Operatortheorie - Operator theory

In der Mathematik ist die Operatortheorie das Studium linearer Operatoren auf Funktionsräumen , beginnend mit Differentialoperatoren und Integraloperatoren . Die Operatoren können abstrakt durch ihre Eigenschaften dargestellt werden, wie beispielsweise beschränkte lineare Operatoren oder geschlossene Operatoren , und es können nichtlineare Operatoren in Betracht gezogen werden . Die Studie, die stark von der Topologie von Funktionsräumen abhängt , ist ein Teilgebiet der Funktionsanalyse .

Wenn eine Ansammlung von Operatoren eine Algebra über einem Körper bildet , dann ist es eine Operatoralgebra . Die Beschreibung von Operatoralgebren ist Teil der Operatortheorie.

Einzeloperatortheorie

Die Einzeloperatortheorie befasst sich mit den Eigenschaften und der Klassifikation von Operatoren, die einzeln betrachtet werden. Zum Beispiel ist die Klassifizierung von normalen Betreiber hinsichtlich ihrer Spektren fällt in diese Kategorie.

Spektrum der Betreiber

Der Spektralsatz ist eines von mehreren Ergebnissen über lineare Operatoren oder über Matrizen . Im Großen und Ganzen stellt das Spektraltheorem Bedingungen bereit, unter denen ein Operator oder eine Matrix diagonalisiert werden kann (d. h. auf einer bestimmten Basis als Diagonalmatrix dargestellt werden kann). Dieses Konzept der Diagonalisierung ist für Operatoren auf endlichdimensionalen Räumen relativ einfach, erfordert jedoch einige Modifikationen für Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen. Im Allgemeinen identifiziert der Spektralsatz eine Klasse linearer Operatoren , die durch Multiplikationsoperatoren modelliert werden können , die so einfach sind, wie man es sich nur wünschen kann. In abstrakterer Sprache ist der Spektralsatz eine Aussage über kommutative C*-Algebren . Siehe auch Spektraltheorie für eine historische Perspektive.

Beispiele für Operatoren, auf die das Spektraltheorem angewendet wird, sind selbstadjungierte Operatoren oder allgemeiner normale Operatoren auf Hilberträumen .

Das Spektraltheorem liefert auch eine kanonische Zerlegung, die als Spektralzerlegung , Eigenwertzerlegung oder Eigenzerlegung bezeichnet wird , des zugrunde liegenden Vektorraums, auf den der Operator einwirkt.

Normale Betreiber

Ein Normaloperator auf einem komplexen Hilbertraum H ist ein stetiger linearer Operator N  : H → H , der mit seinem hermitesch adjungierten N* kommutiert , also: NN* = N*N .

Normaloperatoren sind wichtig, weil für sie der Spektralsatz gilt. Heute ist die Klasse der normalen Operatoren gut verstanden. Beispiele für normale Operatoren sind

• unitäre Operatoren : N* = N ⁻¹
• Hermitesche Operatoren (dh selbstadjungierte Operatoren): N* = N ; (auch anti-selbstadjungierte Operatoren: N* = − N )
• positive Operatoren : N = MM*
• normale Matrizen können als normale Operatoren angesehen werden, wenn man den Hilbertraum als C ⁿ annimmt .

Der Spektralsatz erstreckt sich auf eine allgemeinere Klasse von Matrizen. Sei A ein Operator auf einem endlichdimensionalen inneren Produktraum. A heißt normal, wenn A ^* A = AA ^* . Man kann zeigen, dass A genau dann normal ist, wenn es unitär diagonalisierbar ist: Nach Schur-Zerlegung gilt A = UTU ^* , wobei U unitär und T oberes Dreieck ist. Da A normal ist, gilt TT ^* = T ^* T . Daher muss T diagonal sein, da normale obere Dreiecksmatrizen diagonal sind. Das Gegenteil ist offensichtlich.

Mit anderen Worten, A ist genau dann normal, wenn es eine unitäre Matrix U gibt mit

${\displaystyle A=UDU^{*}\;}$

wobei D eine Diagonalmatrix ist . Dann sind die Einträge der Diagonalen von D die Eigenwerte von A . Die Spaltenvektoren von U sind die Eigenvektoren von A und sie sind orthonormal. Im Gegensatz zum hermiteschen Fall müssen die Einträge von D nicht reell sein.

Polare Zersetzung

Die polare Zerlegung eines beliebigen beschränkten linearen Operators A zwischen komplexen Hilberträumen ist eine kanonische Faktorisierung als Produkt einer partiellen Isometrie und eines nicht-negativen Operators.

Die polare Zerlegung für Matrizen verallgemeinert sich wie folgt: Wenn A ein beschränkter linearer Operator ist, dann gibt es eine eindeutige Faktorisierung von A als ein Produkt A = UP, wobei U eine partielle Isometrie ist, P ein nicht negativer selbstadjungierter Operator ist und das Initial Raum von U ist der Abschluss des Bereichs von P .

Der Operator U muss aufgrund der folgenden Probleme auf eine partielle Isometrie und nicht auf eine unitäre abgeschwächt werden. Ist A die einseitige Verschiebung auf l ² ( N ), dann ist | A | = { A*A } ^½ = ich . Wenn also A = U | A |, U muss A sein , was nicht unitär ist.

Die Existenz einer polaren Zerlegung ist eine Folge von Douglas' Lemma :

Lemma Wenn A , B sind beschränkte Operatoren auf einem Hilbert - Raum H und A * A ≤ B * B , dann gibt es eine Kontraktion C , so dass A = CB . Außerdem ist C eindeutig, wenn Ker ( B* ) Ker ( C ) gilt.

Der Operator C kann definiert werden durch C(Bh) = Ah , erweitert durch Stetigkeit bis zum Abschluss von Ran ( B ) und durch Null auf dem orthogonalen Komplement von Ran ( B ). Der Bediener C ist gut definiert , da A * A ≤ B * B bedeutet Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ). Dann folgt das Lemma.

Insbesondere wenn A*A = B*B , dann ist C eine partielle Isometrie, die eindeutig ist, wenn Ker ( B* ) Ker ( C ) ist. Im Allgemeinen gilt für jeden beschränkten Operator A ,

${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$

wobei ( A*A ) ^½ die eindeutige positive Quadratwurzel von A*A ist, die durch die übliche Funktionalrechnung gegeben wird . Nach dem Lemma haben wir also

${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$

für eine partielle Isometrie U , die eindeutig ist, wenn Ker ( A ) Ker ( U ). (Beachte Ker ( A ) = Ker ( A * A ) = Ker ( B ) = Ker ( B * ), wobei B = B * = ( A * A ) ^½ .) Nehmen Sie P als ( A * A ) ^½ und erhält man die polare Zerlegung A = UP . Beachten Sie, dass ein analoges Argument verwendet werden kann, um A = P'U' zu zeigen , wobei P' positiv und U' eine partielle Isometrie ist.

Wenn H endlichdimensional ist, kann U zu einem unitären Operator erweitert werden; dies gilt im Allgemeinen nicht (siehe Beispiel oben). Alternativ kann die Polarzerlegung mit der Operatorversion der Singulärwertzerlegung dargestellt werden .

Durch die Eigenschaft des kontinuierlichen funktionalen Kalkül , | A | liegt in der von A erzeugten C*-Algebra . Eine ähnliche, aber schwächere Aussage gilt für die partielle Isometrie: Der polare Teil U befindet sich in der von A erzeugten von-Neumann-Algebra . Wenn A invertierbar ist, befindet sich U auch in der von A erzeugten C*-Algebra .

Verbindung mit komplexer Analyse

Viele der untersuchten Operatoren sind Operatoren auf Hilberträumen holomorpher Funktionen , und das Studium des Operators ist eng mit Fragen der Funktionstheorie verbunden. Zum Beispiel beschreibt der Satz von Beurling die invarianten Unterräume der einseitigen Verschiebung durch innere Funktionen, die beschränkte holomorphe Funktionen auf der Einheitsscheibe mit unimodularen Randwerten fast überall auf dem Kreis sind. Beurling interpretierte die einseitige Verschiebung als Multiplikation mit der unabhängigen Variablen auf dem Hardy-Raum . Der Erfolg beim Studieren von Multiplikationsoperatoren und allgemeiner Toeplitz-Operatoren (die Multiplikation sind, gefolgt von Projektion auf den Hardy-Raum) hat das Studium ähnlicher Fragen in anderen Räumen wie dem Bergman-Raum inspiriert .

Operatoralgebren

Die Theorie der Operatoralgebren bringt Algebren von Operatoren wie C*-Algebren in den Vordergrund.

C*-Algebren

AC*-Algebra, A , ist eine Banach-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen , zusammen mit einer Abbildung * : A → A . Man schreibt x* für das Bild eines Elements x von A . Die Karte * hat folgende Eigenschaften:

• Es ist eine Involution für jedes x in A

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Für alle x , y in A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Für jedes λ in C und jedes x in A gilt :

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda}}x^{*}.}$

• Für alle x in A :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Anmerkung. Die ersten drei Identitäten sagen, dass A eine *-Algebra ist . Die letzte Identität wird als C*-Identität bezeichnet und ist äquivalent zu:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

Die C*-Identität ist eine sehr starke Anforderung. Zusammen mit der Spektralradiusformel impliziert dies beispielsweise, dass die C*-Norm eindeutig durch die algebraische Struktur bestimmt ist:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is nicht umkehrbar}}\}.}$

Siehe auch

• Invarianter Unterraum
• Funktionsrechnung
• Spektraltheorie
  • Resolventer Formalismus
• Kompakter Antrieb
  • Fredholm-Theorie der Integralgleichungen
    • Integraloperator
    • Fredholm-Betreiber
• Selbstadjungierter Operator
• Unbegrenzter Operator
  • Differentialoperator
• Umbralrechnung
• Kontraktions-Mapping
• Positiver Operator auf einem Hilbertraum
• Nichtnegativer Operator auf einem teilweise geordneten Vektorraum

Verweise

Weiterlesen

• Conway, JB : A Course in Functional Analysis , 2. Auflage, Springer-Verlag, 1994, ISBN  0-387-97245-5
• Yoshino, Takashi (1993). Einführung in die Operatortheorie . Chapman und Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

Externe Links

• Geschichte der Operatortheorie