Marcel Riesz- Marcel Riesz

Marcel Riesz
Marcel Riesz
	Riesz c. 1930.
Geboren	16. November 1886; Győr , Österreich-Ungarn
Ist gestorben	4. September 1969 (82 Jahre); Lund , Schweden
Staatsangehörigkeit	ungarisch
Bekannt für	Riesz-Thorin-Satz ; M. Riesz-Erweiterungssatz ; F. und M. Riesz-Satz ; Riesz-Potential ; Riesz-Funktion ; Riesz-Transformation ; Riesz-Mittelwert
	Wissenschaftlicher Werdegang
Felder	Mathematik
Institutionen	Universität Lund
Doktoratsberater	Lipót Fejér
Doktoranden	Harald Cramér ; Otto Frostman ; Lars Gårding ; Einar Carl Hille ; Lars Hörmander ; Olof Thorin

Marcel Riesz ( ungarisch : Riesz Marcell [ˈriːs ˈmɒrt͡sɛll] ; 16. November 1886 – 4. September 1969) war ein ungarischer Mathematiker , der für seine Arbeiten über Summationsmethoden , Potentialtheorie und andere Teile der Analysis sowie Zahlentheorie , partielle Differentialgleichungen und Clifford-Algebren bekannt war . Den Großteil seiner Karriere verbrachte er in Lund ( Schweden ).

Marcel ist der jüngere Bruder von Frigyes Riesz , der auch ein bedeutender Mathematiker war und zeitweise zusammengearbeitet hat (siehe Satz von F. und M. Riesz ).

Biografie

Marcel Riesz wurde in Győr , Österreich-Ungarn geboren ; er war der jüngere Bruder des Mathematikers Frigyes Riesz . Er promovierte an der Eötvös Loránd Universität unter der Leitung von Lipót Fejér . 1911 übersiedelte er auf Einladung von Gösta Mittag-Leffler nach Schweden . Von 1911 bis 1925 lehrte er an Stockholms högskola (heute Universität Stockholm ). Von 1926 bis 1952 war er Professor an der Universität Lund . Nach seiner Pensionierung verbrachte er 10 Jahre an Universitäten in den Vereinigten Staaten. 1962 kehrte er nach Lund zurück und starb dort 1969.

Riesz wurde 1936 zum Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt.

Mathematische Arbeit

Klassische Analyse

Die Arbeit von Riesz als Schüler von Fejér in Budapest widmete sich trigonometrischen Reihen :

{\frac {a_{0}}{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin (nx)\rechts\}.\,

Eines seiner Ergebnisse besagt, dass, wenn

\sum_{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|+|b_{n}|}{n^{2}}}<\infty ,\,

und wenn die Fejer-Mittel der Reihe gegen Null tendieren, dann sind alle Koeffizienten a _n und b _n Null.

Seine Ergebnisse zur Summierbarkeit trigonometrischer Reihen umfassen eine Verallgemeinerung des Satzes von Fejér auf Cesàro-Mittel beliebiger Ordnung. Er untersuchte auch die Summierbarkeit der Macht und die Dirichlet-Reihe und verfasste zusammen mit GH Hardy ein Buch Hardy & Riesz (1915) über Letzteres .

1916 führte er die Riesz-Interpolationsformel für trigonometrische Polynome ein , die ihm einen neuen Beweis der Bernsteinschen Ungleichung ermöglichte .

Er führte auch die Riesz-Funktion Riesz( x ) ein und zeigte, dass die Riemannsche Hypothese der Schranke {{{1}}} als x → ∞ für jedes ε > 0 äquivalent ist .

Zusammen mit seinem Bruder Frigyes Riesz bewies er den Satz von F. und M. Riesz , der insbesondere impliziert, dass wenn μ ein komplexes Maß auf dem Einheitskreis ist, so dass

\int z^{n}d\mu(z)=0,n=1,2,3\cdots,\,

dann die Variante | μ | von μ und das Lebesgue-Maß auf dem Kreis sind gegenseitig absolut stetig .

Funktionalanalytische Methoden

Ein Teil der analytischen Arbeit von Riesz in den 1920er Jahren verwendete Methoden der Funktionsanalyse .

In den frühen 1920er Jahren arbeitete er an dem Momentenproblem , in das er den Operator-theoretischen Ansatz einführte, indem er den Riesz-Erweiterungssatz bewies (der vor dem eng verwandten Hahn-Banach-Theorem entstand ).

Später entwickelte er ein Interpolationstheorem, um zu zeigen, dass die Hilbert-Transformation ein beschränkter Operator in L _{p ist} (1 < p < ). Die Verallgemeinerung des Interpolationssatzes durch seinen Schüler Olaf Thorin ist heute als Riesz-Thorin-Theorem bekannt .

Riesz hat auch unabhängig von Andrey Kolmogorov das sogenannte Kolmogorov-Riesz-Kompaktheitskriterium in L _{p aufgestellt} : Eine Teilmenge K ⊂ L _p ( R ⁿ ) ist genau dann vorkompakt, wenn die folgenden drei Bedingungen gelten: (a) K ist begrenzt;

(b) für jedes ε > 0 existiert R > 0, so dass

\int _{|x|>R}|f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,

für jedes f ∈ K ;

(c) für jedes ε > 0 existiert ρ > 0, so dass

\int _{\mathbb{R}^{n}}|f(x+y)-f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,

für jedes y ∈ R ⁿ mit | y | < ρ , und jedes f ∈ K .

Potentialtheorie, PDE und Clifford-Algebren

Nach 1930 verlagerte sich das Interesse von Riesz auf Potentialtheorie und partielle Differentialgleichungen . Er nutzte "generalisierte Potentiale", Verallgemeinerungen des Riemann-Liouville-Integrals . Insbesondere entdeckte Riesz das Riesz-Potential , eine Verallgemeinerung des Riemann-Liouville-Integrals auf eine Dimension größer als eins.

In den 1940er und 1950er Jahren arbeitete Riesz an Clifford-Algebren . Seine Vorlesungsnotizen von 1958, deren vollständige Fassung erst 1993 veröffentlicht wurde ( Riesz (1993) ), wurden von dem Physiker David Hestenes "die Hebamme der Wiedergeburt" der Clifford-Algebren genannt.

Studenten

Zu Riesz' Doktoranden in Stockholm gehören Harald Cramér und Einar Carl Hille . In Lund betreute Riesz die Thesen von Otto Frostman , Lars Hörmander und Olaf Thorin .

Veröffentlichungen

Hardy, GH ; Riesz, M. (1915). Die allgemeine Theorie der Dirichlet ' s - Serie . Cambridge University Press. JFM 45.0387.03 .
Riesz, Marcel (1988). Gesammelte Papiere . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-18115-6. HERR 0962287 .
Riesz, Marcel (1993) [1958]. Clifford-Zahlen und Spinoren . Grundlegende Theorien der Physik. 54 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 978-0-7923-2299-3. MR 1.247.961 .

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