Ordnungszahl begrenzen - Limit ordinal

Darstellung der Ordnungszahlen bis ω ω . Jede Windung der Spirale repräsentiert eine Potenz von . Limit-Ordinalzahlen sind solche, die nicht Null sind und keinen Vorgänger haben, wie oder ω 2

In der Mengenlehre ist eine Grenzordinalzahl eine Ordnungszahl , die weder Null noch eine Nachfolgerordinalzahl ist . Alternativ ist eine Ordinalzahl λ eine Grenzordinalzahl, wenn es eine Ordnungszahl kleiner als gibt, und wenn β eine Ordnungszahl kleiner als ist, dann existiert eine Ordinalzahl γ mit β < γ < λ. Jede Ordnungszahl ist entweder Null oder eine Nachfolgeordnungszahl oder eine Grenzordnungszahl.

Zum Beispiel ω , die kleinste Ordinalzahl größer als jede natürliche Zahl ist eine Grenzordinalzahl, weil wir für jede kleinere Ordinalzahl (dh für jede natürliche Zahl) n eine andere natürliche Zahl finden können, die größer ist (zB n + 1), aber noch kleiner als .

Mit der von Neumann-Definition von Ordinalzahlen ist jede Ordinalzahl die wohlgeordnete Menge aller kleineren Ordinalzahlen. Die Vereinigung einer nichtleeren Menge von Ordinalzahlen ohne größtes Element ist dann immer eine Grenzordinalzahl. Bei der von Neumann-Kardinalzuweisung ist jede unendliche Kardinalzahl auch eine Grenzordinalzahl.

Alternative Definitionen

Verschiedene andere Möglichkeiten zum Definieren von Grenzwertordnungen sind:

  • Es ist gleich dem Supremum aller darunter liegenden Ordinalzahlen, aber nicht null. (Vergleichen Sie mit einer Nachfolge-Ordinalzahl: Die darunter liegende Menge von Ordinalzahlen hat ein Maximum, daher ist das Supremum dieses Maximum, die vorherige Ordinalzahl.)
  • Es ist nicht null und hat kein maximales Element.
  • Sie kann in der Form ωα für α > 0 geschrieben werden. Das heißt, in der Cantor-Normalform gibt es keine endliche Zahl als letzten Term und die Ordinalzahl ist ungleich Null.
  • Es ist ein Grenzpunkt der Klasse der Ordnungszahlen bezüglich der Ordnungstopologie . (Die anderen Ordinalzahlen sind isolierte Punkte .)

Es bestehen einige Streitigkeiten darüber, ob 0 als Grenzordinal klassifiziert werden sollte oder nicht, da es keinen unmittelbaren Vorgänger hat; einige Lehrbücher enthalten 0 in der Klasse der Grenzordnungszahlen, während andere sie ausschließen.

Beispiele

Da die Klasse der Ordnungszahlen wohlgeordnet ist , gibt es eine kleinste unendliche Grenzordinalzahl; bezeichnet mit ω (omega). Die Ordinalzahl ω ist auch die kleinste unendliche Ordinalzahl (ohne Berücksichtigung der Grenze ), da sie die kleinste obere Schranke der natürlichen Zahlen ist . Somit repräsentiert ω den Ordnungstyp der natürlichen Zahlen. Die nächste Grenzordinal über der ersten ist ω + ω = ω·2, die sich für jede natürliche Zahl n zu ω· n verallgemeinert . Wenn wir die Vereinigung (die höchste Operation auf einer beliebigen Menge von Ordinalzahlen) aller ω·n nehmen, erhalten wir ω·ω = ω 2 , was sich zu ω n für jede natürliche Zahl n verallgemeinert . Dieser Prozess kann wie folgt weiter iteriert werden, um zu produzieren:

Im Allgemeinen ergeben alle diese rekursiven Definitionen durch Multiplikation, Exponentiation, wiederholte Exponentiation usw. Grenzordinalzahlen. Alle bisher besprochenen Ordnungszahlen sind noch abzählbare Ordnungszahlen. Es gibt jedoch kein rekursiv aufzählbares Schema, um systematisch alle Ordinalzahlen mit weniger als der Church-Kleene-Ordinalzahl zu benennen , die eine abzählbare Ordnungszahl ist.

Jenseits des Abzählbaren wird die erste überabzählbare Ordinalzahl normalerweise als ω 1 bezeichnet . Es ist auch eine Grenzordinalzahl.

Wenn man fortfährt, kann man Folgendes erhalten (die jetzt alle in der Kardinalität zunehmen):

Im Allgemeinen erhalten wir immer eine Grenzordinalzahl, wenn wir die Vereinigung einer nichtleeren Menge von Ordinalzahlen nehmen, die kein maximales Element hat.

Die Ordinalzahlen der Form ω²α für α > 0 sind Grenzwerte usw.

Eigenschaften

Die Klassen der Nachfolge-Ordinalzahlen und Grenz- Ordinalzahlen (verschiedener Kofinalitäten ) sowie Null erschöpfen die gesamte Klasse der Ordinalzahlen, daher werden diese Fälle häufig in Beweisen durch transfinite Induktion oder Definitionen durch transfinite Rekursion verwendet . Limit-Ordinalzahlen stellen eine Art "Wendepunkt" in solchen Prozeduren dar, bei denen man einschränkende Operationen wie das Übernehmen der Vereinigung über alle vorhergehenden Ordinalzahlen verwenden muss. Prinzipiell kann man mit Grenzordinalzahlen alles machen, aber die Vereinigung ist in der Ordnungstopologie stetig und dies ist normalerweise wünschenswert.

Wenn wir die Kardinalzuordnung von Neumann verwenden , ist jede unendliche Kardinalzahl auch eine Grenzordinalzahl (und dies ist eine treffende Beobachtung, da Kardinal vom lateinischen cardo abgeleitet ist, was Scharnier oder Wendepunkt bedeutet ): Der Beweis dieser Tatsache erfolgt durch einfaches Zeigen dass jede unendliche Nachfolge-Ordinalzahl über das Hotel Infinity- Argument einer Grenz- Ordinalzahl entspricht .

Kardinalzahlen haben ihre eigene Vorstellung von Nachfolge und Grenze (alles wird auf ein höheres Niveau hochgestuft).

Unzersetzbare Ordnungszahlen

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Additiv unzersetzbar

Eine Grenzordinalzahl α heißt additiv unzerlegbar, wenn sie nicht als Summe von β < α-Ordinalzahlen kleiner als α ausgedrückt werden kann. Diese Zahlen sind eine beliebige Ordinalzahl der Form für β eine Ordinalzahl. Das Kleinste wird geschrieben , das Zweite wird geschrieben usw.

Multiplikativ unzerlegbar

Eine Grenzordinalzahl α heißt multiplikativ unzerlegbar, wenn sie nicht als Produkt von β < α-Ordinalzahlen kleiner als α ausgedrückt werden kann. Diese Zahlen sind eine beliebige Ordinalzahl der Form für β eine Ordinalzahl. Das Kleinste wird geschrieben , das Zweite wird geschrieben usw.

Exponentiell unzersetzbar und darüber hinaus

Der Begriff "exponentiell unzerlegbar" bezieht sich nicht auf Ordinalzahlen, die nicht als Exponentialprodukt (?) von β < α-Ordinalzahlen kleiner als α ausdrückbar sind , sondern die Epsilon-Zahlen zu den eta-Nummern usw.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ zum Beispiel Thomas Jech, Mengenlehre . Dritte Millennium-Ausgabe. Springer.
  2. ^ zum Beispiel Kenneth Kunen, Mengenlehre. Eine Einführung in die Unabhängigkeitsbeweise . Nordholland.
  3. ^ a b c "Limit ordinal - Cantor's Attic" . cantorsattic.info . Abgerufen 2021-08-10 .

Weiterlesen

  • Cantor, G. , (1897), Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. II (Ü: Beiträge zur Gründung der Theorie der Transfiniten Zahlen II), Mathematische Annalen 49, 207-246 Englische Übersetzung .
  • Conway, JH und Guy, RK "Ordinalzahlen des Kantors". Im Buch der Zahlen . New York: Springer-Verlag, S. 266–267 und 274, 1996.
  • Sierpiński, W. (1965). Kardinal- und Ordnungszahlen (2. Aufl.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Definiert auch Ordinaloperationen in Bezug auf die Cantor-Normalform.