jede Definition für . Dann ist ein Homomorphismus (Charakter) auf , ungleich Null, wenn er bei nicht verschwindet . ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \varepsilon_{x}(f)=f(x),}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle \varepsilon_{x}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$

Satz: Eine Banach-Funktionalgebra ist halbeinfach (das heißt, ihr Jacobson-Radikal ist gleich Null) und jede kommutative unitale , halbeinfache Banach-Algebra ist isomorph (über die Gelfand-Transformation ) zu einer Banach-Funktionalgebra auf ihrem Zeichenraum (dem Raum der Algebrahomomorphismen von A in die komplexen Zahlen bei relativ schwacher* Topologie ).

Wenn die Norm on die uniforme Norm (oder sup-Norm) on ist , dann wird sie als einheitliche Algebra bezeichnet . Uniformalgebren sind ein wichtiger Spezialfall von Banach-Funktionalgebren. ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

Verweise

• Andrew Browder (1969) Einführung in die Funktionsalgebren , WA Benjamin
• HG Dales (2000) Banach Algebras and Automatic Continuity , London Mathematical Society Monographies 24, Clarendon Press ISBN  0-19-850013-0
• Graham Allan & H. Garth Dales (2011) Einführung in Banach Spaces and Algebras , Oxford University Press ISBN  978-0-19-920654-4

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