L-unendlich - L-infinity

In der Mathematik sind der (reelle oder komplexe) Vektorraum beschränkter Folgen mit der Supremum- Norm und der Vektorraum der im Wesentlichen beschränkten messbaren Funktionen mit der essentiellen Supremum- Norm zwei eng verwandte Banach-Räume . Tatsächlich ist ersteres ein Sonderfall des letzteren. Als Banach-Raum sind sie das stetige Dual der Banach-Räume absolut summierbarer Folgen und absolut integrierbarer messbarer Funktionen (wenn der Maßraum die Bedingungen der Lokalisierbarkeit und damit der Semifinitheit erfüllt). Punktweise Multiplikation gibt ihnen die Struktur einer Banach-Algebra , und tatsächlich sind sie die Standardbeispiele für abelsche Von-Neumann-Algebren . ${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle L^{\infty}=L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle \ell_{1}}$${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma,\mu)}$

Sequenzraum

Der Vektorraum ist ein Folgenraum, dessen Elemente die beschränkten Folgen sind . Die Vektorraumoperationen Addition und Skalarmultiplikation werden Koordinate für Koordinate angewendet. In Bezug auf die Norm , ist ein Standardbeispiel eines Banachraum . In der Tat kann als der Raum mit der größten . Darüber hinaus definiert jede ein stetiges Funktional auf dem Raum absolut summierbarer Folgen durch komponentenweise Multiplikation und Summation: ${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle \|x\|_{\infty}=\sup_{n}|x_{n}|}$${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle \ell^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x\in\ell^{\infty}}$${\displaystyle \ell^{1}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\ell^{\infty}&\to {\ell^{1}}^{\vee}\\x&\mapsto (y\mapsto \sum _{i=1}^ {\infty}x_{i}y_{i})\end{ausgerichtet}}}$.

Durch Auswertung von on sehen wir, dass jedes stetige lineare Funktional on auf diese Weise entsteht. dh ${\displaystyle (0,\ldots,0,1,0,\ldots)}$${\displaystyle \ell^{1}}$

${\displaystyle {\ell^{1}}^{\vee}=\ell^{\infty}}$.

Nicht jedes stetige lineare Funktional auf entsteht jedoch aus einer absolut summierbaren Reihe: , und ist daher kein reflexiver Banachraum . ${\displaystyle \ell^{\infty}}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \ell^{\infty}}$

Funktionsraum

L ^∞ ist ein Funktionenraum . Seine Elemente sind die im Wesentlichen beschränkten messbaren Funktionen . Genauer gesagt, L ^∞ basiert auf einer darunterliegenden definierten Maßraum , ( S , Σ, μ ) . Beginnen Sie mit der Menge aller messbaren Funktionen von S bis R, die im Wesentlichen beschränkt sind , dh beschränkt auf eine Menge von Maß Null. Zwei solcher Funktionen werden identifiziert, wenn sie fast überall gleich sind. Bezeichne die resultierende Menge mit L ^∞ ( S , μ ) .

Für eine Funktion f in dieser Menge dient ihr wesentliches Supremum als geeignete Norm:   

${\displaystyle \|f\|_{\infty}\equiv\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ für fast jedes }}x\}.}$

Siehe L ^p Raum für weitere Details.

Der Folgenraum ist ein Sonderfall des Funktionsraums: Hier werden die natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß versehen. ${\displaystyle \ell_{\infty}=L_{\infty}(\mathbb{N})}$

Anwendungen

Eine Anwendung von ℓ ^∞ und L ^∞ ist in Volkswirtschaften mit unendlich vielen Rohstoffen. In einfachen ökonomischen Modellen ist es üblich , anzunehmen , dass es nur eine endliche Anzahl von verschiedenen Waren, zB Häuser, Früchte, Autos, etc., so kann jedes Bündel durch eine endliche Vektor dargestellt werden, und der Verbrauch Satz ist ein Vektorraum mit endlicher Dimension. Aber in Wirklichkeit kann die Zahl der verschiedenen Waren unendlich sein. Ein "Haus" ist beispielsweise kein einzelner Warentyp, da der Wert eines Hauses von seinem Standort abhängt. Die Zahl der verschiedenen Waren ist also die Zahl der verschiedenen Orte, die man als unendlich ansehen kann. In diesem Fall wird die Verbrauchsmenge natürlich durch L ^∞ repräsentiert .

Verweise