Algebraische ganze Zahl - Algebraic integer

In algebraischer Zahlentheorie , eine ganze algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl , das ist integral über die ganzen Zahlen. Das heißt, eine algebraische ganze Zahl ist eine komplexe Wurzel eines monischen Polynoms (ein Polynom, dessen führender Koeffizient 1 ist), dessen Koeffizienten ganze Zahlen sind. Die Menge aller algebraischen ganzen Zahlen ist abgeschlossen unter Addition, Subtraktion und Multiplikation und ist daher ein kommutativer Teilring der komplexen Zahlen.

Der Ring von ganzen Zahlen eines Zahlenkörpers $K$ , bezeichnet mit $O K$ , ist der Schnittpunkt von $K$ und $A$ : er kann auch als die maximale Ordnung des Körpers $K bezeichnet werden$ . Jede algebraische ganze Zahl gehört zum Ring der ganzen Zahlen eines Zahlenfeldes. Eine Anzahl $α$ ist eine ganze algebraische Zahl , wenn und nur wenn der Ring $[$ $α$ $]$ wird endlich erzeugt als Abelian Gruppe , die als Antwort ist -Modul . $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Definitionen

Das Folgende sind äquivalente Definitionen einer algebraischen ganzen Zahl. Lassen $K$ a sein Nummernfeld (dh eine endliche Ausdehnung der , die Menge der rationalen Zahlen ), mit anderen Worten, $K$ $=$ $($ $θ$ $)$ für einige algebraische Zahl $θ$ $& egr$ ; durch den Satz vom primitiven Elemente . ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ $\mathbb{C}$

$α \in K$ ist eine ganze algebraische Zahlwenn ein normiertes Polynom existiert $\mathbb{Z}$ , so daß $f (α) = 0$ ist .
$α \in K$ ist eine algebraische ganze Zahl, wenn das minimale monische Polynom von $α$ overin $[$ $x$ $] liegt$ . ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ $\mathbb{Z}$
$α \in K$ ist eine algebraische ganze Zahl, wenn $[$ $α$ $]$ ein endlich erzeugter-Modul ist. $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$
$& agr; \in K$ ist eine ganze algebraische Zahlwenn es einenNull endlich erzeugt existiert-Untermodul $M$ $\subset$ so dass $& agr; M$ $\subseteq$ $M$ . $\mathbb{Z}$ $\mathbb{C}$

Algebraische ganze Zahlen sind ein Spezialfall ganzzahliger Elemente einer Ringerweiterung. Insbesondere ist eine algebraische ganze Zahl ein ganzzahliges Element einer endlichen Erweiterung ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ .

Beispiele

Die einzigen algebraischen ganzen Zahlen, die in der Menge der rationalen Zahlen vorkommen, sind die ganzen Zahlen. Mit anderen Worten, der Schnittpunkt von und $A$ ist genau . Die rationale Zahl ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ $\mathbb{Z}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ein/B$ ist keine algebraische ganze Zahl, es sei denn, $b$ teilt $a$ . Beachten Sie, dass der führende Koeffizient des Polynoms $bx - a$ die ganze Zahl $b ist$ . Als weiterer Spezialfall ist die Quadratwurzel einer nichtnegativen ganzen Zahl $n$ eine algebraische ganze Zahl, aber irrational, es sei denn, $n$ ist ein perfektes Quadrat . ${\sqrt {n}}$
Wenn $d$ eine quadratfreie ganze Zahl ist, dann ist die Erweiterung ) ein quadratischer Körper rationaler Zahlen. Der Ring der algebraischen ganzen Zahlen $O$ $K$ enthält, da dies eine Wurzel des monischen Polynoms $x$ $2$ $-$ $d ist$ . Wenn außerdem $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4 ist$ , dann ist das Element auch eine algebraische ganze Zahl. Es erfüllt das Polynom $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ $K=\mathbb{Q} ({\sqrt {d}}$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$ $1 / 4 (1 - d)$ wobei der konstante Term $1 / 4 (1 - d)$ ist eine ganze Zahl. Der vollständige Ring von ganzen Zahlen wird von bzw. erzeugt . Weitere Informationen finden Sie unter quadratische ganze Zahlen . ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})}$
Der Ring der ganzen Zahlen des Körpers ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ , $α = 3 \sqrt m$ , hat die folgende ganzzahlige Basis , schreibt $m = hk 2$ für zwei quadratfreie teilerfremde ganze Zahlen $h$ und $k$ :

{\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1 {\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha^{2}}{k}}&{\text{sonst}}\end{cases}}

Wenn $ζ n$ ist eine primitive $n$ - te Einheitswurzel , dann wird der Ring der ganzen Zahlen des zyklotomische Feld $($ $ζ$ $n$ $)$ genau $[$ $ζ$ $n$ $]$ . ${\displaystyle\mathbb{Q}}$ $\mathbb{Z}$
Wenn $α$ eine algebraische ganze Zahl ist, dann ist $β = n \sqrt α$ eine andere algebraische ganze Zahl. Ein Polynom für $β$ wird durch Einsetzen von $x n$ in das Polynom für $α erhalten$ .

Nicht-Beispiel

Wenn $P (x)$ ist ein primitives Polynom , die ganzzahlige Koeffizienten aufweist , aber nicht monic, und $P$ ist nicht reduzierbar auf , dann keiner der Wurzeln von $P$ sind algebraische Zahlen (aber sind algebraische Zahlen ). Hier wird primitiv in dem Sinne verwendet, dass der höchste gemeinsame Faktor des Satzes von Koeffizienten von $P$ 1 ist; dies ist schwächer als zu verlangen, dass die Koeffizienten paarweise relativ prim sind. ${\displaystyle\mathbb{Q}}$

Fakten

Die Summe, Differenz und das Produkt zweier algebraischer Ganzzahlen ist eine algebraische Ganzzahl. Im Allgemeinen ist ihr Quotient nicht. Das beteiligte monische Polynom ist im Allgemeinen von höherem Grad als das der ursprünglichen algebraischen ganzen Zahlen und kann durch Nehmen von Resultierenden und Faktorisieren gefunden werden. Wenn zum Beispiel $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ und $z = xy ist$ , dann ergibt die Eliminierung von $x$ und $y$ aus $z - xy = 0$ und den von $x$ und $y$ erfüllten Polynomen unter Verwendung der Resultierenden $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , was irreduzibel ist und die vom Produkt erfüllte monische Gleichung ist. (Um zu sehen, dass $xy$ eine Wurzel aus der $x$ -Resultante von $z - xy$ und $x 2 - x - 1 ist$ , könnte man die Tatsache nutzen, dass die Resultante in dem Ideal enthalten ist, das von ihren beiden Eingangspolynomen erzeugt wird.)
Jede aus den ganzen Zahlen mit Wurzeln, Addition und Multiplikation konstruierbare Zahl ist daher eine algebraische ganze Zahl; aber nicht alle algebraischen ganzen Zahlen sind so konstruierbar: in einem naiven Sinne sind es die meisten Wurzeln irreduzibler Quinten nicht. Dies ist der Satz von Abel-Ruffini .
Jede Wurzel eines monischen Polynoms, dessen Koeffizienten algebraische ganze Zahlen sind, ist selbst eine algebraische ganze Zahl. Mit anderen Worten, die algebraischen ganzen Zahlen bilden einen Ring, der in jeder seiner Verlängerungen vollständig geschlossen ist .
Der Ring der algebraischen ganzen Zahlen ist ein Bézout-Gebiet , als Folge des Hauptidealsatzes .
Wenn das einer algebraischen ganzen Zahl zugeordnete monische Polynom den konstanten Term 1 oder -1 hat, dann ist der Kehrwert dieser algebraischen ganzen Zahl auch eine algebraische ganze Zahl und ist eine Einheit , ein Element der Gruppe von Einheiten des Rings der algebraischen ganzen Zahlen.

Siehe auch

Verweise

^ Marcus, Daniel A. (1977). Zahlenfelder (3. Aufl.). Berlin, New York: Springer-Verlag . CH. 2, s. 38 und Bsp. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Algebraische Zahlentheorie: Ein rechnerischer Ansatz (PDF) .

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Zahlenfelder (3. Aufl.). Berlin, New York: Springer-Verlag . CH. 2, s. 38 und Bsp. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

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