Hyperbolischer Winkel - Hyperbolic angle

Ein hyperbolischer Winkel ist eine Figur, die von zwei Strahlen und einem hyperbolischen Bogen umschlossen wird. Der schattierte Sektor befindet sich in Standardposition, wenn a = 1

In der Mathematik ist ein hyperbolischer Winkel eine geometrische Figur, die einen hyperbolischen Sektor definiert . Die Beziehung eines hyperbolischen Winkels zu einer Hyperbel entspricht der Beziehung eines "gewöhnlichen" Winkels zu einem Kreis .

Der Betrag des hyperbolischen Winkels ist die Fläche des entsprechenden Sektors der Hyperbel xy = 1. Diese Hyperbel ist rechteckig mit einer großen Halbachse von , analog zum Betrag eines Kreiswinkels entsprechend der Fläche eines Kreissektors in a Kreis mit Radius . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Der hyperbolische Winkel wird als unabhängige Variable für die hyperbolischen Funktionen sinh, cosh und tanh verwendet, da diese Funktionen auf hyperbolischen Analogien zu den entsprechenden kreisförmigen trigonometrischen Funktionen beruhen können, indem ein hyperbolischer Winkel als Definition eines hyperbolischen Dreiecks betrachtet wird . Der Parameter wird somit eine der nützlichsten im Kalkül der realen Variablen.

Definition

Betrachten Sie die rechteckige Hyperbel und achten Sie (nach Konvention) besonders auf den Zweig . ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

Definiere zuerst:

• Der hyperbolische Winkel in Standardposition ist der Winkel auf zwischen dem Strahl zu und der Strahl zu , wo .${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$${\displaystyle x>1}$
• Die Größe dieses Winkels ist die Fläche des entsprechenden hyperbolischen Sektors , der sich als .${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Beachten Sie, dass wegen der Rolle des natürlichen Logarithmus :

• Im Gegensatz zum Kreiswinkel ist der hyperbolische Winkel unbeschränkt (weil unbeschränkt); dies hängt damit zusammen, dass die harmonische Reihe unbeschränkt ist.${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• Die Formel für die Größe des Winkels legt nahe, dass für den hyperbolischen Winkel negativ sein sollte. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass der Winkel wie definiert gerichtet ist .${\displaystyle 0<x<1}$

Erweitern Sie schließlich die Definition des hyperbolischen Winkels auf den, der von einem beliebigen Intervall auf der Hyperbel begrenzt wird. Angenommen , sind positive reelle Zahlen sind, so dass und , so dass , und Punkte auf der Hyperbel sind und ein Intervall auf sich bestimmen. Dann wird das Squeeze - Mapping bildet den Winkel in der Standardposition Winkeln . Nach dem Ergebnis von Gregoire de Saint-Vincent haben die durch diese Winkel bestimmten hyperbolischen Sektoren die gleiche Fläche, die als Größe des Winkels angenommen wird. Diese Größenordnung ist . ${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ab=cd=1}$${\displaystyle c>a>1}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (c,d)}$${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$${\displaystyle \angle\!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$${\displaystyle \angle\!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

Vergleich mit Kreiswinkel

Die Einheitshyperbel hat einen Sektor mit einer Fläche von der Hälfte des hyperbolischen Winkels

Kreisförmiger vs. hyperbolischer Winkel

Ein Einheitskreis hat einen Kreissektor mit einer Fläche von der Hälfte des Kreiswinkels im Bogenmaß. Analog hat eine Einheitshyperbel einen hyperbolischen Sektor mit einer Fläche von der Hälfte des hyperbolischen Winkels. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Es gibt auch eine projektive Auflösung zwischen kreisförmigen und hyperbolischen Fällen: Beide Kurven sind Kegelschnitte und werden daher in der projektiven Geometrie als projektive Bereiche behandelt . Bei einem gegebenen Ursprungspunkt in einem dieser Bereiche entsprechen andere Punkte Winkeln. Die in der Wissenschaft grundlegende Idee der Addition von Winkeln entspricht der Addition von Punkten auf einem dieser Bereiche wie folgt:

Kreiswinkel lassen sich geometrisch durch die Eigenschaft charakterisieren, dass, wenn zwei Sehnen P ₀ P ₁ und P ₀ P ₂ die Winkel L ₁ und L ₂ im Mittelpunkt eines Kreises aufspannen , ihre Summe L ₁ + L ₂ der Winkel ist, auf dem eine Sehne liegt PQ , wobei PQ parallel zu P ₁ P _{2 sein muss} .

Die gleiche Konstruktion kann auch auf die Hyperbel angewendet werden. Wenn P ₀ als Punkt (1, 1) , P ₁ als Punkt ( x ₁ , 1/ x ₁ ) und P ₂ als Punkt ( x ₂ , 1/ x ₂ ) angenommen wird , dann erfordert die Parallelbedingung, dass Q sei der Punkt ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Es ist daher sinnvoll, den hyperbolischen Winkel von P ₀ zu einem beliebigen Punkt auf der Kurve als logarithmische Funktion des Punktewertes von x zu definieren .

Während in der euklidischen Geometrie eine stetig orthogonal zu einem Strahl vom Ursprung ausgehende Bewegung einen Kreis nachzeichnet, zeichnet in einer pseudoeuklidischen Ebene eine stetig orthogonal zu einem Strahl vom Ursprung ausgehende Bewegung eine Hyperbel nach. Im euklidischen Raum verfolgt das Vielfache eines gegebenen Winkels gleiche Distanzen um einen Kreis, während es exponentielle Distanzen auf der hyperbolischen Linie verfolgt.

Sowohl der kreisförmige als auch der hyperbolische Winkel liefern Instanzen eines invarianten Maß . Bögen mit einer Winkelgröße auf einem Kreis erzeugen ein Maß für bestimmte messbare Mengen auf dem Kreis, dessen Größe sich nicht ändert, wenn sich der Kreis dreht oder dreht . Für die Hyperbel erfolgt die Drehung durch ein Squeeze-Mapping , und die hyperbolischen Winkelgrößen bleiben gleich, wenn die Ebene durch ein Mapping gestaucht wird

( x , y ) ( rx , y / r ) mit r > 0 .

Beziehung zum Minkowski-Linienelement

Es gibt auch eine merkwürdige Beziehung zu einem hyperbolischen Winkel und der im Minkowski-Raum definierten Metrik. Genauso wie die zweidimensionale euklidische Geometrie ihr Linienelement definiert als

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

das Linienelement auf dem Minkowski-Raum ist

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

Betrachten Sie eine in den zweidimensionalen euklidischen Raum eingebettete Kurve,

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

Dabei ist der Parameter eine reelle Zahl, die zwischen und ( ) läuft . Die Bogenlänge dieser Kurve im euklidischen Raum wird wie folgt berechnet: ${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int_{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right) ^{2}+\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Wenn ein Einheitskreis definiert wird, ist ein einzelner parametrisierter Lösungssatz dieser Gleichung und . Für Vermieter , die Bogenlänge der Berechnung gibt . Führen Sie nun das gleiche Verfahren durch, außer dass das Euklidische Element durch das Minkowski-Linienelement ersetzt wird ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x=\cos t}$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\theta}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\theta}$

${\displaystyle S=\int_{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right) ^{2}-\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

und definiert eine "Einheits"-Hyperbel wie mit ihrer entsprechenden parametrisierten Lösungsmenge und , und indem wir (den hyperbolischen Winkel) lassen, erhalten wir das Ergebnis von . Mit anderen Worten bedeutet dies, wie der Kreiswinkel als Bogenlänge eines Bogens auf dem Einheitskreis definiert werden kann, der unter Verwendung der euklidisch definierten Metrik von demselben Winkel umgeben ist, der hyperbolische Winkel ist die Bogenlänge des Bogens auf der "Einheit" Hyperbel, die durch den hyperbolischen Winkel unter Verwendung der Minkowski-definierten Metrik begrenzt wird. ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$${\displaystyle y=\cosh t}$${\displaystyle x=\sinh t}$${\displaystyle 0\leqslant t<\eta}$${\displaystyle S=\eta}$

Geschichte

Die Quadratur der Hyperbel ist die Bewertung der Fläche eines hyperbolischen Sektors . Es kann gezeigt werden, dass sie gleich der entsprechenden Fläche gegen eine Asymptote ist . Die Quadratur wurde erstmals 1647 von Gregoire de Saint-Vincent im Opus geometrisch quadratur circuli et sectionum coni ausgeführt . Wie von einem Historiker formuliert,

[Er machte die] Quadratur einer Hyperbel zu ihren Asymptoten und zeigte, dass mit zunehmender Fläche in arithmetischen Reihen die Abszissen in geometrischen Reihen zunahmen .

AA de Sarasa interpretierte die Quadratur als Logarithmus und so versteht man unter dem geometrisch definierten natürlichen Logarithmus (oder "hyperbolischer Logarithmus") die Fläche unter y = 1/ x rechts von x = 1 . Als Beispiel für eine transzendente Funktion ist der Logarithmus bekannter als sein Motivator, der hyperbolische Winkel. Dennoch spielt der hyperbolische Winkel eine Rolle, wenn der Satz von Saint-Vincent mit Squeeze-Mapping weiterentwickelt wird .

Die kreisförmige Trigonometrie wurde von Augustus De Morgan in seinem Lehrbuch Trigonometry and Double Algebra auf die Hyperbel erweitert . Im Jahr 1878 benutzte WK Clifford den hyperbolischen Winkel, um eine Einheitshyperbel zu parametrisieren und beschrieb sie als „quasi- harmonische Bewegung “.

Im Jahr 1894 verbreitete Alexander Macfarlane seinen Aufsatz "The Imaginary of Algebra", der hyperbolische Winkel verwendet, um hyperbolische Versoren zu erzeugen , in seinem Buch Papers on Space Analysis . Im folgenden Jahr Bulletin der American Mathematical Society veröffentlicht Mellen W. Haskell ‚s Kontur der hyperbolischen Funktionen .

Als Ludwik Silberstein 1914 sein populäres Lehrbuch über die neue Relativitätstheorie verfasste , verwendete er das Konzept der Schnelligkeit basierend auf dem hyperbolischen Winkel a , wobei tanh a = v / c , das Verhältnis der Geschwindigkeit v zur Lichtgeschwindigkeit . Er schrieb:

Es scheint erwähnenswert zu sein, dass der Einheitsgeschwindigkeit eine enorme Geschwindigkeit entspricht, die 3/4 der Lichtgeschwindigkeit beträgt; genauer haben wir v = (.7616) c für a = 1 .

[...] die Geschwindigkeit a = 1 , [...] wird folglich die Geschwindigkeit .76  c darstellen, die etwas über der Lichtgeschwindigkeit in Wasser liegt.

Silberstein verwendet auch Lobachevskys Konzept des Parallelitätswinkels Π( a ), um cos Π( a ) = v / c zu erhalten .

Imaginärer Kreiswinkel

Der hyperbolische Winkel wird oft wie eine imaginäre Zahl dargestellt . Wenn also x eine reelle Zahl ist und i ² = −1 , dann

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)\quad {\text{und}}\quad\sin(ix)=i\sinh(x)}$

so dass die hyperbolischen Funktionen cosh und sinh durch die Kreisfunktionen dargestellt werden können. Aber diese Identitäten entstehen nicht aus einem Kreis oder einer Drehung, sondern können als unendliche Reihen verstanden werden . Insbesondere die Exponentialfunktion ( ) besteht aus geraden und ungeraden Termen, erstere umfassen die cosh-Funktion ( ), letztere die sinh-Funktion ( ). Die unendliche Reihe für Cosinus wird von cosh abgeleitet, indem sie in eine alternierende Reihe umgewandelt wird , und die Reihe für Sinus entsteht, indem man sinh in eine alternierende Reihe umwandelt. Die obigen Identitäten verwenden die Zahl i , um den alternierenden Faktor (−1) ⁿ aus den Termen der Reihe zu entfernen , um die vollen Hälften der exponentiellen Reihe wiederherzustellen. Dennoch werden in der Theorie der holomorphen Funktionen die hyperbolischen Sinus- und Cosinusfunktionen in die komplexen Sinus- und Cosinusfunktionen integriert. ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$${\displaystyle \textstyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$${\displaystyle \textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Siehe auch

• Transzendenter Winkel

Anmerkungen

Verweise

• Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", verfügbar in (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 oder (b) Kapitel 7 von Euler at 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer Herausgeber, Mathematical Association of America ISBN  0-88385-565-8 .
• Arthur Kennelly (1912) Anwendung hyperbolischer Funktionen auf Probleme der Elektrotechnik
• William Mueller, Exploring Precalculus , § Die Zahl e, Hyperbolische Trigonometrie .
• John Stillwell (1998) Numbers and Geometry Übung 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN  0-387-98289-2 .