Tian Gang - Tian Gang

In diesem chinesischen Namen , der Familienname ist Tian .
Tian Gang
Gang Tian.jpeg
Tian in Oberwolfach im Jahr 2005
Geboren ( 1958-11-24 ) 24. November 1958 (62 Jahre)
Nanjing , Jiangsu , China
Staatsangehörigkeit China
Alma Mater Harvard University
Peking University
Nanjing University
Bekannt für Yau-Tian-Donaldson vermutet
K-Stabilität
Auszeichnungen Veblen-Preis (1996)
Alan T. Waterman-Preis (1994)
Wissenschaftliche Karriere
Felder Mathematik
Institutionen Princeton University
Peking University
Doktorvater Shing-Tung Yau
Doktoranden Nataša Šešum
Chinesischer Name
Traditionelles Chinesisch 田 剛
Vereinfachtes Chinesisch 田 刚

Tian Gang ( chinesisch : 田 刚 ; geboren am 24. November 1958) ist ein chinesischer Mathematiker . Er ist Professor für Mathematik an der Peking University und emeritierter Higgins-Professor an der Princeton University . Er ist bekannt für Beiträge zu den mathematischen Bereichen der Kähler-Geometrie , der Gromov-Witten-Theorie und der geometrischen Analyse .

Ab 2020 ist er stellvertretender Vorsitzender der China Democratic League und Präsident der Chinese Mathematical Society . Von 2017 bis 2019 war er Vizepräsident der Peking-Universität .

Biografie

Tian wurde in Nanjing , Jiangsu , China geboren. Nach der Kulturrevolution im Jahr 1978 qualifizierte er sich für die zweite College-Aufnahmeprüfung. 1982 schloss er sein Studium an der Universität Nanjing ab und erhielt 1984 einen Master-Abschluss an der Universität Peking. 1988 promovierte er zum Dr. in Mathematik an der Harvard University unter der Aufsicht von Shing-Tung Yau .

1998 wurde er zum Cheung Kong Scholar Professor an der Peking University ernannt. Später wurde seine Ernennung in die Professur des Cheung Kong Scholar Lehrstuhls geändert. Von 1995 bis 2006 war er Professor für Mathematik am Massachusetts Institute of Technology (seit 1996 Vorsitzender von Simons Professor für Mathematik). Seine Anstellung in Princeton begann 2003 und wurde später zum Higgins-Professor für Mathematik ernannt. Ab 2005 war er Direktor des Internationalen Zentrums für mathematische Forschung in Peking (BICMR). Von 2013 bis 2017 war er Dekan der School of Mathematical Sciences an der Peking University. Er und John Milnor sind Senior Scholars des Clay Mathematics Institute (CMI). 2011 wurde Tian Direktor des chinesisch-französischen Forschungsprogramms für Mathematik am Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) in Paris . 2010 wurde er wissenschaftlicher Berater für das Internationale Zentrum für Theoretische Physik in Triest , Italien.

Tian war in vielen Komitees tätig, unter anderem für den Abel-Preis und den Leroy P. Steele-Preis . Er ist Mitglied der Redaktionen vieler Zeitschriften, darunter Advances in Mathematics und des Journal of Geometric Analysis. In der Vergangenheit war er Redaktionsmitglied von Annals of Mathematics und des Journal of the American Mathematical Society .

Unter seinen Auszeichnungen und Ehrungen:

Seit mindestens 2013 ist er stark in der chinesischen Politik engagiert und fungiert als stellvertretender Vorsitzender der China Democratic League , der zweitgrößten politischen Partei in China .

Mathematische Beiträge

Das Kähler-Einstein-Problem

Tian ist bekannt für seine Beiträge zur Kähler-Geometrie und insbesondere zur Untersuchung der Kähler-Einstein-Metriken . Shing-Tung Yau hatte in seiner bekannten Entschließung der Calabi-Vermutung den Fall geschlossener Kähler-Mannigfaltigkeiten mit nicht positiver erster Chern-Klasse beigelegt . Seine Arbeit bei der Anwendung der Kontinuitätsmethode zeigte, dass die C 0 -Kontrolle der Kähler-Potentiale ausreichen würde, um die Existenz von Kähler-Einstein-Metriken an geschlossenen Kähler-Mannigfaltigkeiten mit positiver erster Chern-Klasse, auch als "Fano-Mannigfaltigkeiten" bekannt, zu beweisen.

Tian führte 1987 die " α- Variante" ein, die im Wesentlichen die optimale Konstante in der Moser-Trudinger-Ungleichung ist, wenn sie auf Kähler-Potentiale mit einem Oberwert von 0 angewendet wird. Er zeigte, dass die α- Variante ausreichend groß ist (d. H. Wenn eine ausreichend starke Moser-Trudinger-Ungleichung gilt, könnte eine C 0 -Kontrolle in Yaus Kontinuitätsmethode erreicht werden. Dies wurde angewendet, um neue Beispiele für Kähler-Einstein-Oberflächen zu demonstrieren.

Der Fall der Kähler-Oberflächen wurde 1990 von Tian erneut aufgegriffen, um das Kähler-Einstein-Problem in diesem Zusammenhang vollständig zu lösen. Die Haupttechnik bestand darin, die möglichen geometrischen Degenerationen einer Folge von Kähler-Einstein-Metriken zu untersuchen, die durch die Gromov-Hausdorff-Konvergenz nachweisbar sind . Tian hat viele der technischen Innovationen von Karen Uhlenbeck , die für Yang-Mills-Verbindungen entwickelt wurden, an die Einstellung von Kähler-Metriken angepasst . Einige ähnliche und einflussreiche Arbeiten im riemannischen Umfeld wurden 1989 und 1990 von Michael Anderson , Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue und Hiraku Nakajima durchgeführt .

Tians bekanntester Beitrag zum Kähler-Einstein-Problem kam 1997. Yau hatte in den 1980er Jahren, teilweise analog zum Donaldson-Uhlenbeck-Yau-Theorem , vermutet , dass die Existenz einer Kähler-Einstein-Metrik der Stabilität des zugrunde liegenden Kählers entsprechen sollte vielfältig in einem gewissen Sinne der geometrisch invarianten Theorie . Insbesondere nach der Arbeit von Akito Futaki wurde allgemein verstanden, dass die Existenz holomorpher Vektorfelder die Existenz von Kähler-Einstein-Metriken behindern sollte. Tian gab in seinem Artikel von 1997 konkrete Beispiele für Kähler-Mannigfaltigkeiten, die keine holomorphen Vektorfelder und auch keine Kähler-Einstein-Metriken aufwiesen, und zeigte, dass das ideale Kriterium tiefer liegt. Yau hatte vorgeschlagen, dass es anstelle holomorpher Vektorfelder auf dem Verteiler selbst relevant sein sollte, die Deformationen projektiver Einbettungen von Kähler-Verteilern unter holomorphen Vektorfeldern im projektiven Raum zu untersuchen. Diese Idee wurde von Tian modifiziert, indem der Begriff der K-Stabilität eingeführt und gezeigt wurde, dass jede Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit K-stabil sein muss.

Simon Donaldson modifizierte und erweiterte 2002 Tians Definition der K-Stabilität. Die Vermutung, dass die K-Stabilität ausreichen würde, um die Existenz einer Kähler-Einstein-Metrik sicherzustellen, wurde als Yau-Tian-Donaldson-Vermutung bekannt . 2015 veröffentlichten Xiuxiong Chen , Donaldson und Song Sun einen Beweis für die Vermutung und erhielten für ihre Arbeit den Oswald-Veblen-Preis für Geometrie . Tian veröffentlichte im selben Jahr einen Beweis für die Vermutung, obwohl Chen, Donaldson und Sun Tian akademisches und mathematisches Fehlverhalten in Bezug auf seine Arbeit vorgeworfen haben.

Kähler Geometrie

In einem Artikel von 1987 untersuchte Tian den Raum der Calabi-Yau-Metriken auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit. Er zeigte, dass jede infinitesimale Verformung der Calabi-Yau-Struktur in eine Ein-Parameter-Familie von Calabi-Yau-Metriken "integriert" werden kann. Dies beweist, dass der "Modulraum" der Calabi-Yau-Metriken auf dem gegebenen Verteiler die Struktur eines glatten Verteilers hat. Dies wurde auch früher von Andrey Todorov untersucht, und das Ergebnis ist als Tian-Todorov-Theorem bekannt. Als Anwendung fand Tian eine Formel für die Weil-Petersson-Metrik im Modulraum von Calabi-Yau-Metriken in Bezug auf die Periodenabbildung .

Motiviert durch das Kähler-Einstein-Problem und eine Vermutung von Yau in Bezug auf Bergman-Metriken untersuchte Tian das folgende Problem. Sei L ein Linienbündel über einer Kähler-Mannigfaltigkeit M und fixiere eine Einsiedler-Bündel-Metrik, deren Krümmungsform eine Kähler-Form auf M ist . Nehmen wir an, daß für hinreichend große m , einer orthonormalen Satz von holomorphe Abschnitte des Leitungsbündels L ⊗ m eine projektive Einbettung definiert M . Man kann die Fubini-Study-Metrik zurückziehen , um eine Folge von Metriken für M zu definieren, wenn m zunimmt. Tian zeigte, dass eine bestimmte Neuskalierung dieser Sequenz in der C 2 -Topologie notwendigerweise zur ursprünglichen Kähler-Metrik konvergiert . Die verfeinerten Asymptotiken dieser Sequenz wurden in einer Reihe einflussreicher nachfolgender Arbeiten anderer Autoren aufgegriffen und sind besonders wichtig in Simon Donaldsons Programm zu extremen Metriken. Die Annäherbarkeit einer Kähler-Metrik durch Kähler-Metriken, die durch projektive Einbettungen induziert werden, ist auch relevant für Yaus Bild der Yau-Tian-Donaldson-Vermutung, wie oben angegeben.

In einem hochtechnischen Artikel aus dem Jahr 2008 untersuchten Xiuxiong Chen und Tian die Regelmäßigkeitstheorie bestimmter komplexer Monge-Ampère-Gleichungen mit Anwendungen zur Untersuchung der Geometrie extremer Kähler-Metriken. Obwohl ihre Arbeit sehr häufig zitiert wurde, fanden Julius Ross und David Witt Nyström Gegenbeispiele zu den Regelmäßigkeitsergebnissen von Chen und Tian im Jahr 2015. Es ist nicht klar, welche Ergebnisse des Artikels von Chen und Tian weiterhin gültig sind.

Gromov-Witten-Theorie

Pseudoholomorphe Kurven wurden 1985 von Mikhail Gromov als leistungsstarke Werkzeuge in symplektischer Geometrie gezeigt . 1991 vermutete Edward Witten eine Verwendung von Gromovs Theorie, um enumerative Invarianten zu definieren . Tian und Yongbin Ruan fanden die Details einer solchen Konstruktion und bewiesen, dass die verschiedenen Schnittpunkte der Bilder pseudo-holomorpher Kurven unabhängig von vielen Auswahlmöglichkeiten sind und insbesondere eine assoziative multilineare Abbildung der Homologie bestimmter symplektischer Mannigfaltigkeiten liefern. Diese Struktur ist als Quantenkohomologie bekannt ; Ein zeitgleicher und ähnlich einflussreicher Ansatz ist Dusa McDuff und Dietmar Salamon zu verdanken . Die Ergebnisse von Ruan und Tian sind etwas allgemeiner.

Mit Jun Li gab Tian eine rein algebraische Anpassung dieser Ergebnisse an die Einstellung algebraischer Varietäten . Dies geschah zur gleichen Zeit wie Kai Behrend und Barbara Fantechi mit einem anderen Ansatz.

Li und Tian passten ihre algebrogeometrischen Arbeiten dann wieder an die analytische Umgebung in symplektischen Mannigfaltigkeiten an und erweiterten die früheren Arbeiten von Ruan und Tian. Tian und Gang Liu nutzten diese Arbeit, um die bekannte Arnold-Vermutung über die Anzahl der Fixpunkte von Hamiltonschen Diffeomorphismen zu beweisen. Die Arbeiten von Li-Tian und Liu-Tian zur symplektischen Gromov-Witten-Theorie wurden jedoch von Dusa McDuff und Katrin Wehrheim als unvollständig oder falsch kritisiert Der Artikel von Liu und Tian weist "schwerwiegende Analysefehler" auf.

Geometrische Analyse

1995 studierte Tian und Weiyue Ding der harmonischen Karte Wärmestrom eines zweidimensionalen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit in einen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit N . In einer wegweisenden Arbeit von 1985 hatte Michael Struwe nach dem Durchbruch von Jonathan Sacks und Karen Uhlenbeck im Jahr 1982 dieses Problem untersucht und gezeigt, dass es eine schwache Lösung gibt, die für alle positiven Zeiten existiert. Darüber hinaus zeigte Struwe, dass die Lösung u von endlich vielen Raumzeitpunkten glatt ist; Bei einer beliebigen Folge von Raumzeitpunkten, an denen die Lösung glatt ist und die zu einem bestimmten singulären Punkt ( p , T ) konvergieren , kann man einige Neuskalierungen durchführen, um (nacheinander) eine endliche Anzahl von harmonischen Karten aus der runden zweidimensionalen Kugel in zu definieren N , genannt "Blasen". Ding und Tian haben eine gewisse "Energiequantisierung" bewiesen, was bedeutet, dass der Defekt zwischen der Dirichlet-Energie von u ( T ) und der Grenze der Dirichlet-Energie von u ( t ), wenn sich t T nähert, genau durch die Summe der Dirichlet-Energien gemessen wird der Blasen. Solche Ergebnisse sind in der geometrischen Analyse von Bedeutung, da sie dem ursprünglichen Ergebnis der Energiequantisierung von Yum-Tong Siu und Shing-Tung Yau in ihrem Beweis der Frankel-Vermutung folgen . Das analoge Problem für harmonische Karten wurde im Gegensatz zu Ding und Tians Betrachtung des harmonischen Kartenflusses ungefähr zur gleichen Zeit von Changyou Wang betrachtet.

Eine wichtige Arbeit von Tian aus dem Jahr 2000 befasste sich mit den Yang-Mills-Gleichungen . Er erweiterte nicht nur einen Großteil von Karen Uhlenbecks Analyse auf höhere Dimensionen, sondern untersuchte auch die Wechselwirkung der Yang-Mills-Theorie mit der kalibrierten Geometrie . Uhlenbeck hatte in den 1980er Jahren gezeigt, dass eine gegebene Folge von Yang-Mills-Verbindungen mit gleichmäßig begrenzter Energie reibungslos auf das Komplement einer Teilmenge von mindestens vier Codimensionen konvergiert, die als Komplement der "singulären Menge" bekannt ist. Tian zeigte, dass die singuläre Menge eine korrigierbare Menge ist . Für den Fall, dass der Verteiler mit einer Kalibrierung ausgestattet ist, kann man das Interesse auf die Yang-Mills-Verbindungen beschränken, die relativ zur Kalibrierung selbst dual sind. In diesem Fall zeigte Tian, ​​dass der Singularsatz kalibriert ist. Zum Beispiel wird die singuläre Menge einer Folge von hermitischen Yang-Mills-Verbindungen mit gleichmäßig begrenzter Energie ein holomorpher Zyklus sein. Dies ist ein wesentliches geometrisches Merkmal der Analyse von Yang-Mills-Verbindungen.

Im Jahr 2006 untersuchten Tian und Zhou Zhang den Ricci-Fluss in der speziellen Umgebung geschlossener Kähler-Verteiler . Ihre Hauptleistung bestand darin zu zeigen, dass die maximale Existenzzeit rein kohomologisch charakterisiert werden kann. Dies stellt einen Sinn dar, in dem der Kähler-Ricci-Fluss wesentlich einfacher ist als der übliche Ricci-Fluss, bei dem keine (bekannte) Berechnung der maximalen Existenzzeit aus einem gegebenen geometrischen Kontext erfolgt. Tian Zhang und den Nachweis besteht aus einer Verwendung des skalaren maximalen Prinzip wie zu verschiedenen geometrischen Evolutionsgleichungen angewendet wird , in Bezug auf ein Kähler Potential wie durch eine lineare Deformation der Formen parametrisiert , die zur Kahler-Ricci cohomologous selbst fließen.

In den Jahren 2002 und 2003 veröffentlichte Grigori Perelman drei Artikel über arXiv, die die Poincaré-Vermutung und die Geometrisierungs-Vermutung auf dem Gebiet der dreidimensionalen geometrischen Topologie beweisen sollen . Perelmans Arbeiten wurden sofort für viele ihrer neuartigen Ideen und Ergebnisse gelobt, obwohl die technischen Details vieler seiner Argumente als schwer zu überprüfen angesehen wurden. In Zusammenarbeit mit John Morgan veröffentlichte Tian 2007 eine Ausstellung von Perelmans Arbeiten, in der viele Details ausgefüllt wurden. Andere Expositionen, die ebenfalls häufig zitiert wurden, wurden von Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu sowie von Bruce Kleiner und John Lott verfasst . In Zusammenarbeit mit Nataša Šešum veröffentlichte Tian auch eine Ausstellung von Perelmans Arbeiten zum Ricci-Fluss der Kähler-Mannigfaltigkeiten, die Perelman in keiner Form veröffentlichte. Acht Jahre nach der Veröffentlichung von Morgans und Tians Buch wies Abbas Bahri in seinem Artikel "Fünf Lücken in der Mathematik" darauf hin, dass einige ihrer Arbeiten fehlerhaft waren. Dies wurde von Morgan und Tian geändert.

Ausgewählte Publikationen

  • Tian, ​​Gang. Glätte des universellen Verformungsraums kompakter Calabi-Yau-Verteiler und seiner Petersson-Weil-Metrik. Mathematische Aspekte der Stringtheorie (San Diego, CA, 1986), 629–646, Adv. Ser. Mathematik. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapur, 1987.
  • Tian, ​​Gang. Auf Kähler-Einstein-Metriken auf bestimmten Kähler-Mannigfaltigkeiten mit c 1 ( M )> 0 . Erfinden. Mathematik. 89 (1987), Nr. 2, 225–246.
  • Tian, ​​Gang. Auf einer Reihe polarisierter Kähler-Metriken auf algebraischen Mannigfaltigkeiten. J. Differential Geom. 32 (1990), no. 1, 99–130.
  • Tian, ​​G. Über Calabis Vermutung für komplexe Oberflächen mit positiver erster Chern-Klasse. Erfinden. Mathematik. 101 (1990), no. 1, 101–172.
  • Ding, Weiyue; Tian, ​​Gang. Energieidentität für eine Klasse von ungefähren harmonischen Karten von Oberflächen. Comm. Anal. Geom. 3 (1995), Nr. 3-4, 543–554.
  • Ruan, Yongbin ; Tian, ​​Gang. Eine mathematische Theorie der Quantenkohomologie. J. Differential Geom. 42 (1995), no. 2, 259–367.
  • Tian, ​​Gang. Kähler-Einstein-Metriken mit positiver Skalarkrümmung. Erfinden. Mathematik. 130 (1997), Nr. 1, 1–37.
  • Li, Jun ; Tian, ​​Gang. Virtuelle Modulzyklen und Gromov-Witten-Invarianten allgemeiner symplektischer Mannigfaltigkeiten. Themen in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten (Irvine, CA, 1996), 47–83, First Int. Drücken Sie Lect. Ser., I, Int. Press, Cambridge, MA, 1998.
  • Li, Jun ; Tian, ​​Gang. Virtuelle Modulzyklen und Gromov-Witten-Invarianten algebraischer Varietäten. J. Amer. Mathematik. Soc. 11 (1998), no. 1, 119–174.
  • Liu, Gang; Tian, ​​Gang. Floer Homologie und Arnold Vermutung. J. Differential Geom. 49 (1998), no. 1, 1–74.
  • Tian, ​​Gang. Messgerätetheorie und kalibrierte Geometrie. I. Ann. von Math. (2) 151 (2000), Nr. 1, 193–268.
  • Tian, ​​Gang; Zhang, Zhou. Auf dem Kähler-Ricci-Fluss auf projektiven Mannigfaltigkeiten vom allgemeinen Typ. Chinesische Ann. Mathematik. Ser. B 27 (2006), Nr. 2, 179–192.
  • Chen, XX ; Tian, ​​G. Geometrie von Kähler-Metriken und Foliierungen durch holomorphe Scheiben. Publ. Mathematik. Inst. Hautes Études Sci. 107 (2008), 1–107.
  • Tian, ​​Gang. K-Stabilität und Kähler-Einstein-Metriken. Comm. Reine Appl. Mathematik. 68 (2015), no. 7, 1085–1156.

Bücher.

  • Tian, ​​Gang. Kanonische Metriken in Kähler-Geometrie. Notizen von Meike Akveld . Vorlesungen in Mathematik ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2000. vi + 101 S. ISBN   3-7643-6194-8
  • Morgan, John ; Tian, ​​Gang. Ricci Flow und die Poincaré-Vermutung. Clay Mathematics Monographs, 3. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii + 521 S. ISBN   978-0-8218-4328-4
  • Morgan, John ; Tian, ​​Gang. Die Geometrisierungsvermutung. Clay Mathematics Monographs, 5. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 S. ISBN   978-0-8218-5201-9

Verweise

Externe Links