Grundeinheit (Zahlentheorie) - Fundamental unit (number theory)

In algebraischer Zahlentheorie , eine Grundeinheit ist ein Generator (modulo die Einheitswurzeln ) für die Einheitsgruppe des Rings der ganzen Zahlen eines Zahlenfeldes , wenn diese Gruppe hat Rang 1 (dh , wenn die Einheitengruppe ihrer modulo Torsionsuntergruppe ist unendlich zyklisch ). Der Einheitensatz von Dirichlet zeigt, dass die Einheitsgruppe genau dann Rang 1 hat, wenn das Zahlenfeld ein reales quadratisches Feld , ein komplexes kubisches Feld oder ein völlig imaginäres Quartikfeld ist . Wenn die Einheitengruppe einen Rang ≥ 1 hat, wird eine Basis ihres Modulos ihrer Torsion als grundlegendes Einheitensystem bezeichnet . Einige Autoren verwenden den Begriff Grundeinheit , um jedes Element eines fundamentalen Einheitensystems zu bezeichnen, ohne sich auf den Fall von Rang 1 zu beschränken (z. B. Neukirch 1999 , S. 42).

Echte quadratische Felder

Für das reelle quadratische Feld (mit d quadratfrei) wird die Grundeinheit ε üblicherweise so normalisiert, dass ε > 1 (als reelle Zahl). Dann wird es eindeutig als die minimale Einheit unter denen charakterisiert, die größer als 1 sind. Wenn Δ die Diskriminante von K bezeichnet , dann ist die Grundeinheit ${\ displaystyle K = \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {a + b {\ sqrt {\ Delta}}} {2}}}$

wobei ( a ,  b ) die kleinste Lösung für ist

${\ displaystyle x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} = \ pm 4}$

in positiven ganzen Zahlen. Diese Gleichung ist im Grunde die Pellsche Gleichung oder die negative Pellgleichung, und ihre Lösungen können auf ähnliche Weise unter Verwendung der fortgesetzten Fraktionsexpansion von erhalten werden . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

Ob x ²  - Δ y ²  = –4 eine Lösung hat oder nicht, bestimmt, ob die Klassengruppe von K mit ihrer engen Klassengruppe identisch ist oder nicht, oder äquivalent, ob es in K eine Einheit der Norm –1 gibt oder nicht . Es ist bekannt, dass diese Gleichung genau dann eine Lösung hat, wenn die Periode der fortgesetzten Fraktionsexpansion von ungerade ist. Eine einfachere Beziehung kann unter Verwendung von Kongruenzen erhalten werden: Wenn Δ durch eine Primzahl teilbar ist, die zu 3 Modulo 4 kongruent ist, dann hat K keine Einheit der Norm −1. Die Umkehrung gilt jedoch nicht wie im Beispiel d  = 34 gezeigt. Anfang der neunziger Jahre schlug Peter Stevenhagen ein Wahrscheinlichkeitsmodell vor, das ihn zu einer Vermutung führte, wie oft die Umkehrung fehlschlägt. Insbesondere wenn D ( X ) die Anzahl der reellen quadratischen Felder ist, deren Diskriminante Δ < X nicht durch eine Primzahl teilbar ist, die zu 3 Modulo 4 kongruent ist, und D ^- ( X ) diejenigen sind, die eine Einheit der Norm –1 haben, dann ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {X \ rightarrow \ infty} {\ frac {D ^ {-} (X)} {D (X)}} = 1- \ prod _ {j \ geq 1 {\ text {odd} }} \ left (1-2 ^ {- j} \ right).}$

Mit anderen Worten, die Umkehrung schlägt in etwa 42% der Fälle fehl. Im März 2012 lieferten Étienne Fouvry und Jürgen Klüners ein aktuelles Ergebnis zu dieser Vermutung, die zeigen, dass das Gegenteil in 33% bis 59% der Fälle fehlschlägt.

Kubische Felder

Wenn K ein komplexes kubisches Feld ist, hat es eine eindeutige reale Einbettung und die Grundeinheit ε kann eindeutig so ausgewählt werden, dass | ε | > 1 in dieser Einbettung. Wenn die Diskriminante Δ von K | Δ | erfüllt Dann also ≥ 33

${\ displaystyle \ epsilon ^ {3}> {\ frac {| \ Delta | -27} {4}}.}$

Zum Beispiel ist die Grundeinheit von is und während die Diskriminante dieses Feldes –108 und ist ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle \ epsilon = 1 + {\ sqrt [{3}] {2}} + {\ sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {3} \ ca. 56,9}$

${\ displaystyle {\ frac {| \ Delta | -27} {4}} = 20.25}$

so . ${\ displaystyle \ epsilon ^ {3}> 20.25}$

Anmerkungen

Verweise

• Alaca, Şaban; Williams, Kenneth S. (2004), Einführung in die algebraische Zahlentheorie , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54011-7
• Duncan Buell (1989), Binäre quadratische Formen: Klassische Theorie und moderne Berechnungen , Springer-Verlag , S.  92–93 , ISBN 978-0-387-97037-0
• Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen (2010), "Über die negative Pell-Gleichung", Annals of Mathematics , 2 (3): 2035–2104, doi : 10.4007 / annals.2010.172.2035 , MR  2726105
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , 322 , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859 , Zbl  0.956,11021
• Stevenhagen, Peter (1993), "Die Anzahl der reellen quadratischen Felder mit Einheiten negativer Norm", Experimental Mathematics , 2 (2): 121–136, CiteSeerX  10.1.1.27.3512 , doi : 10.1080 / 10586458.1993.10504272 , MR  1259426

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Fundamental Unit" . MathWorld .