Hardy-Ramanujan-Theorem - Hardy–Ramanujan theorem

In der Mathematik , die Hardy-Ramanujans Theorems , bewiesen durch GH Hardy und Srinivasa Ramanujan  ( 1917 ), besagt , dass die normale Reihenfolge der Zahl ω ( n ) von verschiedenen Primfaktoren einer Zahl n ist log (log ( n )).

Grob gesagt bedeutet dies, dass die meisten Zahlen ungefähr diese Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren haben.

Genaue Aussage

Eine genauere Version besagt, dass für jede reelle Funktion ψ ( n ) gegen unendlich tendiert, während n gegen unendlich tendiert

${\ displaystyle | \ omega (n) - \ log (\ log (n)) | <\ psi (n) {\ sqrt {\ log (\ log (n))}}}$

oder traditioneller

${\ displaystyle | \ omega (n) - \ log (\ log (n)) | <{(\ log (\ log (n)))} ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} }}$

für fast alle (alle bis auf einen infinitesimalen Anteil) ganzen Zahlen. Das heißt, sei g ( x ) die Anzahl der positiven ganzen Zahlen n kleiner als x, für die die obige Ungleichung fehlschlägt: dann konvergiert g ( x ) / x gegen Null, wenn x gegen unendlich geht.

Geschichte

Ein einfacher Beweis für das Ergebnis Turán (1934) war Pál Turán , der das Turán-Sieb verwendete, um dies zu beweisen

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | \ omega (n) - \ log \ log n | ^ {2} \ ll x \ log \ log x \.}$

Verallgemeinerungen

Die gleichen Ergebnisse gelten für Ω ( n ), die Anzahl der mit Multiplizität gezählten Primfaktoren von n . Dieser Satz wird durch den Erdős-Kac-Satz verallgemeinert , der zeigt, dass ω ( n ) im Wesentlichen normalverteilt ist .

Verweise

• Hardy, GH ; Ramanujan, S. (1917), "Die normale Anzahl von Primfaktoren einer Zahl n " , Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76–92, JFM  46.0262.03
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), "Der Erdős-Kac-Satz und seine Verallgemeinerungen", in De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (Hrsg.), Anatomie der ganzen Zahlen. Basierend auf dem CRM-Workshop, Montreal, Kanada, 13.-17. März 2006 , CRM Proceedings and Lecture Notes, 46 , Providence, RI: American Mathematical Society , S. 209–216, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl  1187,11024
• Turán, Pál (1934), "Über einen Satz von Hardy und Ramanujan", Journal of the London Mathematical Society , 9 (4): 274–276, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.274 , ISSN  0024-6107 , Zbl  0010.10401
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "Hardy-Ramanujan-Theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press