Hebetheorie - Lifting theory

In der Mathematik wurde die Lifting-Theorie erstmals von John von Neumann in einer bahnbrechenden Arbeit aus dem Jahr 1931 eingeführt, in der er eine Frage von Alfred Haar beantwortete . Die Theorie wurde von Dorothy Maharam (1958) sowie von Alexandra Ionescu Tulcea und Cassius Ionescu Tulcea (1961) weiterentwickelt. Die Hebetheorie wurde zu einem großen Teil durch ihre markanten Anwendungen motiviert. Seine Entwicklung bis 1969 wurde in einer Monographie der Ionescu Tulceas beschrieben. Seitdem hat sich die Lifting-Theorie weiterentwickelt und neue Ergebnisse und Anwendungen hervorgebracht.

Definitionen

Ein Lifting auf einem Maßraum ist eine lineare und multiplikative Inverse ${\displaystyle (X,\Sigma,\mu)}$

${\displaystyle T\colon L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\to {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$

der Quotientenkarte

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\to L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\\f \mapsto [f]\end{Fälle}}}$

wo ist der seminormierte L ^p- Raum der messbaren Funktionen und sein üblicher normierter Quotient. Mit anderen Worten, a Lifting wählt aus jeder Äquivalenzklasse [ f ] von beschränkt messbaren Funktionen modulo vernachlässigbare Funktionen einen Repräsentanten – der fortan T ([ f ]) oder T [ f ] oder einfach Tf geschrieben wird – so ${\displaystyle {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$${\displaystyle L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$

${\displaystyle T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),\qquad\forall p\in X,r,s\in\ mathbf {R} ;}$

${\displaystyle T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p),\qquad\forall p\in X;}$

${\displaystyle T[1]=1.}$

Liftings werden verwendet, um Zerlegungen von Maßen zu erzeugen , zum Beispiel bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei stetigen Zufallsvariablen und Fibrationen von Lebesgue-Maß auf den Ebenenmengen einer Funktion.

Bestehen von Aufhebungen

Satz. Angenommen ( X , Σ, μ ) ist vollständig. Dann lässt ( X , Σ, μ ) ein Lifting genau dann zu, wenn es in Σ eine Menge voneinander disjunkter integrierbarer Mengen gibt, deren Vereinigung  X ist . Insbesondere wenn ( X , Σ, μ ) die Vervollständigung eines σ -endlichen Maßes oder eines inneren regulären Borel-Maßes auf einem lokal kompakten Raum ist, dann lässt ( X , Σ, μ ) eine Anhebung zu.

Der Beweis besteht darin, ein Lifting auf immer größere Sub- σ- Algebren auszudehnen , indem man den Martingal-Konvergenzsatz von Doob anwendet, wenn man dabei auf eine abzählbare Kette trifft.

Starkes Heben

Angenommen ( X , Σ, μ ) ist vollständig und X ist mit einer vollständig regulären Hausdorff-Topologie τ ⊂ Σ ausgestattet, so dass die Vereinigung jeder Menge vernachlässigbarer offener Mengen wieder vernachlässigbar ist – dies ist der Fall, wenn ( X , Σ, μ ) ist σ- endlich oder kommt von einem Radon-Maß . Dann kann der Träger von μ , Supp( μ ), als Komplement der größten vernachlässigbaren offenen Teilmenge definiert werden, und die Sammlung C _b ( X , τ ) beschränkter stetiger Funktionen gehört zu . ${\displaystyle {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$

Ein starkes Lifting für ( X , Σ, μ ) ist ein Lifting

${\displaystyle T:L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)\to {\mathcal{L}}^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$

mit Tφ = φ auf Supp( μ ) für alle φ in C _b ( X , τ). Dies ist das gleiche , wie verlangt , dass TU ≥ ( U ∩ Supp ( μ )) für alle offenen Mengen U in  τ .

Satz. Wenn (Σ, μ ) σ -endlich und vollständig ist und τ eine abzählbare Basis hat, dann lässt sich ( X , Σ, μ ) stark heben.

Beweis. Sei T ₀ ein Lifting für ( X , Σ, μ ) und { U ₁ , U ₂ , ...} eine abzählbare Basis für τ . Für jeden Punkt p in der vernachlässigbaren Menge

${\displaystyle N:=\bigcup\nolimits_{n}\left\{p\in\mathrm {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}( p)\rechts\}}$

sei T _p ein beliebiges Zeichen auf L ^∞ ( X , Σ, μ ), das das Zeichen φ ↦ φ( p ) von C _b ( X , τ) erweitert. Dann definiere für p in X und [ f ] in L ^∞ ( X , Σ, μ ):

${\displaystyle (T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N. \end{Fälle}}}$

T ist das gewünschte starke Heben.

Anwendung: Auflösung einer Maßnahme

Angenommen ( X , Σ, μ ), ( Y , Φ, ν) sind σ -endliche Maßräume ( μ , ν positiv) und π  : X → Y ist eine messbare Abbildung. Eine Desintegration von μ entlang π bezüglich ν ist eine Reihe von positiven σ -additiven Maßen auf ( X , Σ) mit ${\displaystyle Y\ni y\mapsto \lambda_{y}}$

1. λ _y wird von der Faser von π über y getragen :${\displaystyle \pi^{-1}(\{y\})}$

${\displaystyle \{y\}\in\Phi\;\;\mathrm {und}\;\;\lambda_{y}\left((X\setminus \pi^{-1}(\{y\ })\rechts)=0\qquad\füralle y\in Y}$

1. für jede μ -integrierbare Funktion f ,

${\displaystyle \int_{X}f(p)\;\mu(dp)=\int_{Y}\left(\int_{\pi^{-1}(\{y\})}f (p)\,\lambda_{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)}$

in dem Sinne , dass, für ν -Fast alle y in Y , f ist λ _y -integrierbaren, die Funktion

${\displaystyle y\mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda_{y}(dp)}$

ist -integrierbar, und die angezeigte Gleichheit (*) gilt.

Zerfälle gibt es unter verschiedenen Umständen, die Beweise variieren, aber fast alle verwenden starke Aufhebungen. Hier ist ein eher allgemeines Ergebnis. Sein kurzer Beweis gibt den allgemeinen Geschmack.

Satz. Angenommen , X ist ein polnischer Raum und Y ein trennbarer Hausdorff - Raum, die beide mit ihrem Borel σ -Algebren. Sei μ ein σ -endliches Borel-Maß auf X und π : X → Y a Σ, Φ–messbare Abbildung. Dann existiert ein σ-endliches Borel-Maß ν auf Y und eine Desintegration (*). Wenn μ endlich ist, kann ν als Pushforward π _∗ μ angenommen werden , und dann sind λ _y Wahrscheinlichkeiten.

Beweis. Wegen der polnischen Natur von X gibt es eine Folge kompakter Teilmengen von X , die untereinander disjunkt sind, deren Vereinigung vernachlässigbare Ergänzung hat und auf der π stetig ist. Diese Beobachtung reduziert das Problem auf den Fall, dass sowohl X als auch Y kompakt sind und π stetig ist und ν = π _∗ μ . Vervollständige Φ unter ν und befestige ein starkes Hebe- T für ( Y , Φ, ν ). Gegeben sei eine beschränkte μ -messbare Funktion f , bezeichne ihren bedingten Erwartungswert unter π, dh die Radon-Nikodym-Ableitung von π _∗ ( fμ ) nach π _∗ μ . Dann setze für jedes y in Y , um zu zeigen, dass dies eine Desintegration definiert, ist eine Frage der Buchführung und eines geeigneten Fubini-Theorems. Um zu sehen, wie die Stärke des Hebens eintritt, beachten Sie, dass ${\displaystyle \lfloor f\rfloor}$${\displaystyle \lambda_{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor)(y).}$

${\displaystyle \lambda_{y}(f\cdot\varphi\circ\pi)=\varphi(y)\lambda_{y}(f)\qquad\forall y\in Y,\varphi\in C_{ b}(Y),f\in L^{\infty}(X,\Sigma,\mu)}$

und nehme das Infimum über alle positiven φ in C _b ( Y ) mit φ ( y ) = 1; es wird deutlich, dass die Unterstützung von λ _y in der Faser über  y liegt .

Verweise